概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重要公式

1、、隨機(jī)事件與概率公式名稱(chēng)公式表達(dá)式德摩根公式AU B = A" B，TB = AUb古典概型pm A 包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)幾何概型卩（A）P（A）卩（°），其中卩為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）求逆公式P(A) = 1 _ P(A)加法公式P(AU B)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)= 0 (A、B互斥)時(shí)，P(AU B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) , BuA時(shí) P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式乘法公式a、 P(AB)P(B A) -'7P(A)P(AB) = P(A)P(B|A

2、) = P(B)P(A B)P(ABC) = P(A)P(B A)P(C|AB)全概率公式nP(A)=E P(Bi)P(Ai TBi） 從原因計(jì)算結(jié)果貝葉斯公式 （逆概率公式）,P(Bi)P(AP(Bi|A)= n'E P(Bi)P(/i =1Bi）從結(jié)果找原因兩個(gè)事件 相互獨(dú)立P(AB) = P(A)P(B) ； P(BA)=P(B) ； P(Ba)=P(Ba)；般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)壬 P(X=xQF(x) =P(X ex)=存仝,P(a v X Eb) = F(b) F(a)xJf(t)dt概率密度函數(shù) b廠(chǎng)f(x)dx = 1計(jì)算概率：P(a蘭

3、 X 蘭 b)=J f (x)dx2、離散型隨機(jī)變量及其分布分布名稱(chēng)分布律0-1 分布X b(1,p)P(X = k) = pk(1 p)1-k, k = 0,1二項(xiàng)分布(貝努利分布) X B( n,p)P(X = k) = ckpk(1p)nk, k = o,1，n泊松分布 Xp(入)kP(X = k)=e" k= 0,1211) k!3、續(xù)型型隨機(jī)變量及其分布分布名稱(chēng)密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布x U(a,b)f (x) = *1 . ,a v x c b b -a0,其他F(x) = *'0,x c aI x a”.,a 蘭 x c b j b _ a1,x 蘭 b指數(shù)分布

4、XE(k)f (x)=, x> 00,x 蘭 0F (x)=11-ex, x>00,x< 0止態(tài)分布xN(嚇2)1( X_4 )2f (x )=一e心Y2兀O0 < X £ +1 x(:弋2F (x)= l L ed tV2na標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x N(0,1)21 - 申(x =/- e 2x/2兀OO £ x <+ °°1x Jt2TLe2 dt般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式a4a_uP(X za) = P(X ： a)：() P(X _a) = P(X a) =U(a )CTb A a 4P(a z b)=：()：()cra分布函

5、數(shù)對(duì)離散型隨機(jī)變量F (x)二P(X咗x)=為P(X = k)k <xx對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量F(x)二P(X乞x)f (t)dt'x分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系：F (x)二f (x) F(x) = P(X空x) = j f (t)dt4、隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布離散型：P(Y = yj = 、Pj，i 二1,2,川，g (Xj )連續(xù)型：分布函數(shù)法，公式法 fy(y) = fx (h(y) h"(y) (x = h(y)單調(diào))h(y)是g(x)的反函數(shù)三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量及其分布分布律：P(X二Xi,丫二yj二pi, j =1,2川|聯(lián)合分

6、布函數(shù)F(X,"八 、PjXi <x yi <y邊緣分布律：p . = p(x» PjPj=P(Y=yj)=v Pjji條件分布律：P(X =Xi 丫 =yj)=也,i =1,2,111，P(Y =yj|x =xj =巴，j =12川P jPi .-ba -bo聯(lián)合密度函數(shù)f (x, y) f (x, y) _0工 _-：f(x,y)dxdy = 12、連續(xù)型二維隨機(jī)變量及其分布 分布函數(shù)及性質(zhì)x y分布函數(shù)：F (x, y) = ._： . f (u, v) dudv0F(x,y)汨 F (x, y) = PX 乞 x, Y 乞 y性質(zhì)：F (：, ：) h,

