19.(0-1)參數(shù)分布的區(qū)間估計(jì)+單側(cè)置信區(qū)間+第七章復(fù)習(xí)課

1、1這是一種特殊的離散型分布的區(qū)間估計(jì)，取自容這是一種特殊的離散型分布的區(qū)間估計(jì)，取自容量量 n 50 的大樣本。取大樣本的的大樣本。取大樣本的目的目的是意在利用是意在利用中心極限定理，使其近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中心極限定理，使其近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 問題問題:設(shè)總體設(shè)總體 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的 (0-1)分布分布 不發(fā)生時(shí)不發(fā)生時(shí)當(dāng)事件當(dāng)事件發(fā)生時(shí)發(fā)生時(shí)當(dāng)事件當(dāng)事件AAX01且且(1),(0)1P XpP Xpq 第第6節(jié)節(jié) (0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 即即 X 的分布律為的分布律為:21()( ; )(1)xxP Xxf x ppp 0,1x 其中其中 p

2、為未知參數(shù)為未知參數(shù)解解:2(),()(1)E XpD Xpppq12,nXXX是一個(gè)大樣本是一個(gè)大樣本,所以由中心極限定理得所以由中心極限定理得:1(1)(1)niiXnpnXnpnppnpp (0,1)N求求: p 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.1 由已知，由已知，3 1)1(22zpnpnpXnzP由不等式由不等式:22(1)nXnpzznpp 22(1)(1)znppnXnpznpnp2(1)nXnpznpnp 2(1)nXnpznpnp 42(1)zpXnpnpn 即即2(1)zpXnpnpn 由此可構(gòu)造關(guān)于由此可構(gòu)造關(guān)于 p 的一個(gè)二次方程的一個(gè)二次方程:由韋達(dá)定

3、理：由韋達(dá)定理： 是關(guān)于是關(guān)于 的二次方的二次方程的兩個(gè)根。程的兩個(gè)根。,221Xpp 212222(1)p pXznppn 12,ppp2222( )2( (1)zf ppXpXppn 22222222pppXpXzznn222222(1)(2)zzpXpXnn52210zn 二次方程圖形開口向上二次方程圖形開口向上222222(1)(2)0zzpXpXnn222222()(2)0zn pnXzpnX記：記：211(4)2pbbaca 221(4)2pbbaca 即為二次方程即為二次方程的兩個(gè)根的兩個(gè)根其中：其中：622(),azn 22(2),bnXz 2cnX 12(,)pp得得 p 的

4、近似的置信度為的近似的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為:1 例例6. 從一大批產(chǎn)品中任取從一大批產(chǎn)品中任取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中有現(xiàn)其中有 60 件是一級(jí)品。件是一級(jí)品。試求：這批產(chǎn)品的一級(jí)品率試求：這批產(chǎn)品的一級(jí)品率 p 的置信度為的置信度為 95% 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.解解:由題意可知：由題意可知：一級(jí)品率一級(jí)品率 p 是是(0-1)分布的參數(shù)分布的參數(shù)7195% 0.05 0.02521.96zz 查表得：查表得：600.6100X 100n 又又 （大樣本），（大樣本），222100(1.96)103.84anz 222(2)(2 100 0.6(1.96

5、) )123.84bnXz 經(jīng)計(jì)算得：經(jīng)計(jì)算得：8211(4)0.50202pbbaca 221(4)0.69062pbbaca 得一級(jí)品率得一級(jí)品率 p 的置信度為的置信度為 95% 的置信區(qū)間的置信區(qū)間:(0.5020, 0.6906)即用即用 作為一級(jí)品率作為一級(jí)品率 p 的估計(jì)值的可靠程度的估計(jì)值的可靠程度達(dá)到達(dá)到 95% 的區(qū)間為的區(qū)間為 0.6X (0.5020, 0.6906)9第七節(jié)第七節(jié) 單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間二、基本概念二、基本概念三、典型例題三、典型例題一、問題的引入一、問題的引入10一、問題的引入一、問題的引入). ,( , , , 的的雙雙側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間得得到

6、到出出兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量我我們們給給對對于于未未知知參參數(shù)數(shù)在在以以上上各各節(jié)節(jié)的的討討論論中中 但在某些實(shí)際問題中但在某些實(shí)際問題中, 例如例如, 對于設(shè)備、元對于設(shè)備、元件的壽命來說件的壽命來說, 平均壽命長是我們希望的平均壽命長是我們希望的, 我們我們關(guān)心的是平均壽命關(guān)心的是平均壽命 的的“下限下限”; 與之相反與之相反, 在在考慮產(chǎn)品的廢品率考慮產(chǎn)品的廢品率 p時(shí)時(shí), 我們常關(guān)心參數(shù)我們常關(guān)心參數(shù) p的的“上限上限”, 這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念. 11二、基本概念二、基本概念1. 單側(cè)置信區(qū)間的定義單側(cè)置信區(qū)間的定義,1, ),(, )10( 2121

