函數(shù)單調(diào)及其應(yīng)用畢業(yè)

1、單調(diào)函數(shù)及其應(yīng)用目 錄摘要IIABSTRACTIII引言IV第一章 正確理解單調(diào)函數(shù)的定義11.1 函數(shù)單調(diào)性定義的通俗解釋11.2 函數(shù)單調(diào)性實(shí)現(xiàn)了函數(shù)值與自變量大小之間的相互轉(zhuǎn)化11.3 抓住函數(shù)單調(diào)性定義中的關(guān)鍵詞1第二章 單調(diào)函數(shù)的一般判定方法32.1 定義法32.2 圖像法32.3 運(yùn)算法32.4 復(fù)合函數(shù)法4第三章 單調(diào)函數(shù)的其他判定方法53.1 作差法53.2 作商法63.3 利用反函數(shù)的單調(diào)性73.4 利用和、倍、積、倒函數(shù)的單調(diào)性83.5 利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性83.6 換元法93.7 導(dǎo)數(shù)法93.8 綜合法10第四章 函數(shù)單調(diào)性在解題當(dāng)中的應(yīng)用124.1 比較兩個(gè)數(shù)的大小12

2、4.2 證明與正整數(shù)有關(guān)的命題124.3 解方程134.4 證明不等式134.5 求參數(shù)的取值范圍14結(jié)論16參考文獻(xiàn)17致謝18單調(diào)函數(shù)及其應(yīng)用學(xué)生 XXX 指導(dǎo)教師 XXX摘要 函數(shù)單調(diào)性是一條重要的數(shù)學(xué)概念，我們不能忽略對(duì)其定義的理解，本文第一章從函數(shù)定義的根本上對(duì)函數(shù)定義及定義的難點(diǎn)進(jìn)行闡述。抓住函數(shù)單調(diào)性定義中的關(guān)鍵詞，例如：二次函數(shù)，在軸左側(cè)是減函數(shù)，而在右側(cè)是增函數(shù)，所以不能籠統(tǒng)的是增函數(shù)或減函數(shù)。還要注意：不是任何一個(gè)函數(shù)都有單調(diào)區(qū)間的。例如它無單調(diào)區(qū)間。本文第二、三章對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判定方法進(jìn)行了系統(tǒng)性的歸納。其中最基本，最實(shí)用的當(dāng)為定義法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，在定義區(qū)間取兩

3、個(gè)不相同的值，然后通過作差，變形，定號(hào)，然后得出結(jié)論。單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，該性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用，本文第四章分別從五個(gè)方面對(duì)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要的舉例說明。關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)概念MONOTONE FUNCTION AND ITS APPLICATIONStudent: Zhu Supervisor: ChenABSTRACT Function Monotonic function is an important mathematical concepts, we cant ignore the understanding of its definition, this

4、chapter from the function definition of a fundamental definition of the function definition and the difficulty to elaborate. Grasp the definition of monotonic function of key words, such as: a quadratic function，Is a decreasing function of the left in the Y shaft, while the right side is an increasi

5、ng function. Also note: there is not a function of any monotone interval.Such as: It is not monotone interval. In the second, chapters on the determination method of monotone functions were systematically summarized. Of which the most basic and useful when the definition of law, according to the def

6、inition of monotonic function, the definition of taking two different range values, and then for worse, deformation, set number, and then draw conclusions. Monotonic function of a fundamental nature is the nature of a wide range of application, this chapter were from the five aspects of the applicat

7、ion of Function Monotonicity brief.Key words: Monotonic function；High School Math；Mathematical concepts引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的中心內(nèi)容，幾乎滲透到高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，它不僅是一條重要的數(shù)學(xué)概念，而且是一種重要的數(shù)學(xué)思想。而函數(shù)的單調(diào)性則是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，它是歷年高考重點(diǎn)考查的重要內(nèi)容，它的應(yīng)用十分廣泛。通過研究函數(shù)的單調(diào)性可以揭示函數(shù)值的變化特性，對(duì)于一些學(xué)問題，若解題中注意應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，合理巧妙地加以運(yùn)用，定會(huì)帶來快捷的解題思路，可以使問題的解決簡(jiǎn)捷明快。函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用很廣泛，可以

