實數(shù)_知識點+題型歸納

1、第六章 實數(shù)知識講解 +題型歸納知識講解一 、 實數(shù)的組成1、實數(shù)又可分為正實數(shù)，零，負(fù)實數(shù)2.數(shù)軸：數(shù)軸的三要素原點、正方向和單位長度。數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)二 、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)1. 相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)。數(shù) a 的相反數(shù)是 -a。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反數(shù)是零 . 性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為 0。2.絕對值：表示點到原點的距離，數(shù)a 的絕對值為 | a |3.倒數(shù)：乘積為 1 的兩個數(shù)互為倒數(shù)。 非 0 實數(shù) a 的倒數(shù)為 1.0沒有倒a數(shù)。4.相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0；絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù) （0 和正數(shù)）；倒數(shù)是它本身的數(shù)是&#

2、177; 1.三、平方根與立方根1.平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)叫做 a 的平方根。數(shù) a 的平方根記作a（ a>=0）特性：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，零的平方根還是零。負(fù)數(shù)沒有平方根。正數(shù) a 的正的平方根也叫做a 的算術(shù)平方根，零的算術(shù)平方根還是零。開平方 :求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。2.立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，則稱這個數(shù)為 a 立方根。數(shù) a 的立方根用 3 a 表示。任何數(shù)都有立方根，一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，零的立方根是零。開立方：求一個數(shù)的立方根（三次方根）的運算，叫做開立方。四 、實數(shù)的運算有理數(shù)的加法法則：

3、a）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；b) 異號兩數(shù)相加。絕對值相等時和為 0；絕對值不相等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值 . 任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。2.有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。3.乘法法則：a）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零b）幾個不為 0 的有理數(shù)相乘， 積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負(fù)，為偶數(shù)，積為正c）幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)為0，積就為 04.有理數(shù)除法法則：a）兩個有理數(shù)相除（除數(shù)不為0）同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。 0 除以任何非 0 實數(shù)都

4、得 0。b）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。5.有理數(shù)的乘方 :在 an 中， a 叫底數(shù)， n 叫指數(shù)a）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負(fù)數(shù)；0的任何次冪都是 0b）a0 =1（a 不等于 0）6.有理數(shù)的運算順序：a）同級運算，先左后右b）混合運算，先算括號內(nèi)的， 再乘方、開方，接著算乘除，最后是加減。五·實數(shù)大小比較的方法1）數(shù)軸法：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點表示的數(shù)2）比差法：若 a-b>0 則 a>b；若 a-b<0 則 a<b；若 a-b=0 則 a=b3）比商法： A.兩個數(shù)均為正數(shù)時， a/b>1 則 a&

5、gt;b；a/b<1 則 a<bB.兩個數(shù)均為負(fù)數(shù)時， a/b>1 則 a<b；a/b<1 則 a>b.C.一正一負(fù)時，正數(shù) >負(fù)數(shù)4）平方法： a、 b 均為正數(shù)時，若 a2>b2，則有 a>b；均為負(fù)數(shù)時相反5) 倒數(shù)法：兩個實數(shù)，倒數(shù)大的反而?。ú徽撜?fù)）題型歸納經(jīng)典例題類型一有關(guān)概念的識別1 下面幾個數(shù)： 0. 23 ，1.010010001 ， 3 ，其中，無理數(shù)的個數(shù)有（）A、1B、2C、3D、4解析：本題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，1.010010001 ， 3 ，是無理數(shù)故選 C舉一反三：【變式 1】下列說法中正

6、確的是（）A、的平方根是± 3B、1 的立方根是± 1C、=±1D、是 5 的平方根的相反數(shù)【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念， =9， 9 的平方根是± 3， A 正確1 的立方根是 1，=1，是 5 的平方根， B、C、D都不正確;.【變式 2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點 A，則點 A 表示的數(shù)是（ ）A、1B、1.4C、D、【答案】本題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知 |AO|=， A 表示數(shù)為，故選 C

