2010高三數(shù)學(xué)高考最后30天沖刺練習(xí)：解析幾何

1、2010高考數(shù)學(xué)最后30天沖刺練習(xí)：解析幾何例1、如圖所示，已知圓為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.（I）求曲線E的方程；（II）過點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點(diǎn)H、Q，求|HQ|.【解】（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|.2分又動點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 5分曲線E的方程為6分（2）直線的斜率直線的方程為8分由10分設(shè)，12分例2、 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l

2、交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值【解】 （1）設(shè)橢圓C的方程為， 拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為， 橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即， 3分 由，得， 橢圓C的方程為6分 （2）由（1）得， 7分設(shè) ，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入，并整理得， 9分 10分又， ，由，得， 12分 14分例3、 在直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP，P為垂足. （1）求線段PP中點(diǎn)M的軌跡C的方程； （2）過點(diǎn)Q(2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過點(diǎn)，且以 為方向向量的直線上一動點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問是否存在這樣的直線l，使得

3、四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明文由.【解】（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點(diǎn)，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圓上的任意一點(diǎn)，則 則有：得， 軌跡C的方程為 （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無交點(diǎn). 所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線方程為 由 由= 即 即，四邊形OANB為平行四邊形 假設(shè)存在矩形OANB，則，即， 即， 于是有 得 設(shè)， 即點(diǎn)N在直線上. 存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為例4、設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與

4、拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）AyxOBGFF1圖4【解析】（1）由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理 以為直角的只有一個(gè)。若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的

5、有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。例5、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)（1）求橢圓的方程：（2）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；（3）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上【解析】（1）設(shè)橢圓方程為將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程 （4分）（2），設(shè)邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈闹荛L為定值6所以， 所以的最大值為所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 （10分）（3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根系數(shù)的關(guān)系，得直線的方程為：，

6、它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：，因此結(jié)論成立綜上可知直線與直線的交點(diǎn)住直線上（16分） 法二：直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得直線與直線的交點(diǎn)在直線上例6、設(shè)橢圓M：(ab0)的離心率為，長軸長為，設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)。（）求橢圓M的方程；（）求證| AB | =；（）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。解：（）所求橢圓M的方程為3分（）當(dāng)，設(shè)直線AB的斜率為k = tan，焦點(diǎn)F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為y

7、= k ( x 3 )有( 1 + 2k2 )x2 12k2x + 18( k2 1 ) = 0 設(shè)點(diǎn)A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )有x1 + x2 =, x1x2 =|AB| = * 6分又因?yàn)?k = tan=代入*式得|AB| = 8分當(dāng)=時(shí)，直線AB的方程為x = 3，此時(shí)|AB| = 10分而當(dāng)=時(shí)，|AB| =綜上所述所以|AB| =（）過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，同理可得|CD| = 12分有|AB| + |CD| =+=因?yàn)閟in20，1，所以 當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1時(shí)，|AB|+|CD|有最小值是 14分例7、直線與拋物線相交于

8、A、B兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，若證明：直線過定點(diǎn)證明：（I）當(dāng)直線有存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，顯然2分聯(lián)立方程得：消去由題意： 5分又由得， 7分即，解得  9分故直線的的方程為：，故直線過定點(diǎn) 11分（II）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，設(shè)它的方程為，顯然聯(lián)立方程得： ,即又由得，即，解得  可知直線方程為：，故直線過定點(diǎn) 綜合（）（）可知，滿足條件的直線過定點(diǎn)13分例8、已知拋物線，點(diǎn)M(m,0)在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）若m=1，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；（）若存在直線l使得成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（）解：由題意，

9、得，直線l的方程為.由, 得,設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為, AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則,故點(diǎn) -3分所以,故圓心為, 直徑,所以以AB為直徑的圓的方程為； -6分方法一：（）解：設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為, .則, 所以 因?yàn)辄c(diǎn)A, B在拋物線C上, 所以, 由，消去得. -10分 若此直線l使得成等比數(shù)列，則， 即，所以， 因?yàn)?，所以，整理得?-12分 因?yàn)榇嬖谥本€l使得成等比數(shù)列，所以關(guān)于x1的方程有正根， 因?yàn)榉匠痰膬筛e為m2>0, 所以只可能有兩個(gè)正根， 所以，解得.故當(dāng)時(shí)，存在直線l使得成等比數(shù)列. -14分方法二：（）解：設(shè)使得成等比數(shù)列的直線AB方程為或,當(dāng)直線AB方程為時(shí), ，因?yàn)?/p>

10、成等比數(shù)列, 所以，即，解得m=4，或m=0(舍)-8分當(dāng)直線AB方程為時(shí)， 由，得，設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為, 則, 由m>0, 得.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列, 所以,所以， 因?yàn)锳, B兩點(diǎn)在拋物線C上，所以, -11分 由，消去, 得,因?yàn)榇嬖谥本€l使得成等比數(shù)列，所以, 綜上，當(dāng)時(shí)，存在直線l使得成等比數(shù)列. -14分例9、如圖所示，點(diǎn)且（1）設(shè)動點(diǎn)N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)B（-2，0）的直線與曲線C交于點(diǎn)P、Q，若在曲線C上存在點(diǎn)M，使得的斜率的取值范圍，解：（1）設(shè)，由知：R是TN的中點(diǎn)，1分 則3分 則就是點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程：5分 （2）設(shè)直線的方程為，代入曲線C