7、、F (x, y) = f (x, y), P(x,y) G)二 f (x,y)dxdy cxcyg邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)分布函數(shù)：x:Fx (x)f (u, v)dvdu 密度函數(shù)：fx(x)二f(x,v)dv40fY(y)-f(U,y)dUy :Fy(y)二.f (u,v)dudv0 aO條件概率密度瓜3)=乎嚴(yán)嚴(yán)&<趙，fXY(xyHJ-<x<T X (x)fY ( y)般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式3、隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量X、丫相互獨(dú)立=F (x, y) = Fx(x)FY(y),離散型：r)j=Pi.P.j ， PX =i,Y = j =PX =iPY =

8、 j連續(xù)型：f (x, y) = fx (x) fY(y)4、二維隨機(jī)變量和函數(shù)的分布(卷積公式)離散型：P(Z二zj二、P(X二xi，丫二yj注意部分可加性x yj *連續(xù)型：fz(z)二f(x,z-x)dx 二 r(z-y,y)dy四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望比xf (x)dx 邑匹竺竺+30 定義：離散型E(X)八 XkPk，連續(xù)型E(X)k=1 性質(zhì)：E(C)=C, EE(X) =E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X _YE(XE(Y)E(aX b) = aE(X)b，當(dāng) X、Y 相互獨(dú)立時(shí)：E(XY) = E(X)E(Y)(正對(duì)逆錯(cuò))隨機(jī)變量g(X)的數(shù)學(xué)期望E(g(X)=

9、2： g(xQPkk2、方差 定義：|D(£ 二 E(屮)-Epp'2 性質(zhì)：D(C)=O，D(aXb)二 a2D(X)，D(X 一Y)二 D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)當(dāng) X、Y相互獨(dú)立時(shí)：D(X Y)二 D(X) D(Y)3、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差：Cov(X,Y)二 E(XY) -E(X)E(Y)，當(dāng) X、Y相互獨(dú)立時(shí)：Cov(X,Y) = 0 相關(guān)系數(shù)：.- 一Cov(X,丫)一，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：XY = °(x,Y不相關(guān))D(Xh/D(Y) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：Cov(X,X)二D(X)，Cov(X,Y)二Cov(Y,X)Cov(X1 X

10、2,Y)二 Cov(XY) Cov(X2,Y)，Cov(aX c,bY d)二 abCov(X,Y)Cov(x,a)=0(a 為常數(shù))，D(aX -b Y)二 a2D(X) b2D( Y) -2abCov(X, Y)4、常見(jiàn)隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布數(shù)學(xué)期望E(X)方差D( X)0-1 分布 b(1, p)PP(1-P)二項(xiàng)分布b(n, p)npnp(1-p)泊松分布PPO扎均勻分布U (a,b)a + b2(b-a)2122正態(tài)分布N (巴b2)a 2指數(shù)分布e©)丄12五、大數(shù)定律與中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X)二，D(X) *-1 2，對(duì)于任意E >0有

11、P X-E (X)啟司蘭222、大數(shù)定律： 切比雪夫大數(shù)定律：若X ：X n相互獨(dú)立，22： nP ： nE(X i) = £ , D(Xi)=門(mén)且匚 i - C，貝U：XiE(Xi), (n“ )inynnA=1 伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，貝U - ； 0 ,有：lim P n_sc：n 辛欽大數(shù)定律：若X：,|H,Xn獨(dú)立同分布，且E(Xi)=卩，則一E Xi n i y3、*中心極限定理 列維一林德伯格中心極限定理：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Xi(i =1,2,|)，均值為，方差為 =X12 x2 Xn服從自由度為n的2

12、分布，記為22(n)>0,當(dāng) n 充分大時(shí)有：Yn=gXk-nP)/V-UT N(0,1)kd：/ 棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理：隨機(jī)變量XB(n, p)，則對(duì)任意x有：x 1e 2dt - G(x). 2 -t性質(zhì)： E 2(n) = n,D 2(n) = 2n 設(shè) X 2(m),Y 2(n)且相互獨(dú)立, 則 X Y 2(m n)lim Px=i：”np(1 - p)-:-nb n#a近似計(jì)算：P(a _ " Xk - b)八"()六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1、總體和樣本的分布函數(shù)n設(shè)總體XF(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1，x2Xn)"【F(Xk) k

