ch9-3第三講曲面及其方程Word版

1、第三講授課題目7.3曲面及其方程教學(xué)目的與要求1、理解曲面與方程之間的關(guān)系，會(huì)建立簡(jiǎn)單曲面的方程；2、理解旋轉(zhuǎn)曲面的概念，能建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程；3、理解柱面的概念，掌握柱面方程的特點(diǎn)；4、理解二次曲面的概念，知道二次曲面的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：曲面方程的概念、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面。難點(diǎn)：二次曲面的形狀，截痕法，伸縮變形法。講授內(nèi)容一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡. 在這樣的意義下, 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足

2、方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的圖形. 常見(jiàn)的曲面的方程: 例1 建立球心在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 解 設(shè)M(x, y, z)是球面上的任一點(diǎn), 那么|M0M|=R. 即 , 或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程. 而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程. 所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地, 球心在原點(diǎn)O

3、(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為 x2+y2+z2=R2. 例2 設(shè)有點(diǎn)A(1, 2, 3)和B(2, -1, 4), 求線(xiàn)段AB的垂直平分面的方程. 解 由題意知道, 所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡. 設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任一點(diǎn), 則有|AM|=|BM|, 即 . 等式兩邊平方, 然后化簡(jiǎn)得1 / 62x-6y+2z-7=0. 這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程, 而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程, 所以這個(gè)方程就是所求平面的方程. 以上表明作為點(diǎn)的幾何軌跡的曲面可以用它的點(diǎn)的坐標(biāo)間的方程來(lái)表示，反之，變量x、y和z間的方程通常表示一個(gè)曲面。

4、因此在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個(gè)基本問(wèn)題: (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), 建立這曲面的方程; (2) 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí), 研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？ 解 通過(guò)配方, 原方程可以改寫(xiě)成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個(gè)球面方程, 球心在點(diǎn)M0(1, -2, 0)、半徑為. 一般地, 設(shè)有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy , yz , zx 各項(xiàng), 而且平方項(xiàng)系數(shù)相同, 只要將方程經(jīng)過(guò)配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-

5、y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式, 它的圖形就是一個(gè)球面. 二、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線(xiàn)C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x, y, z)為曲面上任一點(diǎn), 它是曲線(xiàn)CM1(0,y1,z1)MOxyzC上點(diǎn)M1(0, y1, z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的. 因此有如下關(guān)系等式, , , 從而得 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線(xiàn)C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線(xiàn)

6、C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線(xiàn)C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線(xiàn)L繞另一條與L相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面. 兩直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn), 兩直線(xiàn)的夾角a ()叫做圓錐面的半頂角. 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yO z 坐標(biāo)面內(nèi), 直線(xiàn)L的方程為 z=ycot a , 將方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圓錐面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)

7、所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為; 繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓. 在空間直角坐標(biāo)系中, 這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣, 只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿(mǎn)足這方程, 那么這些點(diǎn)就在這曲面上. 也就是說(shuō), 過(guò)xOy 面上的圓x2+y2=R2, 且平行于z軸的直線(xiàn)一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線(xiàn)l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的. 這曲面叫做圓柱面,

8、 xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線(xiàn), 這平行于z軸的直線(xiàn)l 叫做它的母線(xiàn). 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標(biāo)系中, 過(guò)xOy 面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線(xiàn)l , 則直線(xiàn)l上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程x2+y2=R2, 因此直線(xiàn)l一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線(xiàn)l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線(xiàn), 這平行于z軸的直線(xiàn)l 叫做它的母線(xiàn). 柱面: 平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)C移動(dòng)的直線(xiàn)L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線(xiàn)C叫做柱面的準(zhǔn)線(xiàn),

9、 動(dòng)直線(xiàn)L叫做柱面的母線(xiàn). 上面我們看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面, 它的母線(xiàn)平行于z軸, 它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線(xiàn)平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線(xiàn)是xOy 面上的曲線(xiàn)C: F(x, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面, 它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy 面上的拋物線(xiàn)y2 =2x, 該柱面叫做拋物柱面. 又如, 方程 x-y=0表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面, 其準(zhǔn)線(xiàn)是xOy 面的直線(xiàn) x-y=0, 所以它是過(guò)z 軸的平面. 類(lèi)似地, 只含x、z而缺y的方程G(

10、x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線(xiàn)平行于y軸和x軸的柱面. 例如, 方程 x-z=0表示母線(xiàn)平行于y軸的柱面, 其準(zhǔn)線(xiàn)是zOx 面上的直線(xiàn) x-z=0. 所以它是過(guò)y軸的平面. 四、二次曲面 與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線(xiàn)相類(lèi)似, 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. 怎樣了解三元方程F(x, y, z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截, 考察其交線(xiàn)的形狀, 然后加以綜合, 從而了解曲面的立體形狀. 這種方法叫做截痕法. 研究曲面的另一種方程是伸縮變形法: 設(shè)S是一個(gè)曲面, 其方程為F(

11、x, y, z)=0, S 是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z)S, 則(lx, y, z)S; 若(x, y, z)S, 則. 因此, 對(duì)于任意的(x, y, z)S, 有, 即是曲面S的方程. 例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面的方程為, 即. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱(chēng)為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面. 把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面稱(chēng)為橢圓錐面. 以垂直于z軸的平面z=t截此曲面, 當(dāng)t=0時(shí)得一點(diǎn)(0, 0, 0); 當(dāng)t0時(shí), 得平面z=t上的橢圓 . 當(dāng)t變化時(shí), 上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓, 當(dāng)|t|

12、從大到小并變?yōu)?時(shí), 這族橢圓從大到小并縮為一點(diǎn). 綜合上述討論, 可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱(chēng)為橢球面. 球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面. 把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍, 得旋轉(zhuǎn)橢球面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得橢球面. (3)單葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱(chēng)為單葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱(chēng)為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得雙葉雙曲面. (5)橢圓拋物面 由方程

13、所表示的曲面稱(chēng)為橢圓拋物面. 把zOx面上的拋物線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面, 再沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面叫做橢圓拋物面 (6)雙曲拋物面. 由方程所表示的曲面稱(chēng)為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱(chēng)馬鞍面. 用平面x=t截此曲面, 所得截痕l為平面x=t上的拋物線(xiàn) , 此拋物線(xiàn)開(kāi)口朝下, 其項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)t變化時(shí), l的形狀不變, 位置只作平移, 而l的項(xiàng)點(diǎn)的軌跡L為平面y=0上的拋物線(xiàn) . 因此, 以l為母線(xiàn), L為準(zhǔn)線(xiàn), 母線(xiàn)l的項(xiàng)點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)L上滑動(dòng), 且母線(xiàn)作平行移動(dòng), 這樣得到的曲面便是雙曲拋物面. 還有三種二次曲面是以三種二次曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的柱面: , , , 依次稱(chēng)為橢圓柱面、雙曲柱面