11、的方程， 得 此方程有兩個(gè)不等實(shí)根， M在曲線C上，P、Q是直線與曲線C的交點(diǎn)，設(shè) 則，是以PQ為斜邊的直角三角形，8分，顯然，10分為點(diǎn)M的坐標(biāo)，關(guān)于的方程有實(shí)根，。，直線的斜率且，或13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例10、已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn). （1）求P點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求證直線AB的斜率為定值； （3）求PAB面積的最大值。 解：（1）由題可得，設(shè)則，2分，點(diǎn)在曲線上，則，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 5分（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，6分

12、則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，同理可得，則，. 9分所以：AB的斜率為定值. 10分（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得P到AB的距離為，12分則 。當(dāng)且僅當(dāng)取等號三角形PAB面積的最大值為。14分例11、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F1，C上存在一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離相等(1)求橢圓的離心率的取值范圍；O·F1xyAB(2)若已知橢圓的左焦點(diǎn)為（-1，0）,右準(zhǔn)線為，A、B為橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，試證明直線AB總與一個(gè)定圓相切,并求該圓的面積.解（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則|PF1|=，=，2分整理得：，而，解得5分（2）易求得橢圓的

13、方程為，6分設(shè)AB不垂直于軸時(shí)，AB的方程為，聯(lián)立方程可得由得且8分而，即。而原點(diǎn)到直線 AB的距離為，所以原點(diǎn)到直線 AB的距離為。即直線AB都與圓相切。11分設(shè)AB垂直于軸時(shí)，AB的方程為，代入橢圓方程得即，此時(shí)，直線AB與圓相切.綜上: 直線AB一定與圓相切,且該圓的面積為.13分例12、我們把由半橢圓（x0）與半橢圓 (xo)合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a>0，6>c>O如圖，設(shè)點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，M是線段A1A2的中點(diǎn)(13分)(I)看F0F1F2是底邊F1F2疋長為6，腰長為5的等

14、腰三角形，求該“果圓”的方程； (1I)若“果圓”方程為：，過F0的直線l交“果圓”于y軸右邊的Q，N點(diǎn)，求OQN的面積SOQN的取值范圍解：(I)，于是，c2=16，a2=b2+c2=41，所求“果圓”方程為， (4分) ()若直線l的斜率k存在，則由圖可知，k2>3設(shè)直線l的方程為：y=k(x-1)，設(shè)點(diǎn)Q，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)由消x，得， （6分）（8分） （10分）若直線lx軸，則QN=3，故綜上，得（13分）例13、如圖,ABC的內(nèi)切圓與三邊AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為D、E、F,已知， C ,內(nèi)切圓圓心.設(shè)A點(diǎn)的軌跡為L (1)求L的方程;OFECDA

15、B.Ixy(2)過點(diǎn)C作直線交曲線L于不同的兩點(diǎn)M、N,問在軸上是否存在一個(gè)異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q.使對任意的直線都成立? 若存在,求出Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由.解:(1)由題意.I E軸, , (3分)據(jù)雙曲線的定義知,點(diǎn)A的軌跡L是以B、C為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線的右支,除去E(1,0). 故L的方程為: (4分)(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn), 設(shè) (6分)于是:當(dāng)MN軸時(shí),點(diǎn)在軸上任何一點(diǎn)處,都能夠使得:MQC=NQC成立, (8分)當(dāng)MN不垂直軸時(shí),設(shè)直線.由 得:則:即:即 當(dāng)時(shí),能夠使:對任意的直線都成立. (14分)例14、已知點(diǎn)、和動點(diǎn)滿足：,且存在正常數(shù)，使得（I）求動點(diǎn)的軌跡

16、的方程；（II）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)、,且與軸的交點(diǎn)為.若求的值.解：（I）在中，由余弦定理得(1分)(4分)，即動點(diǎn)的軌跡為以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓.動點(diǎn)的軌跡的方程為：. (6分)（II）由得.（） (7分)設(shè)、，易知，則(8分)又 (10分)將代入、得消去得或，代入（）方程 .故 (12分)例15、雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn),直線為C的一條漸近線（1）求雙曲線C的方程;（2）已知點(diǎn)M（0，1），設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求·的范圍.解：設(shè)雙曲線方程為: () （1分）由橢圓,求得兩焦點(diǎn), （3分）,又為一條漸近線, 解得: （5分） （6分）設(shè)，則 （7分

17、） · （9分）又， · （10分）又 （11分） ·· （13分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例16、設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在 軸上，且（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)是曲線上的點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).【解】 （1）設(shè)，則由得為中點(diǎn)，所以 又得，所以（）. 6分（2）由（1）知為曲線的焦點(diǎn)，由拋物線定義知，拋物線上任一點(diǎn)到 的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，所以，根據(jù)成等差數(shù)列，得， 10分直線的斜率為，所以中垂線方程為， 12分又中點(diǎn)在直線上，代入上式得，即，所以點(diǎn). 15分例17、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動點(diǎn)C滿足 條件：ABC的周長為22.記動點(diǎn)C的軌跡為曲線W. () 求W的方程；() 經(jīng)過點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍； ()已知點(diǎn)M（，0），N（0, 1），在()的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量 與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由【解】交點(diǎn)。 由定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 。 W：.5分() 設(shè)