微分方程與差分方程簡(jiǎn)介

1、第十二章 微分方程與差分方程簡(jiǎn)介學(xué)習(xí)測(cè)試題答案1. 選擇題（1）由題書P454一階線性微分方程的通解討論知的通解為。（2），所以方程應(yīng)為齊次方程。（3）為可分離變量的方程，分離變量得，其通解為，因?yàn)?，所以，即特解為。?）對(duì)微分方程兩邊同時(shí)積分得，再積分一次得，再積分一次可得微分方程通解。（5）由題對(duì)應(yīng)的特征方程為，所以對(duì)應(yīng)的特征根為或，所以方程的通解為。（6）由二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)可知仍為微分方程的解，但只有當(dāng)和線性無(wú)關(guān)時(shí)，才為微分方程的通解。且由于它含有至少一個(gè)任意常數(shù)，所以它不是微分方程的特解。（7）由題微分方程方程中只出現(xiàn)和的導(dǎo)數(shù)，沒有出現(xiàn)，由高階導(dǎo)數(shù)的降階方法知可令，則。（8）此

2、題為歐拉方程，由歐拉方程解法知做變換，方程可化為，對(duì)應(yīng)的特征方程為，所以，則通解為，作反變換，原微分方程通解為。（9）本題是常微分方程中關(guān)于階線性齊次方程的劉維爾（Liouville）公式得推論，由Liouville公式知，所以，。（10）由題對(duì)應(yīng)的特征方程為，特征根為或，因此不是特征根，所以所設(shè)的特解形式為。2. 填空題（1）為方程的解，并且不含有任意常數(shù)，則它為微分方程特解。（2），求導(dǎo)的最高階數(shù)為，因此它為階微分方程。（3），求導(dǎo)的最高階數(shù)為，因此它為階微分方程。（4），求導(dǎo)的最高階數(shù)為，因此它為階微分方程。（5）有通解定義解微分方程的通解應(yīng)含有個(gè)任意函數(shù)。（6）對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，所

3、以，即方程為齊次方程。（7）由題，所以微分方程式全微分方程。3. 計(jì)算題（1）微分方程可化為，為一階線性非齊次方程，則，其中為任意常數(shù)。（2）由題為伯努利方程，轉(zhuǎn)化為，令，則方程化為，即為一階線性非齊次方程。（3）由題，所以方程為全微分方程，其解為。（4）由題微分方程只出現(xiàn)和的導(dǎo)數(shù)，沒有出現(xiàn)，由高階導(dǎo)數(shù)的降階方法知可令，則，所以方程可化為，即，所以，即，所以，所以，即。（5）由題微分方程只出現(xiàn)和的導(dǎo)數(shù)，沒有出現(xiàn)，由高階導(dǎo)數(shù)的降階方法知可令，則，方程可化為，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為和，齊次方程通解為，可令非齊次方程的特解為，帶入可得，則，所以非齊次方程的通解為，即，兩邊同時(shí)積分可得，即

4、原方程的通解為，其中，和為任意常數(shù)。（6）由題方程可化為為伯努利方程，令，所以方程可化為，其通解為，所以原方程的通解為。因?yàn)?，則，所以滿足初值的特解為。（7）由題對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，非齊次方程特解可設(shè)為，代入方程可得，所以，所以特解為，所以非齊次方程同解為，由，則，由，則，所以滿足初值條件的特解為。（8）由題為可分離變量方程，所以，所以其通解為。（9）由題可建立微分方程，且滿足初值條件，微分方程可化為，其方程通解為，滿足初值條件的特解為。（10）對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)得到微分方程，即，且滿足初值條件，其通解為，則滿足初值條件的特解為。（11）由題敵艦的坐標(biāo)為，魚

5、雷的坐標(biāo)為，則，魚雷速度為，所以，追逐中與魚雷和敵艦連線相切，所以，即，所以，所以可得微分方程，由于魚雷初始位置為原點(diǎn)，初始速度為，即滿足初值條件，。則魚雷航行曲線方程為，且有初值，。令，則方程可化為，即，其通解為，即，所以，連理上述兩式求解可得，且滿足，即，兩邊同時(shí)積分可得通解，但，則，所以所求解為。（12）由題過的法線方程為，與軸交點(diǎn)為由題被軸平分，則，所以滿足條件的微分方程為，即。（13）1.分離變量的，兩邊同時(shí)積分得，所以，所以通解為。2. 原方程可化為，分離變量并兩邊同時(shí)積分得，所以，所以方程通解為3.分離變量的，兩邊同時(shí)積分得，所以通解為。4.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，

6、兩邊同時(shí)積分得，則，即。5.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，兩邊同時(shí)積分得，則，即，所以，所以方程同解為。6.先求解方程組，得，做變換，則原微分方程可化為，令得如下齊次方程，所以，兩邊同時(shí)積分得，代回得，即，再次代回得。7.先求解方程組，得，做變換，則原微分方程可化為，令得如下齊次方程，所以，兩邊同時(shí)積分得，即，所以，代回得，再次代回得。8.。9.原方程可化為，即，其通解為，即。10.原方程可化為，即，其通解為。11.方程為伯努利方程，令，則方程可化為，則，則方程的通解為。12.原方程可化為，即，則方程為伯努利方程，令，則方程可化為，則。所以方程通解為。13.令，則原方程可化為，其通解為