7、 PXXXXXXnn滿足滿足對于任意對于任意確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對于給定值對于給定值.1,1) ,(信下限信下限的單側(cè)置的單側(cè)置的置信水平為的置信水平為稱為稱為側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間的單的單的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 1212 (,), 1,nXXXP 又又如如果果統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量對對于于任任意意滿滿足足.1 , 1 ), (置信上限置信上限的單側(cè)的單側(cè)的置信水平為的置信水平為稱為稱為單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間的的的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 132. 正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間 , )( ,

8、2均為未知均為未知方差是方差是的均值是的均值是設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體 X , , 21是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本nXXX),1(/ ntnSX 由由,1)1(/ ntnSXP有有,1)1( ntnSXP即即(1),SXtnn 1的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得 (1).SXtnn 14 12的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得 ,)1()1(, 0212 nSn 12的單側(cè)置信上限的單側(cè)置信上限的置信水平為的置信水平為 .)1()1(2122 nSn ,1)1()1( 2122 nSnP即即),1()1( 222 nSn 又根

9、據(jù)又根據(jù),1)1()1( 2122 nSnP有有15三、典型例題三、典型例題 設(shè)從一批燈泡中設(shè)從一批燈泡中, 隨機(jī)地取隨機(jī)地取5只作壽命試驗(yàn)只作壽命試驗(yàn),測得壽命測得壽命(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì))為為 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布, 求燈泡壽命平均求燈泡壽命平均值的置信水平為值的置信水平為 0.95 的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限.解解, 5 n,1160 x,95. 01 ,1318. 2)4()1(05. 0 tnt ,99502 s .950的置信下限的置信下限的置信水平為的置信水平為 .1065)1( ntnsx 例例

10、116.)1()1(, 0212 nSn 本本次次課復(fù)習(xí)課復(fù)習(xí),),1( ntnSX 1 的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為正態(tài)總體均值正態(tài)總體均值 1 2的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為正態(tài)總體方差正態(tài)總體方差 ,)1(, ntnSX 單側(cè)置信上限單側(cè)置信上限 單側(cè)置信下限單側(cè)置信下限 2 單側(cè)置信上限單側(cè)置信上限17第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)1.重點(diǎn)重點(diǎn)最大似然估計(jì)最大似然估計(jì).一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì).2.難點(diǎn)難點(diǎn)顯著性水平顯著性水平 與置信區(qū)間與置信區(qū)間. 18矩估計(jì)量矩估計(jì)量估計(jì)量的評(píng)選估計(jì)量的評(píng)選3.主要內(nèi)容主要

11、內(nèi)容最大似然估最大似然估計(jì)量計(jì)量最大似然估計(jì)的性質(zhì)最大似然估計(jì)的性質(zhì)似然函數(shù)似然函數(shù)無偏性無偏性正態(tài)總正態(tài)總體均值體均值方差的方差的置信區(qū)置信區(qū)間與上間與上下限下限有效性有效性置信區(qū)間和上下限置信區(qū)間和上下限求置信區(qū)間的求置信區(qū)間的步驟步驟相合性相合性19矩估計(jì)計(jì)量 用樣本矩來估計(jì)總體矩用樣本矩來估計(jì)總體矩, ,用樣本矩的連續(xù)用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù)函數(shù)來估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù), ,這種估計(jì)法稱這種估計(jì)法稱為為矩估計(jì)法矩估計(jì)法.矩估計(jì)法的具體做法矩估計(jì)法的具體做法:, 2, 1,klAll 令令,21的方程組的方程組個(gè)未知參數(shù)個(gè)未知參數(shù)這是一個(gè)包含這是一個(gè)包含kk .,21k 解

12、出其中解出其中.,2121量量這個(gè)估計(jì)量稱為矩估計(jì)這個(gè)估計(jì)量稱為矩估計(jì)估計(jì)量估計(jì)量的的分別作為分別作為用方程組的解用方程組的解kk 3.主要內(nèi)容主要內(nèi)容20最大似然估計(jì)量最大似然估計(jì)量)(,21 Lxxxn選取使似然函數(shù)選取使似然函數(shù)時(shí)時(shí)得到樣本值得到樣本值,的估計(jì)值的估計(jì)值作為未知參數(shù)作為未知參數(shù)取得最大值的取得最大值的 ).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL 即即)(可能的取值范圍可能的取值范圍是是其中其中 ),(,2121nnxxxxxx 記為記為有關(guān)有關(guān)與樣本值與樣本值這樣得到的這樣得到的),(21nXXX , 的最大似然估計(jì)值的最大似然估計(jì)值參數(shù)參數(shù) . 的最大似然估

