余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)-教學(xué)設(shè)計(jì)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1?能利用單位圓中的余弦線畫出余弦函數(shù)的圖像?2?能類比正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)得出余弦函數(shù)的性質(zhì)?3?能理解余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義?4?會(huì)求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間【知識(shí)梳理】問題1:余弦函數(shù)的圖像的作法(1)平移法:余弦函數(shù)y=cosx的圖像可以通過將正弦曲線y=sinx的圖像向平移個(gè)單位長度得到(如圖)？五點(diǎn)法:余弦曲線在0,2n上起作用的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為.問題2:余弦函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間定義域?yàn)?(2)值域?yàn)?(3)單調(diào)增區(qū)問為,減區(qū)間為.問題3:余弦函數(shù)的周期、奇偶性、對稱

2、軸和對稱中心(1)周期T=;(2)偶函數(shù);(3)對稱軸為(4)對稱中心為.問題4:余弦函數(shù)的復(fù)合函數(shù)f(x)=Acos(3x+()(A>0,3>)的對稱軸、對稱中心和單調(diào)區(qū)間當(dāng)3x+$-=kn時(shí)，即為對稱中心；當(dāng)3x+(J玨n+2knn時(shí)，求得x屬于的區(qū)間為當(dāng)3x+e=n時(shí)，即為對稱軸；區(qū)間；當(dāng)3x+(J)E2kn,+2kn,求得x屬于的區(qū)間為區(qū)間.(注：以上k?Z)【典型例題】要點(diǎn)一余弦函數(shù)的圖像及應(yīng)用例1畫出y=cosx(x?R)的簡圖，并根據(jù)圖像寫出1、(1) yA2時(shí)x的集合；(2)一瑋才時(shí)x的集合.解：用五點(diǎn)法”乍出y=cosx的簡圖1過0,2點(diǎn)作x軸的平行線，從圖像中看

3、出：在nn區(qū)間與余弦曲線交于一n,2,3,2點(diǎn)，在n,n區(qū)間內(nèi)，yg時(shí)，x的集合為x|一打者夸.1當(dāng)x?R時(shí)，若y虧nn則x的集合為x§+2kn咒+2knk?Zi、/3(2) 過0,2,0,2點(diǎn)分別作x軸的平行線，從圖像中看出它們分別與余弦曲線交于一¥+2kn2,k?Z,2n+2kn2,k?z點(diǎn)和一n+2knW,k?Z,326236+2kn,),k?Z點(diǎn)，那么曲線上夾在對應(yīng)兩直線之間的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合即為所求，即當(dāng)一2號(hào)黑才時(shí)x的集合為：x+2kn-+2kn或;+2kn奚+2kn,k?Z3663規(guī)律方法：利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線，可解簡單的三角函數(shù)不等式，但需注意解的

4、完整性.cosx>05$<5由題意,X滿足不等式組25-x2>0,即cosx>0,25 x 2的定義域.跟蹤演練1求函數(shù)f(x)=1gcosx+作出y=cosx的圖像.»nUn,nU|n,5.結(jié)合圖像可得：要點(diǎn)二：余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2求函數(shù)y=log(cos2x)的增區(qū)間.解：由題意得cos2x>0且y=cos2x遞減.?x只須滿2kn<x<2kn+/,k?足:1kn<<kn+4,k?Z.?y=10gA(cos2x)的增區(qū)間為knkn+4,k?乙規(guī)律方法：用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí)應(yīng)先將異名化同名，把不在同一單調(diào)區(qū)

5、間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性來比較大小174 n.跟蹤演練2:比較下列各組數(shù)的大小.23匕(1)-sin46與cos221(2)cos-一''''5n與cos解：(1)sin46=-cos44=cos136°cos221=cos41=cos139.0?180°>139°>136°>0?cos139<cos136;即一sin46>cos221:(2)cos235 n23=cos 5 n= cos4 n+ 53n = cos5n,cos417n = cos, n =4cos4

6、17 n+4? ? 0<4<3 兀 <n0,y= cos x 在 n上遞減,CO$n<COs4 即 pCOs17n<cos 4 n要點(diǎn)三：余弦函數(shù)值域（最值）例3:求下列函數(shù)的值域.2-2sinx(1)y=cos2x+cosx；(2)y=72+sinx11解：(1)y=cosx22+4?1<cox<1?當(dāng)cosx=ymax2時(shí)，當(dāng)cosx=-1時(shí)，ymin=-2.1?函數(shù)y=cos2x+cosx的值域是一2,442+sinxy2+sinx12+sinx1<sinx<1?1W2sinx<3113<2+sinx.441<43今

7、+sinx1<32sinx1?y=2+qirix的值域?yàn)?,3.函數(shù)21jnx3八2+sinx規(guī)律方法：求值域或最大值、最小值問題，一般依據(jù)為：sinx,cosx的有界性；sinx,cosx的單調(diào)性；化為sinx=f(y)或cosx=f(y)利用|f(y)|w來確定；通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).跟蹤演練3求函數(shù)y=cos2x+4sinx的最值及取到最大值和最小值時(shí)的x的集合.(提示：sin2a+cos2a=1)：y=cosfx+4sinx=1sin2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=(sinx2)2+5.?當(dāng)sinx=1,即x=2kn+2,k?Z時(shí)，ymax=4;nsinx=1時(shí)

8、，即x=2knq,k?Z時(shí)，ymin=4.所以ymax=4,此時(shí)x的取值集合是nxx=2kn+q,k?Z;ymin=4,此時(shí)x的取值集合是xx=2knn,k?Z一、選擇題1?函數(shù)y=cosx（0嘆哼的值域是（）1A?1,1B?2，11C?0,2】D?【T，o答案B解析?函數(shù)y=cosx在0,上是減函數(shù),n1?函數(shù)的值域?yàn)閏o,sco§sO,即二,1?2?函數(shù)y=coSx3cosx+2的最小值為（）A?2B?0C4D?6答案B31解析y=cosx224，當(dāng)cosx=1時(shí)，y最小=0.3.函數(shù)y=cosx+|cosx|,x?0,2的大致圖像為（）解y=cosx+|cosx|2cosxx?

