余弦定理習題課參考教案

1、8.1. 2余弦定理授課類型：習題課【教學目標】1 .掌握余弦定理的推導過程，熟悉余弦定理的變形用法。2 .較熟練應用余弦定理及其變式，會解三角形，判斷三角形的形狀。教教學重、難點】重點：熟練應用余弦定理。難點：解三角形，判斷三角形的形狀?！窘虒W過程】【知識梳理】1 .余弦定理：(1)形式一：2 .22abc2bccosA;,222bac2accosB；22.2cosAcab2abcosC.22,2a c b .cosB2bc2ac22c2cosC一一J.(角到邊的轉換)2ab2 .解決以下兩類問題:1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解

2、）a2b2c2A是直角AB（g直角三角形3 .三角形ABC中a2b2c2A是鈍角AB（g鈍角三角形a2b2c2A是銳角AB晶銳角三角形4 .解決以下兩類問題：1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）2)、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；(唯一解)【典例應用】題型一根據三角形的三邊關系求角例1.已知ABC中，sinA:sinB:sinC=(J3+1)：(寸31):中0,求最大角.解：.sinA一sinB一sinC.sinA:sinB:sinC=a:b：c=(73+1)：(欣一1)：回設a=h/3+1)k,b=(3-1)k,c=Vi0k(k>0)a2+b2c2則最大角為=.2ab(通

3、+1)2+(V3-1)2-7102_12玉/3+1)(73-1)2C=120°.評析：在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時，運用了正弦定理的變形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,這一轉化技巧，應熟練掌握.在三角形中,大邊對大角，所以角C最大。變式訓練1在ABC中，若(abc)(bca)3bc,則A()A.900B.600C.1350D.1500解：(abc)(bca)3bc,(bc)2a23bc,222nonbca1bca3bc,cosA,A602bc2題型二：題型二已知三角形的兩邊及夾角解三角形例2.在zABC中，BC=a,AC=b，且a,b是方程x22j

4、3x20的兩根,2cosAB1o(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長；(3)求AABC的面積。解；=k-S+gi=-co柳工+B12ntl2因為人白是方程尹-2月天十2二口的兩根，所以卜十An2招ab-2；AB2=方*+a2-2abcos120°=1+Z?IGb=10nW5="/To_1V3J)aabc-a=評析：在余弦定理的應用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點。變式訓練1在ABC中，A60：,AC16,面積S22073，求BC的長2.鈍角ABC的三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，求三邊的長。題型三：判斷三角形的形狀例

5、3.在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC,試判斷ABC的形狀.解：方法一：由正弦定理和已知條件得：22c,2,20sinBsinCsinCsinB2sinBsinCcosBcosC,. sinBsinC 0, .sinBsinCB、C 為 ABC 的內角，.二 B故ABC為直角三角形.方法二：cosBcosC ,即 cos(B C) 0 ,C 90), A 90：原等式變形為：b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC,即：b2 c2 b2 cos2 C2 、 cos B2bccosBcosC ,答案：C由余弦定理得:b2 c2b2(-.22b

6、c2ab)22 2za c (2acb2)22bc2ac2abb22.22(a bc c2)i (a2 c2 b2)2 4a2b2故ABC為直角三角形.評述：判斷三角形的形狀，一般是從題設條件出發(fā)，根據正弦定理、余弦定理進行邊角變換，全化為邊的關系或全化為角的關系，導出邊或角的某種特殊關系，然后利用平面幾何知識即可判定三角形的形狀。變式訓練21.在4ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解:222由 2cosBsinA=sinC 得ac>a=c,ac二 a=b.答案：C2.在 ABC中，bcosA a

7、cosB ,則三角形為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解：由余弦定理可將原等式化為:.222b c a2bc22.2a c ba 2ac即2b22a2,ab典例訓練1 .在4ABC中，若C900,a6,B300,則cb等于（）A.1B.1C.2<3D.2432 .若A為AABC的內角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）1A.sinAB.cosAC.tanAD.tanA3 .在ABC中，角A,B均為銳角，且cosAsinB,則ABC的形狀是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形4 .等腰三角形一腰上的高是V3,這條高與底邊的夾角為60°,則底邊長為（_、3A.2B.C.3D.2135 .在ABC中，若b2asinB,則A等于（）A.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°或150°6 .邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）A.90°B.120°C.135°D.150°7 .在ABC中，若acosAbcosBccosC,則ABC的形狀是什么8.在AABC中，求證:b ,cosB c