13、計(jì)量的最大似然估計(jì)量參數(shù)參數(shù) 21似然函數(shù)似然函數(shù)屬離散型屬離散型設(shè)總體設(shè)總體 X. 1 ),;();,()(121niinxpxxxLL.)(稱為樣本似然函數(shù)稱為樣本似然函數(shù) L屬連續(xù)型屬連續(xù)型設(shè)總體設(shè)總體 X. 2),;();,()(121 niinxfxxxLL.)(稱為樣本的似然函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù) L22最大似然估計(jì)的性質(zhì)最大似然估計(jì)的性質(zhì).)()(,)();(, )(, )(的最大似然估計(jì)的最大似然估計(jì)是是則則計(jì)計(jì)的最大似然估的最大似然估中的參數(shù)中的參數(shù)形式已知形式已知的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)是是又設(shè)又設(shè)數(shù)數(shù)具有單值反函具有單值反函的函數(shù)的函數(shù)設(shè)設(shè) uuufxfXUuuuu

14、23無偏性無偏性的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，為總體為總體若若XXXXn,21 ,的分布中的待估參數(shù)的分布中的待估參數(shù)是包含在總體是包含在總體 X )(的取值范圍的取值范圍是是 . ,)( ,)(),(21的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量是是則稱則稱有有且對于任意且對于任意存在存在的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望若估計(jì)量若估計(jì)量 EEXXXn24有效性有效性 . , ,212121有效有效較較則認(rèn)為則認(rèn)為更密集更密集的附近較的附近較的觀察值在真值的觀察值在真值相同的情況下相同的情況下在樣本容量在樣本容量如果如果和和的兩個(gè)無偏估計(jì)量的兩個(gè)無偏估計(jì)量比較參數(shù)比較參數(shù) n 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期由于方差是隨機(jī)變量取

15、值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度望的偏離程度, , 所以無偏估計(jì)以方差小者為好所以無偏估計(jì)以方差小者為好. .),()( ,),(),(212121222111有效有效較較則稱則稱若有若有的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量都是都是與與設(shè)設(shè) DDXXXXXXnn 25相合性相合性. ,),(,),(2121的相合估計(jì)量的相合估計(jì)量為為則稱則稱依概率收斂于依概率收斂于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)若對于任意若對于任意的估計(jì)量的估計(jì)量為參數(shù)為參數(shù)若若 nnXXXnXXX 26置信區(qū)間和置信上限、置信下限置信區(qū)間和置信上限、置信下限,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXX

16、XXXXxFX滿足滿足和和確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對于給定值對于給定值數(shù)數(shù)含有一個(gè)未知參含有一個(gè)未知參的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)總體設(shè)總體.1 ,1 ,1),(為置信水平為置信水平上限上限區(qū)間的置信下限和置信區(qū)間的置信下限和置信的雙側(cè)置信的雙側(cè)置信分別稱為置信水平為分別稱為置信水平為和和區(qū)間區(qū)間的置信的置信的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 27求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟. )( ,);,(:, )1(2121 包括包括數(shù)數(shù)且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數(shù)其中僅包含待估參數(shù)的函數(shù)的函數(shù)尋求

17、一個(gè)樣本尋求一個(gè)樣本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使定出兩個(gè)常數(shù)定出兩個(gè)常數(shù)對于給定的置信水平對于給定的置信水平.1),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為就是就是那么那么都是統(tǒng)計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)量其中其中的不等式的不等式得到等價(jià)得到等價(jià)若能從若能從 nnnXXXXXXbXXXZa28正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限 . 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體 ,)1(2為已知為已知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一

18、個(gè)置信水平為 .2/ znX ,)2(2為未知為未知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為 .)1(2/ ntnSX 29 12的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . 22的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 , 未知未知 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn 30 . 121的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 ,)1(2221均為已知均為已知和和 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .222

19、1212/ nnzYX 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體 ,)2(2221均為未知均為未知和和 1 21的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 31.2221212/ nSnSzYX ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其中32 . 22221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 12221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS33單側(cè)置信區(qū)間的定義單側(cè)置信區(qū)間的定義,1, ),(, ,1)(0 2121 PXXXXXXnn滿足滿足對于任意對于任意確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對于給定值對于給定值.1 ,1) ,(信下限信下限的單側(cè)置的單側(cè)置的置信水平為的置信水平為稱為稱為側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間的單的單的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 34,1 ),( 21 PXXXn滿足滿足意意對于任對于任又如果統(tǒng)計(jì)量又如果