基于高斯模型的放射性物質(zhì)擴(kuò)散模型

1、2011重慶郵電大學(xué)數(shù)學(xué)建模第二次模擬承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從D/E/F中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的

2、話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員 (打印并簽名) ：1.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)：日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2011重慶郵電大學(xué)數(shù)學(xué)建模第二次模擬編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：放射性氣體擴(kuò)散濃度預(yù)估模型【摘要】本文是以日本地震引起的福島核電站的核泄漏為背景，并以給出的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，研究某一假設(shè)核電站的核泄漏問題。我們通過收集相關(guān)的資料，并結(jié)合題目給出的數(shù)據(jù)，建立了高斯模型、連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型解決了題目提出的四

3、個(gè)問題。針對問題一：考慮到泄漏源是連續(xù)、均勻和穩(wěn)定的，我們運(yùn)用散度、梯度、流量等數(shù)學(xué)概念，通過“泄漏放射性物質(zhì)質(zhì)量守恒”、“氣體泄漏連續(xù)性定理”、 Guass公式及積分中值定理得到了無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程，然后再通過電源函數(shù)解出空間任意一點(diǎn)的放射性物質(zhì)濃度的表達(dá)式，把此表達(dá)式定為模型一的前身。鑒于放射性物質(zhì)的擴(kuò)散受到諸多因素的影響，如：泄漏源的實(shí)際高度、地面反射等。我們以泄漏口為坐標(biāo)原點(diǎn)建立三維坐標(biāo)系，通過“像源法”處理地面反射對放射性物質(zhì)濃度的影響，并由此對模型一的前身進(jìn)行修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。最后我們模擬了放射性物質(zhì)無風(fēng)擴(kuò)散仿真圖。針對問題二：當(dāng)

4、風(fēng)速為k m/s時(shí)，我們根據(jù)放射性核素云團(tuán)在大氣中遷移和擴(kuò)散的數(shù)值計(jì)算的基本方法和步驟，并以泄漏點(diǎn)源在地面的投影點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以風(fēng)向方向?yàn)閤軸，鉛直方向?yàn)閦軸，與x軸水平面垂直方向?yàn)閥軸建立三維坐標(biāo)系，地面的反射作用同樣利用“像源法”進(jìn)行處理，得到連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型?？紤]到地面反射、煙云抬升、放射性物質(zhì)自身的沉降及雨水的吸附等對濃度的影響，我們對連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型進(jìn)行了修正，建立了修正的連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型。最后利用大氣穩(wěn)定度確定了擴(kuò)散參數(shù)，進(jìn)而求解了模型。針對問題三：經(jīng)分析，問題三的提出是以問題二為基礎(chǔ)的，模型三的建立只需要將模型二加以調(diào)整即可。我們以風(fēng)速方向?yàn)閤軸正方向，將風(fēng)速與放射性

5、物質(zhì)的擴(kuò)散速度進(jìn)行矢量運(yùn)算，此問題則轉(zhuǎn)化為求(L,0,z)和(-L,0,z)兩點(diǎn)處的放射性物質(zhì)濃度，由此建立模型三，即上風(fēng)和下風(fēng)L公里處放射性物質(zhì)濃度濃度的預(yù)測模型。針對問題四：首先，我們通過網(wǎng)絡(luò)收集了相關(guān)數(shù)據(jù)，然后，我們結(jié)合模型二、模型三對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理代入，算出了日本福島核電站泄漏的放射性物質(zhì)擴(kuò)散到中國東海岸和美國西海岸的濃度分別為4.242910-3g/m3、2.385410-4g/m3。關(guān)鍵詞：高斯模型 連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型 核泄漏一 問題的重述1.1 問題背景目前，核電站的發(fā)展能帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益，但核電站一旦發(fā)生核泄漏，將會給人們的生命健康和周邊環(huán)境帶來巨大的危害性影響。2