7、【變式 3】【答案】 = 3.1415 ， 9 3 10因此 3 -9 0， 3 -10 0類型二計算類型題2 設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.解析：（估算）因為，所以選 B舉一反三：【變式 1】1）1.25 的算術(shù)平方根是 _；平方根是）.2-27立方根是 _）.3，_.【答案】 1）；.2）-3. 3），【變式 2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（ 1）（ 2）x=4 或 x=-2 （ 3）x=-4類型三數(shù)形結(jié)合3. 點 A 在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點 B 在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則 A，B 兩點的距離為 _解析：在數(shù)軸上找到A、B 兩點，舉一反三：【變式 1】如圖，數(shù)軸上表示

8、1，的對應(yīng)點分別為A， B，點 B 關(guān)于點 A 的對稱點為C，則點 C 表示的數(shù)是（）;.A1 B1C 2D2【答案】選C 變式 2 已知實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡【答案】：類型四實數(shù)絕對值的應(yīng)用4 化簡下列各式：(1)|-1.4|(2) | -3.142|(3)|-|(4) |x-|x-3| (x 3)(5)|x 2+6x+10|分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值。解： (1) =1.414 1.4 |-1.4 |=1.4 -(2) =3.14159 3.142 | -3.142|=3.142- (3) ,|-|

9、=-.(4) x 3, x-3 0, |x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3| =說明：這里對 |2x-3| 的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認(rèn)識，并能靈活運用。(5) |x 2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(x+3) 2 +1| (x+3) 2 0, (x+3) 2 +1 0 |x 2 +6x+10|= x 2+6x+10舉一反三：【變式 1】化簡：【答案】=+-=類型五實數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用5已知：=0，求實數(shù) a, b 的值。分析：已知等式左邊分母不能為 0，只能有 0，則要求 a+7 0，分子+|a2 -49|=0 ，由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)

10、知：3a-b=0 且 a2-49=0 ，;.由此得不等式組從而求出a, b 的值。解：由題意得由(2) 得 a2=49 a=± 7由(3) 得 a>-7， a=-7 不合題意舍去。只取 a=7把 a=7 代入 (1) 得 b=3a=21 a=7, b=21 為所求。舉一反三：【變式 1】已知 (x-6) 2+|y+2z|=0 ，求 (x-y) 3 -z3 的值。解： (x-6)2+|y+2z|=0且(x-6)2 0, 0, |y+2z| 0,幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為0。解這個方程組得 (x-y) 3-z3 =(6-2) 3-(-1) 3=64+1=65【變式 2

11、】已知那么 a+b-c 的值為 _【答案】初中階段的三個非負(fù)數(shù)：，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2.類型六實數(shù)應(yīng)用題6有一個邊長為11cm 的正方形和一個長為13cm ，寬為 8cm 的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少cm。解：設(shè)新正方形邊長為xcm ，根據(jù)題意得x2 =11 2+13 × 8 x2=225 x= ± 15邊長為正， x=-15 不合題意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形邊長應(yīng)取15cm 。舉一反三：【變式 1】拼一拼，畫一畫：請你用 4 個長為 a，寬為 b 的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白

12、區(qū)域恰好是一個小正方形。（4 個長方形拼圖時不重疊）（1）計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？（2）當(dāng)拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多 3cm 時，大正方形的面積就比小正方形的面積多 24 cm2 ，求中間小正方形的邊長 .解析：（ 1）如圖，中間小正方形的邊長是：，所以面積為 =;.大正方形的面積=，一個長方形的面積=。所以，答：中間的小正方形的面積，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或）(2)大正方形的邊長：，小正方形的邊長：，即，又大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2所以有，化簡得：將代入，得：cm答：中間小正方形的邊長2.5 cm。類型七易錯題7判斷下列說法是否正確.（1）的算術(shù)平方根是 -3 ；（ 2）的平方根是± 15.（3）當(dāng) x=0 或 2 時，（ 4）是分?jǐn)?shù)解析：（ 1）錯在對算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).故（ 2）表示 225 的算術(shù)平方根，即=15.實際上，本題是求 15 的平方根，故的平方根是.（ 3）注意到，當(dāng)x=0 時，=，顯然此式無意義，發(fā)生錯誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒有平方根”，故x 0，所以當(dāng) x=2 時， x=0.（4 ）錯在對實數(shù)的概念理解不清.形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù) .類型八引申提高8（ 1）已知的整數(shù)部分為a