第5節(jié)根式、指數(shù)、對數(shù)

1、第5節(jié)根式、指數(shù)、對數(shù)考試要求1.了解指數(shù)幕的含義，掌握有理指數(shù)幕的運算；2.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式|1 眾s;莒;n;腎貉圍廉載林，夯奧總珂;賦知識梳理i根式與指數(shù)幕的運算根式 概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù). 性質(zhì)：(勺a)n= a(a使*有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時，舟了= a，當(dāng)n為偶數(shù)時，a， a 0，= |a|=”a， a0，m，n N*，且n1)；正 數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是 a m=(a0，m，n N*，且n1)； 0的正分?jǐn)?shù)n nam指數(shù)幕等于0； 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義. 有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)：aras=貯；(ar)s= aT!；

2、 (ab)丄巡，其中a0, b0, r，s Q.2.對數(shù)與對數(shù)的運算(1) 對數(shù)的概念如果ax= N(a0，且1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x= logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)對數(shù)的性質(zhì)loga1 = 0;logaa = 1;alogaN=N;logaab= b(a0，且 a 1).(3) 對數(shù)的運算法則如果a0且a 1，M0，N0,那么 loga (MN) = logaM+ log aN ； logaM = logaM log aN ； logaMn= nlogaM(n R).(4)換底公式logbN=g(a，b均大于零且不等于1).常用結(jié)論與易錯提醒已知a,

3、b, c, d, M, N都滿足條件，則:(1) logamMn= mlogaM(m, n R，且 0);1 、(2) logab=&,推廣 logab logbc logcd = logad.診斷自測11.(必修1P52例5改編)化簡(2)62 ( 1)的結(jié)果為()A. 9B.7C. 10D.91解析原式=(26)2 1= 8-1 = 7.答案 B2.若 loga2logb20,則()A.0ab1B.0bab1D.ba1解析 loga2logb20?器常0?Ig blg a0,故 0ba0，b0)；(a4b2)9+ 10 5 10 5 20+ 1 罟 規(guī)律方法（1）指數(shù)幕的運算首先將根式、分

4、數(shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便a3b32273- 一+ (0.002)2 10( .5 2)1 + ( .2 . 3)0.利用法則計算，但應(yīng)注意：必須同底數(shù)幕相乘，指數(shù)才能相加；運算的先后 順序.(2) 當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)(3) 運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)【訓(xùn)練1】化簡求值:10 一3 1 2 05(1) 25 + 2 2 X 24- (0.01)05；2 1 1 114 2(1)原式=* 1 + 4X 9 100(a3X b-1) -2 X a-2X b31 +X 2丄二 1+1丄二蟲 r 4X 310 l+ 61015.原式=a

5、 3b2 x a 2b31 1 11 1 5a-326X b2+36a6b6考點二對數(shù)的運算1 1【例 2(1)設(shè) 2a = 5b= m，且-+2，則 m 等于()a bA. 10 B.10 C.20 D.1001 1計算： q lg 25 T002=.解析 (1)由已知，得 a= log2m，b= log5m，1 1 1 1則 a+ b= log2m+ log5m=logm2+ logm5= logm10= 2.解得m= . 10.1 1原式=(lg 22 lg 52)X 1002= lg 22X52 x 10= lg 102x 10= 2X 10= 20.答案(1)A(2) 20數(shù)指數(shù)幕的

6、形式，使幕的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并(2) 先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則， 轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、幕再運算.(3) ab = N? b= logaN(a0，且a 1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運 算中應(yīng)注意互化.【訓(xùn)練2】(1)(2017全國I卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x= 3 5z,則()B.5z2x3yA.2x3y5zC.3y5z2xD.3y2xb 1，且 logab+ logba g,則 logab _解析 (1)取對數(shù)：xln 2 yin 3 zln 5，f黑3(由 ln 32ln 23 可得)，又 x，y 為x

7、ln 5 5正數(shù)， 2x3y.xln 2 zln 5，則?眉22(由52 ln 25可得)，又 x，z 為正數(shù)， 2x5z，3y2xb 1，得 0logabv 1，又因為 logab + logba logab + 亦王2,解得 logab1 1 2=2，所以 a，= b， 即卩 b = a， b2所以a = 1.a1答案(1)D(2)2 1I分層限IU AH基礎(chǔ)鞏固題組、選擇題1.化簡 4 16x8y4(x0, y0)得()B.2xyD. 2/yA.2x2yC.4x2y解析/ x0 , y2,則3yv2x0, b0,則下列等式不正確的是()A.alg b blg a= 1B.alg b+ b