6、011年3月日本的福島核電站的放射性氣體的核泄漏事件更讓我們關(guān)注放射性氣體泄漏時(shí)的濃度問題。因此，正確的測出大氣中放射性物質(zhì)的濃度在環(huán)境監(jiān)測和安全評估中具有重要意義1.2 問題提出有一座核電站遇自然災(zāi)害發(fā)生泄漏，濃度為p0的放射性氣體以速度m kg/s勻速排出，在無風(fēng)的情況下，以速度s m/s勻速在大氣中向四周擴(kuò)散.1） 在無風(fēng)的情況下，建立一個(gè)描述核電站周邊不同距離地區(qū)、不同時(shí)段放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。2） 當(dāng)風(fēng)速為k m/s時(shí)，給出核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。3） 當(dāng)風(fēng)速為k m/s時(shí)，分別給出上風(fēng)和下風(fēng)L公里處，放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。4） 將建立的模型應(yīng)用于福島核電站的泄漏

7、，計(jì)算出福島核電站的泄漏對我國東海岸，及美國西海岸的影響。計(jì)算所用數(shù)據(jù)可以在網(wǎng)上搜索或根據(jù)具體情況自己模擬。二 符號說明三 模型假設(shè)1、擴(kuò)散過程中濃度在y、z軸上的變化分布是高斯分布。2、放射性物質(zhì)的擴(kuò)散看作是空間某一連續(xù)點(diǎn)源向四周等強(qiáng)度地瞬時(shí)釋放放射性物質(zhì)，放射性物質(zhì)在無窮空間擴(kuò)散過程中不發(fā)生性質(zhì)變化，且不計(jì)地形影響。3、放射性物質(zhì)擴(kuò)散服從擴(kuò)散定律，即單位時(shí)間通過單位法向面積的流量與它的濃度梯度成正比。4、放射性物質(zhì)在穿過降雨區(qū)域時(shí)，其強(qiáng)度由于雨水的吸收而減少，減少比率為常數(shù)。5、假設(shè)地面對放射性氣體起全反射作用，地面和海面對放射性氣體沒有吸附，將海面視為平原地區(qū)6、假設(shè)風(fēng)向?yàn)樗斤L(fēng)向，且風(fēng)

8、向風(fēng)速不隨時(shí)間變化。7、擴(kuò)散過程中不考慮泄漏點(diǎn)內(nèi)部溫度的變化對氣體擴(kuò)散的影響。四 問題的分析4.1 問題（1）的分析一座核電站遇自然災(zāi)害發(fā)生核泄漏，濃度為p0放射性氣體以速度m kg/s勻速排除，這近似于放射性物質(zhì)源是連續(xù)均勻穩(wěn)定的。在無風(fēng)情況下，放射性氣體以速度s m/s勻速在大氣中向四周擴(kuò)散，放射性氣體的擴(kuò)散服從擴(kuò)散定律，即單位時(shí)間通過單位法向面積的流量與它的濃度梯度成正比。在這些條件下，我們明確了要研究的問題是點(diǎn)源連續(xù)泄漏的擴(kuò)散問題，題給條件中明確要求不考慮風(fēng)力的影響，但為了使建立的模型更加貼近實(shí)際，需考慮地面反射、核泄漏源的實(shí)際高度、降雨等因素對濃度分布的影響。由“擴(kuò)散定律”“放射性物

9、質(zhì)質(zhì)量守恒定律”“氣體泄漏連續(xù)性定理”可得出無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程。再通過假設(shè)條件建立未考慮地面反射、核泄漏源的實(shí)際高度、降雨等濃度影響因素的初步模型，然后從這些影響因素對模型進(jìn)行完善，最終得出核電站周邊不同距離地區(qū)、不同時(shí)段放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。4.2 問題（2）的分析本問是探究風(fēng)速為km/s時(shí)，核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。當(dāng)環(huán)境中空氣流動(dòng)產(chǎn)生風(fēng)力時(shí)，在均勻湍流場中，擴(kuò)散參數(shù)與下風(fēng)向距離的關(guān)系是明確的，核泄漏泄漏時(shí)間較長時(shí)，可認(rèn)為擴(kuò)散是穩(wěn)定的。在下風(fēng)向的湍流擴(kuò)散相對于風(fēng)力引起的移流相可忽略不計(jì)，在流動(dòng)方向建立x軸，不考慮橫向速度和垂直速度。根據(jù)假設(shè)，空間中放射性物質(zhì)的濃度服