7、，代回得。14.題目有誤，應(yīng)為，原方程可化為，令，則方程可化為，則，代回得。15.令，則，所以，兩邊同時(shí)積分得，代回得。16.由題方程兩邊同時(shí)積分得，再兩邊同時(shí)積分得，再兩邊同時(shí)積分得方程通解。17.設(shè)，則，原方程化為，則，即，則。18.設(shè)，則，原方程化為，則或，當(dāng)時(shí)，則是方程的解，但不是方程的通解。當(dāng)時(shí)，則，則，即。19. 設(shè)，則，原方程化為，則或，當(dāng)時(shí)，則是方程的解，但不是方程的通解。當(dāng)時(shí)，則，則，即。所以通解為。20.特征方程為，特征根為，則方程通解為。21.特征方程為，特征根為，則方程通解為。22.特征方程為，特征根為，則方程通解為。23.特征方程為，所以，即或，特征根為，則方程通解為

8、。24.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，所以可設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，特解為，所以通解為。25.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因?yàn)槭菃翁卣鞲?，所以可設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，所以，則特解為，所以通解為。26.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，所以可設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，所以，則特解為，所以通解為。27.特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因?yàn)?，且，不是特征根，所以可設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程可得，所以，則特解為，所以通解為。28.方程為歐拉方程，可做變換，即，則，原方程可化為，

9、特征方程為，特征根為，方程的通解為，代回，得原方程的通解為。29.原題有誤。方程應(yīng)為為歐拉方程，可做變換，即，則，原方程可化為，特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因?yàn)椋也皇翘卣鞲?，所以可設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程得，則，則特解為，通解為，代回，得原方程的通解為。30.方程為歐拉方程，可做變換，即，則，原方程可化為，特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，但是二重特征根，所以可設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程得，則，則特解為，通解為，代回，得原方程的通解為。31.令，則方程可化為，特征方程為，特征根為，齊次方程的通解為，所以原方程的通解為。（14）1.分離變量得，兩邊同

10、時(shí)積分得，所以方程通解為，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。2.分離變量得，兩邊同時(shí)積分得，所以方程通解為，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。3.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，由有理函數(shù)形式積分法知，兩邊同時(shí)積分得，所以方程通解為，代回知，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。4.原方程可化為為齊次方程，令，則，所以，由有理函數(shù)形式積分法知，兩邊同時(shí)積分得，所以方程通解為，代回知，由初值條件知，所以，則滿足方程得特解為。5.由題通解為，由初值條件，所以，則滿足方程得特解為。6.由題通解為，由初值條件，所以，則滿足方程得特解為。7.由題通解為，因?yàn)榻膺B續(xù)則，且由初值得，所以

11、，所以滿足初值的特解為。8.由題，則，兩邊積分得，因?yàn)楫?dāng)，知，所以，從而，則，兩邊積分得，由，知，則解為，即為，即。9.題目錯(cuò)誤，初值應(yīng)改為，。設(shè)，則，代入方程得，兩邊積分得，因?yàn)楫?dāng)，知，從而，所以，兩邊積分得，當(dāng)，時(shí)，知，則解為。10.設(shè)設(shè)，則，代入方程得，兩邊積分得，因?yàn)楫?dāng)，知，從而，所以，因?yàn)楫?dāng)，所以排除，所以，即，兩邊積分得，當(dāng)，時(shí)，知，則解為。11.特征方程為，所以，其通解為，則，由初值條件可得，所以，所以特解為。12.特征方程為，所以，其通解為，則，由初值條件可得，所以，所以特解為。13.特征方程為，所以，齊次方程通解為，則，因?yàn)闉閱翁卣鞲稍O(shè)特解為，代入方程得，于是，所以通解為

12、，所以由初值條件可得，所以，所以特解為。14.特征方程為，所以，齊次方程通解為，則，因?yàn)闉橹靥卣鞲?，可設(shè)特解為，代入方程得，所以，于是，所以通解為，所以由初值條件可得，所以，所以特解為。15.特征方程為，所以，齊次方程通解為，則，因?yàn)闉樘卣鞲?，可設(shè)特解為，代入方程得，所以，于是，所以通解為，所以由初值條件可得，所以，所以特解為。（15）以速度為零的點(diǎn)為原點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，且有初值，則，其通解為，由初值條件知，即滿足初值的特解為。（16）由二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)知和都是齊次方程的特解，并且它們顯然是線性無(wú)關(guān)的，所以齊次方程的通解為。（17）1.因?yàn)?，所以微分方程為全微分方程，通解為?

13、.因?yàn)?，所以微分方程不是全微分方程?.因?yàn)?，所以微分方程為全微分方程，通解為。?8）1.積分因子為，則方程可化為全微分方程，其通解為。2.積分因子為，則方程可化為全微分方程，其通解為，即。3.積分因子為，則方程可化為全微分方程，其通解為，即。（19）考慮，則，。則可以推出方程為全微分方程，所以為積分因子。由題這時(shí)，所以積分因子為，從而為全微分方程，所以方程通解為。（20）由題，則它的通解為，且滿足初值，則，所以滿足要求的。（21）由題，則，且，則原來(lái)的積分方程轉(zhuǎn)化為二階線性齊次方程，且滿足初值，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，則，則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，可設(shè)非齊次方程的特解為，帶入方程得，即其特解為，所以非齊次方程的通解為，則由初值可得，即所求積分方程的解為。（22）1.設(shè)所給方程的解為，其中為任意常數(shù)。從而，帶入方程得，即，所以，從而。2.可先求出方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，從而得出方程的通解，設(shè)，從而，代入方程得，即。所以，即，亦即，從