平面向量的內(nèi)積

1、1、向量的夾角的概念、向量的夾角的概念)1800( 兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 與與 反向反向abOABabOAa0 與與 同向同向abOABaba Bbb AOBab則則 叫做向量叫做向量 和和 的夾角的夾角 記作記作.記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:在兩向量的夾角在兩向量的夾角定義中定義中,兩向量必須是兩向量必須是同起點(diǎn)同起點(diǎn)的的練習(xí)練習(xí)1、如圖，等邊三角形中，求、如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與與AC的夾角；的夾角； （2）AB與與BC的夾角。的夾角。ABC 通過(guò)平移通過(guò)平移變成共起點(diǎn)！變成共起點(diǎn)！12060

2、Cs 我們學(xué)過(guò)功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）力F所做的功W可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中是F與S的夾角F功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定。這給我們一種啟示，能否把確定。這給我們一種啟示，能否把“功功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？記作記作= 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量 和和 ，它們的夾角為，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 abba即有即有cosbaab叫做叫做 與與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），的數(shù)量積（或內(nèi)積），bacosba規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量

3、與任意向量的數(shù)量積為0，00a即即 表示數(shù)量而不表示向量,與、 不同, 它們表示向量； aababba在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí),一定要注意向量夾角的取值范圍是0180（1）（2）（3）“”不能省略不寫(xiě)，也不能寫(xiě)為“”“”不能省略不寫(xiě)，也不能寫(xiě)為“”2、數(shù)量積的概念、數(shù)量積的概念（4）這是一種新的運(yùn)算法則，以前所學(xué)的運(yùn)算律、 性質(zhì)不適合練習(xí)練習(xí)1，已知，已知|a |=5，|b |=4，a與與b的夾角的夾角 ， 求求a b.6054cos60 154( )210 解：解： a b =|a | |b |cos知道 與 能不能求出a ba bcoscosa ba b0變1：當(dāng) 時(shí)求ab變3：當(dāng) 時(shí)求18

4、0ab90ab變2：當(dāng) 時(shí)求變4： 與 同方向，求a e ea(3)cos =( a b )/(|a|b|).(2)當(dāng)當(dāng)a與與b同向時(shí)同向時(shí),a b=|a|b|;當(dāng)當(dāng)a與與b反向時(shí)反向時(shí),ab=-|a|b|. 特別地特別地,a a (或?qū)懗苫驅(qū)懗?a 2)=| a |2或或| a |=a a 設(shè)設(shè)a，b都是非零向量，都是非零向量，e是與是與b方向相同的單方向相同的單位向量，位向量， 是是a與與e的夾角的夾角,則則 ab= /2cos =0(4) e a = a e=| a |cos .| a | b |cos =0 a b =0a b =| a | b |cos (1)ab a b =0.3、

5、向量數(shù)量積的性質(zhì)、向量數(shù)量積的性質(zhì)練習(xí)練習(xí)3 3、判斷下列命題是否正確、判斷下列命題是否正確1.若若a=0,則對(duì)任意向量則對(duì)任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,則對(duì)任意非零向量則對(duì)任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,則則b=0.4.若若ab=0，則，則a=0或或b=0.5.對(duì)任意的向量對(duì)任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,則則b=c.( )()( )()()()7.7.對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,ca,b,c有有 (ab)c=a(bc(ab)c=a(bc) ) 對(duì)向量對(duì)向量, ,是否是否有有( (a a. .b b) )c c= =a a

6、( (b b. .c c) ) 運(yùn)算律和運(yùn)算緊密相連。引入向量數(shù)量積后，運(yùn)算律和運(yùn)算緊密相連。引入向量數(shù)量積后，自然要看一看它滿(mǎn)足怎樣的運(yùn)算律?？纯聪蛄繑?shù)量自然要看一看它滿(mǎn)足怎樣的運(yùn)算律。看看向量數(shù)量積能否滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律？積能否滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律？已知向量已知向量 和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù) ，則向量的數(shù)量積滿(mǎn)足：，則向量的數(shù)量積滿(mǎn)足：, ,a b c （1）a bb a （交換律）（交換律）（2）()()()aba bab （數(shù)乘結(jié)合律）（數(shù)乘結(jié)合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）4()()abcabc（不一定成立）（不一定成立）4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律、向量數(shù)量積的運(yùn)算律54602oa

7、babkkabab例2、已知， 與 的夾角為，問(wèn)當(dāng) 為何值時(shí)，向量與垂直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。與與時(shí)時(shí)，向向量量當(dāng)當(dāng)babakk21514 本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量的本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量的夾角夾角,數(shù)量數(shù)量積的概念積的概念,運(yùn)算率運(yùn)算率與與性質(zhì)性質(zhì)，常見(jiàn)的題型主要有：，常見(jiàn)的題型主要有：1、直接計(jì)算數(shù)量積（定義式以及夾角的定義）、直接計(jì)算數(shù)量積（定義式以及夾角的定義）2、由數(shù)量積求向量的模、由數(shù)量積求向量的模4、運(yùn)用

8、數(shù)量積的性判定兩向量是否垂直、運(yùn)用數(shù)量積的性判定兩向量是否垂直3、由數(shù)量積確定兩向量的夾角、由數(shù)量積確定兩向量的夾角練習(xí)2：作圖并求出求下列各組向量的夾角（1） =(=(0,-3) =(2,0)(2) (2) =(0,2) =(-2,2)=(0,2) =(-2,2)abab例2:已知: ,當(dāng) ; ; 與 的夾角為時(shí),分別求 與 的數(shù)量積.4,5abababba150ba已知: ,當(dāng) ; ; 與 的夾角為時(shí),分別求 與 的數(shù)量積.4,5abababba150ba解: , 與 同向或反向aabb , 與 同向或反向aabb若 與 同向,則,ab0若 與 同向,則,ab04520若 與 反向,則,ab180若 與 反向,則,ab18045( 1)20