10、從高斯分布，可利用連續(xù)點(diǎn)源放射性物質(zhì)的高斯擴(kuò)散模型。放射性物質(zhì)在大氣中擴(kuò)散受諸多因素影響，考慮泄漏源有效高度、放射性物質(zhì)自身重力產(chǎn)生的重力沉降、雨水的吸附等因素對放射性物質(zhì)濃度的影響是必要的，通過這些影響因素對高斯模型進(jìn)行修正，然后利用修正后的高斯模型探究核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。4.3 問題（3）的分析本問是要求當(dāng)風(fēng)速為km/s時(shí)，建立上風(fēng)和下風(fēng)L公里處的放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。經(jīng)分析，此問是問題（2）的延伸，我們只需建立合適的坐標(biāo)系，將此問題轉(zhuǎn)化為求具體兩處的放射性物質(zhì)的濃度，便能得出上風(fēng)和下風(fēng)L公里處的放射性物質(zhì)濃度預(yù)測模型。4.4 問題（4）的分析本問要求將之前建立的模型應(yīng)

11、用于日本福島核電站的泄泄漏，計(jì)算出福島核電站的泄漏中國東海岸和美國西海岸的影響，此問實(shí)際上是將模型二、模型三具體化。通過收集求解模型的相關(guān)數(shù)據(jù)，利用模型和數(shù)據(jù)模擬日本福島核泄露對中國東海岸和美國西海岸的影響。五 模型的建立與求解5.1 模型一的建立與求解 5.1.1 模型一的初步建立以核泄漏點(diǎn)正下方的地面為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)，平均風(fēng)向?yàn)閄軸、指向下風(fēng)方向，鉛直方向?yàn)閆軸，水平垂直于風(fēng)向軸（X軸）為Y向，建立空間坐標(biāo)系，則核電站泄漏點(diǎn)O距有效地面的高度為H，則泄漏點(diǎn)位置坐標(biāo)為O(0,0,H)。圖一：空間坐標(biāo)系示意圖將氣體從泄漏源泄漏時(shí)刻記作t=0，時(shí)刻t無窮空間中任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z）

12、的濃度記為C（x,y,z,t）,根據(jù)假設(shè)2，單位時(shí)間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比，則：q=-igradC （1）i(i=x,y,z)是擴(kuò)散系數(shù)，grad表示梯度，負(fù)號表示由濃度高向濃度低的地方擴(kuò)散?？疾炜臻g域，其體積為V，包圍的曲面為S，S為一規(guī)則的球面，S外xy法線向量為n=(-,-,1)。則在(t,t+t)內(nèi)通過的流量為：zzQ1=t+ttqnddt （2）s內(nèi)放射性物質(zhì)的增量為：Q2=C(x,y,z,t+t)-C(x,y,z,t)dV （3）V從泄漏源泄漏的放射性物質(zhì)的總量為：Q0=t+ttp0dVdt （4）根據(jù)“質(zhì)量守恒定律”和“氣體泄漏連續(xù)性原理”，單位時(shí)間內(nèi)通過所選曲面

13、S的向外擴(kuò)散的放射性物質(zhì)的量與S曲面內(nèi)放射性物質(zhì)增量之和，等于泄漏源在單位時(shí)間內(nèi)向外泄漏的放射性物質(zhì)。則：Q0=Q1+Q2 （5）即：C(x,y,z,t+t)-C(x,y,z,t)dV+Vt+ttt+tqnddt=tp0dVdt（6）s又根據(jù)曲面積分的Gauss公式：qnd=divqdV (其中div是散度記號) （7） VsVt+tC(x,y,z,t+t)-C(x,y,z,t)tdV+divqdVdt=tt+tp0dVdtttVCC(x,y,z,t+t)-C(x,y,z,t)=lim=limtt0tt0tt+tkdiv(gradC)dtt由以上兩式得：VCdVt+divqdVt=p0dVtt