8、解決很多相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。在完成函數(shù)單調(diào)性概念的意義的建構(gòu)后，對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的反思辨析也是重要的一環(huán)。本文以點(diǎn)帶面，在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上，在函數(shù)單調(diào)性定義、函數(shù)單調(diào)性判定方法、函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用等方面做出簡(jiǎn)要的討論。18第一章 正確理解單調(diào)函數(shù)的定義1.1 函數(shù)單調(diào)性定義的通俗解釋在增函數(shù)定義中，“當(dāng)時(shí)，都有”描述了隨的增大而增大；減函數(shù)定義中，“當(dāng)時(shí)，都”有描述了隨的增大而減小。所以增函數(shù)就簡(jiǎn)單而言是在相應(yīng)區(qū)間上“較大的自變量對(duì)較大的函數(shù)值，較小的自變量對(duì)較小的函數(shù)值”，即“大對(duì)大、小對(duì)小”；減函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上“較大的自變量對(duì)應(yīng)較小的函數(shù)值，較小的自變量對(duì)應(yīng)較大的函數(shù)值”，即“大對(duì)小、小對(duì)大

9、”。1.2 函數(shù)單調(diào)性實(shí)現(xiàn)了函數(shù)值與自變量大小之間的相互轉(zhuǎn)化（1）若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，則有，（2）若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，則有，1.3 抓住函數(shù)單調(diào)性定義中的關(guān)鍵詞（1）給定“某個(gè)區(qū)間”：增函數(shù)、減函數(shù)是相對(duì)于某個(gè)區(qū)間而言的，離開相應(yīng)區(qū)間就根本談不上增減性。例如對(duì)于定義域中單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)函數(shù)就沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性的問題。因此函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域區(qū)間或其子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部性質(zhì)。例如二次函數(shù)，在軸左側(cè)是減函數(shù)，而在右側(cè)是增函數(shù)，所以不能籠統(tǒng)的說是增函數(shù)或減函數(shù)。還要注意：不是任何一個(gè)函數(shù)都有單調(diào)區(qū)間的。例如，它無單調(diào)區(qū)間。（2）屬于該區(qū)間的“任意兩個(gè)”和“都有”：屬

10、于該區(qū)間，即是兩自變量都必須取自給定區(qū)間，不能從區(qū)間外取。若區(qū)間都是閉的，能否取其端點(diǎn)？當(dāng)然可以?！叭我鈨蓚€(gè)”是指不能取特定的值來判斷，而“都有”則是說只要，就必須恒有或者恒有。如在區(qū)間上，若取定兩個(gè)特定的值，顯然，而，有；取，有。可見不能說在區(qū)間上是增函數(shù)或者減函數(shù)。因此要判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)來判斷，必須嚴(yán)格依照定義：在給定區(qū)間任取兩個(gè)，根據(jù)他們的函數(shù)值和的大小來判斷其增減性。（3）函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間一般是不可以取其并集。如：在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，并且在上也是單調(diào)遞減的，只能說和是函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，不能說是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。第二章 單調(diào)函數(shù)的一般判

11、定方法2.1 定義法用定義判定或證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟：（1）設(shè)定：在給定區(qū)間上任取兩個(gè)值，且；（2）作差變形：作差，通過因式分解、配方、分母有理化等方法將差變形為幾個(gè)最簡(jiǎn)因式的連乘積或幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和，即向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形；（3）定號(hào)：判斷上述差變形后的符號(hào)，若不能確定，則可分區(qū)間討論；（4）結(jié)論：根據(jù)差的符號(hào)，得出單調(diào)性的結(jié)論。即“取值作差變形判斷定號(hào)得出結(jié)論”幾個(gè)步驟。2.2 圖像法要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖像上進(jìn)行觀察是一種常見而又較為粗略的方法，但嚴(yán)格的說，它需要根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明。2.3 運(yùn)算法（1）若函數(shù)、在公共定義域區(qū)間上都是增