9、0,nU才，2n=,故選D.ox?n多4?方程|x|=cosx在(-x,+x)()A.沒有根B.有且僅有一個(gè)根C.有且僅有兩個(gè)根D.有無窮多個(gè)根答案C解析在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y=|x|及函數(shù)y=cosx的圖像，如圖所示.發(fā)現(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程|x|二cosx有2個(gè)根.5.已知函數(shù)f(x)=sin(n勺一1,則下列命題正確的是()A.f(x)是周期為1的奇函數(shù)B.f(x)是周期為2的偶函數(shù)C.f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)D.f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)答案B解析由f(x+2)=f(x)可知T=2,再f(x)=sin(n?) 1 =cos n 1,f( 一 x) = 一 COSL nx)

10、、1 = 一 COS % 1 = f(x).6 ?函數(shù)y=的定義域是（）3+cosxA.RB.x|x工2nk?ZC.x|x工2n+n,k?Zkn,“、D.x|x工？，k?Z答案A解析要使函數(shù)有意義，則需3+cosx>0,又因?yàn)橐籏cos<1顯然3+cosx>0,所以x?R.二、填空題7?函數(shù)y=cosx在區(qū)間na上為增函數(shù)，則a的取值范圍是：答案(n0解析Ty=cosx在n0上是增函數(shù)，在0,n上是減函數(shù)，47cos44、8比較大?。篒ocos(-9冗)？只有一n<W00寸，滿足已知條件，？a?(n,0.解析叼s%=cos3-cns。答案>cos44n=cos5n

11、+才=cos#，由y=cosx在0，n上是單調(diào)遞減的，所以c0sAn<C0Sn，所以4744coS斛售>cos9n319?若函數(shù)f(x)=absinx的最大值為2最小值為一2求函數(shù)y=1acosbx的最值和周期.31右SinX=1,f(x)min=2解析當(dāng)b>0時(shí)，若sinx=-1,f(x)2?max=2；1勺二一解得b=1.、1此時(shí)b=1>0符合題意，所以y=12cosx.31當(dāng)b=0時(shí),f(x)=a,這與f(x)有最大值2,最小值一2矛盾，故b=0不成立.3ab=2,當(dāng)b<0時(shí),顯然有ia+b=一21a解得2符合題意.b1,11所以y12cos(-x)=1co

12、sx2.131綜上可知，函數(shù)y1一;cosx的最大值為2,最小值為2,周期為2n.,、選擇題1?將下列各式按大小順序排列，其中正確的是()1。A.cos0<coE<cos1vcos30<cos1oCO0<COS<CO2VCO30<COS11ocos0>coS1>cos30、>cos1>cosncos0>cog>cos1>cos30>cos潛案D解析在0,n上，o<2<n<i,又余弦函數(shù)在0,n上1冗是減少的，所以COS0>COE>COS6>COS1>0.1n又cos&l

13、t;0,所以cos0>coS2>cos6>cos1>cosn0JJO*/4JtABC2?函數(shù)f(x)=xcosx的部分圖像是()答案D解析由f(x)=-xcosx是奇函數(shù)，可排除A,C.令x=n,貝yf(n尸一盤。寸=一o.故答案選D.二、填空題R,則m的取值范圍是PH2mIII3.右cosx=)且x?3m+2答案(一%,3U-5,2m1解析I3m+2=|COSX|勺?|2m1|<m+2|.?.朔fm的好域福+ 2)2R?端1正照期融II Q3n 學(xué)m 2$右 f(x) =1.? .m? ( x, 3 U 5, +un小c0sx 2$<o 一sinx OWk

14、v n15貝(J f 14?n =答案解析?/T=暹？?？kT=k-n(k?Z)都是y=f(x)的周57C272Sin4=期,17 n工解答題23n5.利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，比較cos (丁）與 cos （一壬）的大小.分析利用誘導(dǎo)公式化為0,n上的余弦值，再比較大小.23x23n3n解cos(5=cos5=C0S5cos(17 n ncos_Y = co%因?yàn)?V<3<n,且函數(shù)y=cosx,x?0,n是減函數(shù),所以cos4>cos3n5n即cos(23)<cos(一事6?求下列函數(shù)的定義域.(i)y=cossinx(2)y=12cosx+lg(2sinx-1).解析要使y=icossinx有意義，需有cos(sinx)>Q又T1<six<1而y=cosx在11,1上滿足cosx>0,R.?y=cossinx的定義域?yàn)镽.(2)要使函數(shù)有意義，只要1 2cosx >0sinx>1.里猝國即簪集為 x| f+2k兀奚考+ 2k n k ?Z . sinx>|的解集為x|f+2k兀<<5"+2knk?Z.它們的交集為+2k5n+2knk?Z,即為函數(shù)的定義nxf1an7.函數(shù)f(x)=24+acosxcosFx(0嘆為)的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的