14、V即為：VCdV+divqdV=p0dV （8） tVV由以上公式并利用積分中值定理得：C2C2C2C=idiv(gradC)=i(2+y2+z2),t>0,-<x,y,z< （9） txyz這是無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程，根據(jù)假設(shè)1，初始條件為作用在坐標(biāo)原點(diǎn)的電源函數(shù)，記作C(x,y,z,0 ) （10） =)0Q(x,y ,zQ0表示泄漏源漏泄釋放的放射性物質(zhì)總量，(x,y,z)是單位強(qiáng)度的電源函數(shù)。方程（9）滿足方程（10）的解為：Q0C(x,y,z,=t)(4it3)/-2x2+y2+z24ite=,i (x, y,z)（11）此模型只是在不考慮風(fēng)速的情況下建立的，

15、但為了使模型具有更加的實(shí)用性，下面我們將考慮泄漏源的實(shí)際高度、地面反射、降雨等因素對濃度的影響，完善模型。5.1.2 模型一的最終建立1. 地面反射對模型的完善泄漏源有一定的高度，且泄漏點(diǎn)源是連續(xù)點(diǎn)源，則泄漏點(diǎn)源可視為高架連續(xù)點(diǎn)源，考慮到地面對擴(kuò)散來的放射性氣體有反射作用，根據(jù)假設(shè)4，地面對到達(dá)地面的擴(kuò)散氣體完全反射。這兒可認(rèn)為地面就像鏡子一樣，對放射性氣體起全放射作用，可用“像源法”處理，如圖3，建立三個(gè)坐標(biāo)系，一是以泄漏源（實(shí)源）為坐標(biāo)原點(diǎn)；二是以泄漏源在地面的投影點(diǎn)為原點(diǎn)，p點(diǎn)是空間的任意一點(diǎn)，坐標(biāo)為(x,y,z)；三是以泄漏源關(guān)于地面的像對稱源（像源）為原點(diǎn)。把p點(diǎn)放射性氣體濃度看成兩

16、部分（實(shí)源與像源）作用之和。圖二： 高架連續(xù)點(diǎn)源擴(kuò)散示意圖從以上分析知，p點(diǎn)放射性氣體的濃度為實(shí)源和像源的放射性氣體擴(kuò)散至此點(diǎn)濃度的疊加。則實(shí)際泄漏源（實(shí)源）對p點(diǎn)的濃度貢獻(xiàn)部分可用e2來表示；因?yàn)榈孛鎸U(kuò)散物質(zhì)完全反射，則像對稱源（像源）對p點(diǎn)的濃度貢獻(xiàn)部分可用z-(z-H)(z+H)2ze-來表示。于是對（11）式所修正完善的模型為： -(x2y2(z-H)2+(z+H)2+)-4xt4yt4zt （12） mp0C(x,y,z,t)=e,i=(x,y,z)(4i)3/2t1/2我們自己模擬一組數(shù)據(jù)，利用matlab進(jìn)行仿真模擬，可實(shí)現(xiàn)該模型的模擬圖i 像。假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)=0.00001，放

17、射性物質(zhì)的初始濃度C=100，擴(kuò)散時(shí)間t=1000000，放射源總量Q=1000000。（程序見附錄一）圖三：核泄漏無風(fēng)擴(kuò)散5.2 模型二的建立與求解5.2.1 模型二的建立放射性核素云團(tuán)在大氣中遷移和擴(kuò)散的數(shù)值計(jì)算基本上可分為二步。第一步根據(jù)大氣動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)行所關(guān)心區(qū)域中風(fēng)場的計(jì)算，其理論基礎(chǔ)是大氣運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程、熱力學(xué)方程和水汽方程構(gòu)成的基本方程組。在大氣科學(xué)研究領(lǐng)域中，已有多個(gè)實(shí)用的大氣環(huán)流模式。第二步進(jìn)行已知風(fēng)場中放射性核素云團(tuán)遷移和擴(kuò)散的計(jì)算，可采用類似于處理大氣污染的方法，假設(shè)放射性核素云團(tuán)不影響大氣流體速度和溫度，求解放射性核素的連續(xù)性方程。當(dāng)風(fēng)速為km/s時(shí)，利