12、（減）函數(shù)，則任是增（減）函數(shù)。（2）若函數(shù)、在公共定義域區(qū)間上，增，減，則增，減。2.4 復(fù)合函數(shù)法設(shè)在定義域?yàn)?，的定義域是，值域?yàn)?，若，則關(guān)于的函數(shù)叫做函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，叫做中間量。結(jié)論1 若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)。結(jié)論2 若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上是減（增）函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)。結(jié)論1和結(jié)論2可簡(jiǎn)述為：同增異減。第三章 單調(diào)函數(shù)的其他判定方法函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要特性，它在比較大小、求函數(shù)值域(最值)、 方程、解證不等式以及參數(shù)取值范圍等方面有著廣泛的應(yīng)用，因而它在高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)

13、中均有重要地位運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，首先要能迅速判定函數(shù)的單調(diào)性下面列舉八種判定方法，以拓展解題思路，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高思維效率。3.1 作差法設(shè)、是某區(qū)間上任意兩點(diǎn)，且的正負(fù)，確定與的大小，從而判定函數(shù)的單調(diào)性。這種方法是判定函數(shù)的單調(diào)性最常用的方法。用定義證明在上的減函數(shù)。證明 設(shè)、，且，則故在區(qū)間上是減函數(shù)。已知函數(shù)對(duì)任意，都有，且時(shí)，試判斷的單調(diào)性。解 令，得令，得設(shè),則所以，故函數(shù)在上為減函數(shù)。3.2 作商法若在某區(qū)間上的值恒正，則可以設(shè)，屬于某區(qū)間，且，利用與1的大小關(guān)系，確定與的大小，從而判定函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)函數(shù)定義在上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，。求證：是上的減函數(shù)。證明 令

14、，則令，則又，且故對(duì)任意設(shè)，并設(shè)，則故是上的減函數(shù)。3.3 利用反函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，值域?yàn)閰^(qū)間，且函數(shù)存在反函數(shù)，則函數(shù)在上與函數(shù)在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性。例4 函數(shù)的反函數(shù)是（ ）。是奇函數(shù)，在上是減函數(shù)是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)解 因函數(shù)在上都是增函數(shù)，故函數(shù)在上是增函數(shù)。因，故函數(shù)在上是奇函數(shù)。又函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性相同，且同為奇函數(shù)，故選C。3.4 利用和、倍、積、倒函數(shù)的單調(diào)性為下面敘述方便起見，我們先做如下約定：若恒有，則函數(shù)叫做正值函數(shù)；若很有，則函數(shù)叫做負(fù)值函數(shù)。在判定函數(shù)單調(diào)性時(shí)常常用到以下幾個(gè)結(jié)論：兩個(gè)增（減）函數(shù)

15、之和仍為增（減）函數(shù)。若函數(shù)為增（減）函數(shù)，則當(dāng)時(shí)函數(shù)為增（減）函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為減（增）函數(shù)。正（負(fù)）值函數(shù)若為增（減）函數(shù)，則其倒數(shù)函數(shù)為減（增）函數(shù)。兩個(gè)正值增（減）函數(shù)之積為增（減）函數(shù)，兩個(gè)負(fù)值增（減）函數(shù)之積為減（增）函數(shù)。例5 討論函數(shù)的單調(diào)性。解 函數(shù)的定義域?yàn)椋诖藚^(qū)間上、均為增函數(shù)。由（3）知為減函數(shù)，由（2）知為增函數(shù)，由（1）知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)。3.5 利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有下面兩個(gè)結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，且在上的值域?yàn)閰^(qū)間，函數(shù)在上是增（減）函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在上是增函數(shù)。若函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，且在上的值域?yàn)閰^(qū)間，函數(shù)在上是減（

