專題復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)必修5基本不等式經(jīng)典例題(教師用)

1、基本不等式知識點(diǎn)梳理及解題技巧培訓(xùn)知識點(diǎn)：1. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） (3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）4.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）6.設(shè)a，b是兩個正實(shí)數(shù)，用min(a，b)表示a，b中的較小的數(shù)，用max(a，b)表示a，b中的較大的數(shù)，則有min(a，b) max(a，b)當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取到等號注意：(1) 當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和

2、的最小值， 當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解：(1)y3x 22 值域?yàn)椋?）(2)當(dāng)x0時，yx22；當(dāng)x0時， yx= （ x）2=2 值域?yàn)椋ǎ?2，+）解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例 已知，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。技巧二：湊系數(shù)例： 當(dāng)時，求的最大值。解析

3、：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。技巧三： 分離換元例：求的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。技巧四：取平方例: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號

4、。 故。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤＜记闪赫w代換（“1”的應(yīng)用）多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。技巧七例：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x下面將x，分別看成兩個因式：x 即xx 應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式例：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。應(yīng)用三：均值不等式與恒