18、用連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型分析核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。此泄漏點(diǎn)源是有邊界點(diǎn)源，泄漏點(diǎn)源的實(shí)際高度為H。以泄漏點(diǎn)源在地面的投影點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以風(fēng)向方向?yàn)閤軸，鉛直方向?yàn)閦軸，與x軸水平面垂直方向?yàn)閥軸建立三維坐標(biāo)系，由于擴(kuò)散過程中濃度在y、z軸上的變化分布符合高斯分布，所以下風(fēng)向的任意一點(diǎn)C(x,y,z)的濃度函數(shù)為：C(x,y,z)=A(x)e-aye-bz （13） 22根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)我們可以得出方差的表達(dá)式為：2,z)dyy2=yC(x,y=0C(x,y,z)dzz2z2C(x,y,z)dy 0C(x,y,z)dz進(jìn)而源強(qiáng)的積分公式可以根據(jù)假設(shè)得出：Q=-(x,y,z)dydz把（1

19、3）式代入（14）積分可以得出：a=12y2b=12z2將(13)式和（16）式代入（15）式可以得出：A(x)=Q2 yz最后再將把（16）、（17）式代入（13）式可以得出：C(x,y,z)=Q2exp- y2+z2 yz2y2z14）15）16） 17） 18）（ （ （ （上式為無界空間連續(xù)點(diǎn)源擴(kuò)散的高斯模型，然而在實(shí)際中，由于地面的影響，煙羽是有界的。根據(jù)假設(shè)可以把地面看做一鏡面，對泄漏的氣體起反射作用，同樣我們可以利用“像源法”進(jìn)行處理，原理和示意圖在模型一的修正中提到，因此我們得出：實(shí)源的貢獻(xiàn)為：Q1y21(z-H)2C1(x,y,z)=exp(-)exp(-) （19）222y

20、z2y2z像源的貢獻(xiàn)為：Q1y21(z+H)2C2(x,y,z)=exp(-)exp(-) （20）222yz2y2z則該處的實(shí)際濃度為：C(x,y,z)=C1(x,y,z)+C2(x,y,z) （21）綜合上面的公式得到連續(xù)點(diǎn)源高斯煙羽擴(kuò)散模型：Qy2(z-H)2(z+H)2C(x,y,z,t,H)=exp(-2)exp-+exp- （22）22yz2y2y2z25.2.2 模型二的修正連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型雖然能分析風(fēng)力對濃度的影響情況，但為了能更準(zhǔn)確的探究風(fēng)力對核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的影響情況，我們將考慮泄漏源有效高度、放射性物質(zhì)自身的沉降作用和雨水吸附作用對放射性物質(zhì)濃度的影響，進(jìn)而對

21、連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型進(jìn)行修正。5.2.2.1 泄漏源有效高度對模型的修正如圖2所示，泄漏源的有效高度h是由兩部分組成，一是核泄漏口距有效地面的高度H；二是在實(shí)際核擴(kuò)散中核泄漏氣團(tuán)從泄漏口排出時(shí)，由于受到熱力抬升和本身動(dòng)力抬升，進(jìn)而產(chǎn)生的一個(gè)附加高度H。因而h=H+H。H圖四： 煙云抬升示意圖附加高度H，主要由核泄漏處泄漏氣體的氣流具有一初始動(dòng)量（使他們繼續(xù)垂直上升）和氣流溫度高于環(huán)境溫度產(chǎn)生的靜浮力決定，這兩種動(dòng)力引起的煙云浮力運(yùn)動(dòng)稱煙云抬升，附加高度H即煙云抬升高度，煙云抬升有利于降低地面的污染物濃度。而且H還受到風(fēng)速、地形地貌等多種因素的影響。A：當(dāng)大氣穩(wěn)定度為中性時(shí)，計(jì)算煙氣抬升高度利用