8、lg a= 2alg bC.alg b blg a= (alg b)2D.alg b blg a= blg a2lg b i lg b =a + ay解析 由于 a0, b0，故當(dāng) a= b 時，有 alg bblg a = (alg b)2, alg b + blg a二2alg b, alg b blg a= (blg a)2二b2lg a= blg a2,故選 A.答案 A.兩顆星的8. (2019北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述5 E1星等與亮度滿足m2- m1 = 29巨，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k= 1, 2).已知太陽的星等是一26.7,天狼星的星

9、等是一1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1C.lg 10.1D.10_10.1解析 設(shè)太陽的星等為mi,天狼星的星等為葉，則太陽與天狼星的亮度分別為E1, E2.5 e1 由題意知 m1 = 26.7,1.45,代入所給公式得1.45- (-26.7)=巨，所以 lgE1= 10.1，所以 E1= 1010.1.故選 A.答案 A9. 已知 m0 且1，貝U logmn0 是(1 m)(1 n)0 的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件m1,0m0 且 mH 1,由 logmn0 得或二(1 m)(1 n)0,n1,0n0時

10、，不妨取m= 2，n=1,此時logmn無意義，故選A.答案 A二、填空題10若 Iog2x= Iog43,則 x=.1解析 由等式可得Iog2x=2log23，解得x= 3.答案 .311.(lg 2)2 + lg 2 Ig50 + lg 25=.解析 (lg 2)2 + lg 2 lg 50 + lg 25=lg 2 (lg -2+ lg 50) + lg 25=2(lg 2+ lg 5)= 2.答案212若 x= log43,則(2x 2x)2=.1解析 / x= log43, 4x= 3, 4x=,4答案41 113. 已知 a2+ a 2= 3,貝U a+ a 1 =, a2 + a

11、 2 =11解析 T a2 + a 2= 3,兩邊平方得a+ a 1 + 2= 9, a+ a1 = 7,對上式兩邊平方得a2 + 2+ a2= 49, a2 + a-2= 47.答案 7 4714. （2019 嘉興測試）計算：2lg 2+ lg 25=，方程 Iog2（x+ 1） = 3 的解為 x解析 2lg 2 + lg 25 = lg 4 + lg 25= lg 100 = 2, 方程 Iog2（x+ 1） = 3,二 x+ 1 = 23 =8,解得 x= 7.答案 2 7能力提升題組15. （2018 全國川卷）設(shè) a= logo.20.3, b= log20.3，則（）A.a+

12、bab0 B.aba+ b0C.a+ b0ab D.ab0a+ b1111解析 由 a= log0.20.3 得a= log0.30.2，由 b = log20.3 得b= log0.32，所以 + b=11a+ blog0.30.2+ log0.32= log0.30.4,所以 0首+ b1，得 ，b0,所以 ab0,所以 aba+ b0.答案 Bol IAX, 0x 1 ,X答案 D17. (2019全國U卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通信聯(lián)系.為解決這個問

13、題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行丄2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,M1 M2、M1(R+ r) 2 + 7 = (R+ r)R3.r滿足方程:r設(shè) aR.由于a的值很小，因此在近似計算中3 a+3 a4 + a(1 + a)3a3,貝U r的近似值A(chǔ).)M2M1RB.%2M1R3 C.31211Rn2MHR3 D.解析由?_ R 得 r _ ?R代入(R+ r)M1 M2_ M12+ 產(chǎn)_(R+ r)R3,3 o?+3 a+ a 整理得帀+3 o?+ 3 a4+ a 又(1+ a) 2 3M1，所以a3n23M11,故 r_?，；3M1R.答案 D18. (2020杭州四中仿真)比較lg 2,(lg 2)2,lg(lg 2)的大小，其中最大的是;最小的是.解析 因為Ovlg 2 V 1所以lg(lg 2) v Ov (lg 2)1 log2(5x 3x) = x，即5x 3x= 2x，通過對比可知該方程的解為x= 1.答案 41vlg 2，即最大的