13、=12、統(tǒng)計(jì)量樣本均值：-:n 2 : n - 2 1 n 2 -2X = - Xi ，樣本方差：S(Xj -X)(X -nX )， 方 n n 樣本標(biāo)準(zhǔn)差:n1 nks=./ (Xi -X)2，樣本 k 階原點(diǎn)距：AkXi,k,2 ,n -1 inyt分布：設(shè)隨機(jī)變量XN（0,1），丫譏n），且X與丫獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量：7 =J= 服丫 n從自由度為n的t分布，記為T(mén)t（n）。性質(zhì)：E（如小二2）x21 lim fn(x)二(x)e 2n-廠(chǎng)任22F分布：設(shè)隨機(jī)變量X（m）,Y（n）,且X與丫獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量F（m，門(mén)）=晉服從第一自由度為m,第二自由度為n的F分布,記為FF（m,n），性質(zhì)：

14、設(shè)F F（m,n），則 1 f F (n, m)。七、參數(shù)估計(jì)1. 參數(shù)估計(jì)定義：用T1（X11X2,L ,Xn）估計(jì)總體參數(shù)二，稱(chēng)（X11X2,L ,Xn）為二的估計(jì)量，相應(yīng)的 二（x , X2 J| I, Xn ）為總體V的估計(jì)值。2. 點(diǎn)估計(jì)中的極大似然估計(jì)設(shè)X1,X2,L Xn取自X的樣本，設(shè)X f（x,力或X P（x門(mén)），求法步驟：nn 似然函數(shù)：L（v）八f（xD（連續(xù)型）或LL）八 P（x/）（離散型）i 仝=1nn 取對(duì)數(shù)：ln L（日）=送ln f （x,）或In L（日）=送ln pxP）i =1i =1rr& =£（X1,X2,Hl,Xn） 解方程：ln

15、 L = 0丄,ln L = 0，解得： 川倒胡k5 - （,X2|,Xn）3.彳古計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估 計(jì) 量 的 評(píng) 價(jià) 標(biāo) 準(zhǔn)無(wú)偏 性設(shè)日=6（X1, X2,L ,Xn）為未知參數(shù)日的估計(jì)量。若E（e）d，則稱(chēng)日為日的無(wú)偏 估計(jì)量。有效性設(shè)百1（x1,x2,L ,xn）和B2 -日2（為公2丄，xn）是未知參數(shù)日的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。 若。（日1）£。（日2），則稱(chēng)也比日2有效。一致 性AAA.設(shè)n疋&的 串估計(jì)量，如W >0，有l(wèi)im P（|n-日|>名）-0則稱(chēng)直n為日的 致估 nC計(jì)量（或相合估計(jì)量）。正態(tài)總體中，樣本均值X是的無(wú)偏估計(jì)量修正樣本方差S2是二2

16、的無(wú)偏估計(jì)量5.區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間條件估 計(jì) 參 數(shù)樞軸量樞軸量 分布置信水平為1亠的置信區(qū)間已知a2z = Xh/nN(0,1)切法,X+弦為丿未知2 as/nt(n -1)(-s -S、廣計(jì)一1樂(lè),6(n-1冗1未知22泌(n -1)SZ = 2a滬(n-1)( 2 2 ) (n 1)S(n- 1)Sl撿(得心討-未知CT2心2町3丿你n)/ nn送(Xi 巴2 遲(Xi 4)2i 丄-1臨（n），弋於n）k）八、假設(shè)檢驗(yàn)1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念基 本 思 想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是小概率原理。小概率事件的概率就是顯著性水平 a，常取a =0.05，0.01或0.10。提出原假設(shè)H；選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g（X1丄,Xn）;對(duì)于a查表找分位數(shù)入，使 P（g（X1丄，Xn）W）=a，從而定出拒絕域 W;由樣本觀測(cè)值計(jì)算