22、Holland公式H=vsDT-T1(1.5+2.7saD)=(1.5vsD+9.610-3QH) （23） Ts式中： ：泄漏源出口處的平均風(fēng)速，m/s；vs：放射性氣體出口流速，已知為mm/s；D：泄漏源出口的有效內(nèi)徑；QH：泄漏源的熱排放率，kw；Ts：泄漏源出口處溫度，K；Ta：環(huán)境大氣平均溫度，K，取當(dāng)?shù)亟迥甑钠骄?；B：當(dāng)大氣條件為不穩(wěn)定時(shí)，利用Briggs公式計(jì)算煙氣抬升高度當(dāng)QH>21000kw時(shí) 1/3- x<10H H=0.36Q2x2/u( )H2/- )(u11 x>10H H=1.5Q5H1/3H當(dāng)QH<21000kw時(shí)1/3- x<3

23、x* H=0.36Q2x1/u( )H3/5 x>3x* H=0.33Q2H2 / H1x*=0.33QH3/5H3/5()-6/5綜上所述，泄漏源的有效高度為：h=H+H （24）5.2.2.2 考慮放射性物質(zhì)自身的沉降作用對模型的修正放射性物質(zhì)的沉降速度取決于空氣阻力和自身重力，利用斯托克斯公式表示沉降速度：gd2Vs= （25） 18：放射性物質(zhì)粒子密度，kg/m3；g：重力加速度，9. 806 5m/s；d：放射性物質(zhì)粒子直徑，m；：空氣的動(dòng)力粘性系數(shù)，可取1.810-5kg/(ms)；Vs：沉降速度，m/s，含碘放射性核素的沉降速度為Vs= 1. 1 cm/ s； 在擴(kuò)散過程中

24、重力沉降的位移疊加在羽流中心線上，使中心線向下傾斜，放射性物質(zhì)粒子則相當(dāng)于在下傾的中心線上擴(kuò)散，放射性物質(zhì)的擴(kuò)散與沉降的疊加可認(rèn)為是放射源以Vs的速度向下移動(dòng)。在x處向下移動(dòng)的垂直距離為Vst=漏源的有效高度h下降了Vst=VsxVsx，即泄，考，泄漏源的有效高度成為h-Vst=h-VsxVsx慮到地面的全反射作用，反射項(xiàng)的有效高度也變成了h-Vst=h-的連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型為：Qyexp(-2)exp-2yz2y2。則修正后(z-h+2Vsx2yC(x,y,z,h)=)2+exp-(z+h-2Vsx2z)2(26)5.2.2.3 考慮雨水的吸附作用對模型的修正降雨對放射性物質(zhì)的濃度有一定影

25、響，即雨水對放射性物質(zhì)有一定的吸附作用。以吸附系數(shù)來表示雨水對放射性物質(zhì)吸附作用的大小，與降雨強(qiáng)度的關(guān)系為：=aIb，式中I為降雨強(qiáng)度，a,b為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。如果放射性物質(zhì)含碘，則a=810-5,b=0.6；反之，a=1.210-5,b=0.5。雨水的吸附作用導(dǎo)致的放射性物質(zhì)濃度的減小，可對源強(qiáng)進(jìn)行修正：Q(x)=Qexp(-x) （27） 則進(jìn)一步修正的連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型為：Q(x)yexp(-2)exp-2yz2y2(z-h+2Vsx2yC(x,y,z,h)=)2+exp-(z+h-2Vsx2z)2（28）綜上所述：修正的連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型為：Vsx2Vsx2(z-h+)(z+h-)Q(x