16、增）函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在上是減函數(shù)。上面兩個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)記為“同增異減”。例6 討論函數(shù)的單調(diào)性。解 函數(shù)的定義域?yàn)?令,則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，。在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，。所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)。3.6 換元法換元轉(zhuǎn)化，建立一一對(duì)應(yīng)，通過研究一個(gè)新函數(shù)的單調(diào)性，獲得所求函數(shù)的單調(diào)性。例7 已知函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解 設(shè)，則當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間是。當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間是。3.7 導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，層次清楚，操作方使，簡(jiǎn)便易行，且不容易出錯(cuò)。例8 討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。解 ，設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間

17、上單調(diào)遞增。3.8 綜合法數(shù)學(xué)解題，要“因題定法”。在實(shí)際解題時(shí)，某些問題需綜合多種方法，變通使用，才能優(yōu)化求解過程。例9 設(shè)，判斷此函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明。分析 若函數(shù)解析式變?yōu)閯t由在區(qū)間上為減函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)在定義域上是減函數(shù)。證明 設(shè)，則故，函數(shù)在上是減函數(shù)。第四章 函數(shù)單調(diào)性在解題當(dāng)中的應(yīng)用單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，該性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用，主要用于如下幾個(gè)方面：4.1 比較兩個(gè)數(shù)的大小例1 比較和的大小。分析 從題設(shè)的兩個(gè)對(duì)數(shù)，便想起了在上是單調(diào)增函數(shù)，因此只要比較兩個(gè)真數(shù)的大小，原題就可以獲解。解 由，解得。當(dāng)時(shí)，有。因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故。4.2 證明與正整數(shù)有關(guān)的命題已知，且，求證

18、。分析 欲證，需證?？闪?，通過計(jì)算，易知是單調(diào)函數(shù)。由此，原命題迎刃而解。證明 構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)榍?，故所以是單調(diào)遞減函數(shù)又所以即4.3 解方程例3 解方程。分析 令，顯然，在公共定義域內(nèi)，是增函數(shù)，是減函數(shù)。直接驗(yàn)證知。以此為基礎(chǔ)，用函數(shù)、的單調(diào)性即可求出原方程的解。解 設(shè)，在公共定義域內(nèi)，是增函數(shù)，是減函數(shù)，又顯然，所以方程僅有一解。故原方程的解是。4.4 證明不等式在證明不等式中，通過聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，將常量作為變量的瞬時(shí)狀態(tài)，置于構(gòu)造函數(shù)的單區(qū)間內(nèi)，利用其單調(diào)性證明一些不等式，十分便捷。例4 已知、，求證。分析 直接求證非常困難，觀察條件及所證明結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)、是對(duì)稱的，變形所證不等式為，其中。

19、解 構(gòu)造函數(shù)，只需證時(shí)恒成立。當(dāng)時(shí)，恒成立。 當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)在上是單調(diào)的。因?yàn)樗栽谏虾愦笥诹?。綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立。4.5 求參數(shù)的取值范圍例5 已知是奇函數(shù)，在實(shí)數(shù)集上又是單調(diào)遞減函數(shù)，且時(shí)求的取值范圍。分析 因已知函數(shù)是奇函數(shù)，將已知不等式移向后可得。根據(jù)是減函數(shù)脫去，然后由式子特征構(gòu)造相應(yīng)單調(diào)函數(shù)。解 由題設(shè)知時(shí)因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故有構(gòu)造函數(shù)，它在上是減函數(shù)，值域?yàn)?，故。綜上所述，用函數(shù)單調(diào)性解題的關(guān)鍵是通過觀察、分析、聯(lián)想、構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。若構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不明顯，則需證明它具有單調(diào)性（如例2），然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解或證明。結(jié)論以上內(nèi)容，說明函數(shù)單調(diào)性在求最值、解不等式、恒成立及解方程根等問題中的巧用，有些問題，看起來好象與單調(diào)性無關(guān)，但只要我們注意觀察，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，就可應(yīng)用單調(diào)性來解當(dāng)然解題時(shí)往往需要合理地架設(shè)“橋梁”，即“化歸”，化歸是一種重要的解題策略，培養(yǎng)善于轉(zhuǎn)化的能力不可能一蹴而就，需要在牢固掌握函數(shù)單調(diào)性的定義和