26、)y2+exp-exp(-2)exp-C(x,y,z,h)=222yz2y2y2zxQ(x)=Qexp(-),=aIbgd2Vs=18（29）5.2.3 模型二的求解模型所需參數(shù)的選取對模型的求解至關(guān)重要，通常情況下氣象參數(shù)的選取是利用該地區(qū)多年氣象資料，采取工業(yè)安全與環(huán)保統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行有關(guān)參數(shù)的確定，而其他擴(kuò)散參數(shù)則以實(shí)際測定為準(zhǔn)。A：大氣穩(wěn)定度的計(jì)算根據(jù)我國標(biāo)準(zhǔn)(GB/ T 1320191) )制訂地方大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)的技術(shù)方法的規(guī)定，大氣穩(wěn)定度分為6級，分別為A極不穩(wěn)定、B不穩(wěn)定、C弱不穩(wěn)定、D中性、E弱穩(wěn)定、F穩(wěn)定。該方法的技術(shù)路線是：根據(jù)核泄漏源所在地的經(jīng)度和緯度以及泄漏的日期和時(shí)

27、間計(jì)算當(dāng)時(shí)的太陽高度角h0，利用天氣條件確定輻射等級，然后利用輻射等級和風(fēng)速確定大氣穩(wěn)定度，最后查擴(kuò)散參數(shù)冪函數(shù)表，確定擴(kuò)散參數(shù)。首先，然后，由太陽高度角h0和云量查出太陽輻射等級；最后，再根據(jù)地面風(fēng)速確定當(dāng)時(shí)的大氣穩(wěn)定度。B：擴(kuò)散參數(shù)的確定擴(kuò)散參數(shù)y,z的確定，采用Briggs給出一套擴(kuò)散參數(shù)冪函數(shù)表，如表三和表四：表四：Briggs 擴(kuò)散參數(shù)（工業(yè)區(qū)和城市中心區(qū)）5.3 模型三的建立與求解當(dāng)風(fēng)速為km/s時(shí)，建立上風(fēng)和下風(fēng)L公里處放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。 此問題可以利用模型二進(jìn)行求解，將模型二中的替換成k+s,其中k為風(fēng)速的向量表示，s為泄漏點(diǎn)放射性氣體自身擴(kuò)散速度的向量表示。根據(jù)假設(shè)，

28、風(fēng)速k沿x軸正方向，恒為正。對上風(fēng)向L公里處放射性氣體濃度計(jì)算時(shí)，s方向沿x軸負(fù)方向，為負(fù)；對下風(fēng)向L公里處放射性氣體濃度計(jì)算時(shí)，s方向沿x軸正方向，為正。因此此問題轉(zhuǎn)化為求(L,0,z)和(-L,0,z)兩處的放射性氣體濃度，即風(fēng)速為km/s時(shí)，上風(fēng)和下風(fēng)L公里處放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型為：Vsx2Vsx2(z-h+)(z+h-)2Q(x)yexp(-)exp-+exp-,上風(fēng)向L處222(k-s)222yzyzz （30）C(±L,0,z)=VxVx(z-h+s)2(z+h-s)22Q(x)y+exp-，下風(fēng)向L處exp(-)exp- 222(k+s)222yzyzz我們根據(jù)模型

29、分別模擬下風(fēng)向和上風(fēng)向的放射性物質(zhì)擴(kuò)散仿真圖，如圖五、圖六：（程序分別見附錄二、三）圖五：核泄漏下風(fēng)向擴(kuò)散圖圖六：核泄漏上風(fēng)向擴(kuò)散圖5.4 問題（4）的求解此問題可結(jié)合模型二和模型三求解，我們通過網(wǎng)絡(luò)收集了相關(guān)數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)代入模型進(jìn)行模擬。數(shù)據(jù)顯示，日本在核泄漏時(shí)期的風(fēng)向主要為偏西風(fēng)，風(fēng)速為2-3級,輻射源強(qiáng)度Q=770000000kg/s。建立如圖七（東海岸擴(kuò)散圖）中所示的坐標(biāo)軸，則中國東海岸的坐標(biāo)大概可取為（-1500km,1900km）。建立如圖八（西海岸擴(kuò)散圖）中所示的坐標(biāo)軸，則美國西海岸坐標(biāo)大概取為（4300,7500）。 根據(jù)模型二的求解方法可確定y=0.16x(1+0.000

30、4x),z=0.14x(1+0.0003x)-12-12，風(fēng)速為4m/s，分別求解福島核電站核泄漏泄漏的放射性物質(zhì)擴(kuò)散到中國東海岸和美國西海岸的濃度：中國東海岸：c(1500,1900,0)=4.242910-3g/m3美國西海岸：c(4300,7500,0)=2.385410-4g/m3圖七：東海岸擴(kuò)散圖圖八：西海岸擴(kuò)散圖六 模型的評價(jià)及改進(jìn)6.1模型的評價(jià)6.1.1 模型優(yōu)點(diǎn)第一：模型一，我們考慮了泄漏源高度、地面反射等因素對放射性物質(zhì)濃度的影響，利用這些影響因素對濃度預(yù)測模型進(jìn)行了修正完善，建立的濃度預(yù)測模型具有實(shí)用性、高精度性、合理性。第二：模型二，我們建立了連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型，并考

31、慮了煙云抬升高度，求得泄漏源的有效高度，通過泄漏源的有效高度、放射性物質(zhì)自身的沉降作用、雨水的吸附作用對模型進(jìn)行修正，得到了更優(yōu)化的連續(xù)點(diǎn)源高斯擴(kuò)散模型。此模型能較好的求出核電站周邊放射性物質(zhì)濃度，并與模型一求出的濃度進(jìn)行比較，從而給出核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。第三：模型三是在模型二的基礎(chǔ)上加以修改轉(zhuǎn)化的，因此模型三繼承了模型二的優(yōu)點(diǎn)，使放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測更加精確。第四：我們建立的以上模型在核事故的應(yīng)急救援過程中，對救援人員劃定警戒區(qū)和確定周圍居民的疏散范圍具有重要意義，并可為制定救援方案和應(yīng)急決策提供科學(xué)依據(jù)。對放射性云團(tuán)在空中遷移和擴(kuò)散提供濃度的定量描述，也對可能發(fā)生的核事件的

32、放射性核素濃度監(jiān)測及監(jiān)測時(shí)間范圍提供相關(guān)信息。6.1.2 模型缺點(diǎn)第一：模型只考慮了平原和城市兩種情況，不利于擴(kuò)散參數(shù)的確定。但地形復(fù)雜多變，不能找到充分的數(shù)據(jù)對其進(jìn)行分析。第二：模型缺乏檢驗(yàn)。沒有相關(guān)數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)用于模型的檢驗(yàn)。6.2 模型的改進(jìn)日本是多山國家，考慮山林對放射性物質(zhì)擴(kuò)散的影響能更好的預(yù)測和估算放射性物質(zhì)的濃度；放射性物質(zhì)的擴(kuò)散，特別是向其他國家地區(qū)擴(kuò)散，放射性物質(zhì)的擴(kuò)散大多要跨洋越海，考慮海水對放射性物質(zhì)的吸收顯得至關(guān)重要，將此因素考慮進(jìn)去，能使模型更加貼近實(shí)際。七 參考文獻(xiàn)1 卓金武，魏永生，秦建，李必文Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 M 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，20112 程勇，于林，姚安林采用高斯模型分析輸氣管道泄漏后氣體的擴(kuò)散 J 內(nèi)蒙古石油化工，2010 ，14：49-513 張斌才，趙軍大氣污染擴(kuò)散的高斯煙羽模型及其GIS集成研究J 環(huán)境監(jiān)測管理與技術(shù)，2008，20（5）：17-19八 附錄附錄一：%繪制當(dāng)沒有風(fēng)影響時(shí)放射性物質(zhì)的擴(kuò)散圖形function =expand(k,Q,C,t,r,ws,wa,wd)R=sqrt(-4)*k*t*log(C/(1-r)*Q).*(4*pi*k*t)(1.5)for i=0:24:t/3600if (wd*(i/24)<=RR=R-wd;R0=R;t=0:0.1:0.5*pi;p=0:0.1: