利用微分關(guān)系作梁的內(nèi)力圖

1、§6-3 利用微分關(guān)系作梁的內(nèi)力圖一、彎矩、剪力與荷載集度之間的微分關(guān)系如圖6-12所示，梁上作用一分布荷載，荷載集度為的連續(xù)函數(shù)，并規(guī)定以向上為正。取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸向右為正。圖6-12無(wú)荷載的梁段，有。假想用截面和截取長(zhǎng)為的微段作為分離體圖6-12b，其上荷載集度視為均布。設(shè)距離坐標(biāo)原點(diǎn)x處的截面的內(nèi)力為和 ，距坐標(biāo)原點(diǎn)的截面的內(nèi)力則為和。因?yàn)檎浩胶?，因此微段也平衡。由得?（6-13）由此得到結(jié)論一：梁上任一橫截面上的剪力對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該截面處的分布荷載集度。此微分關(guān)系的幾何意義是，剪力圖上某點(diǎn)切線的斜率等于相應(yīng)截面處的分布荷載集度。對(duì)微段右側(cè)截面的形心取矩，由得：

2、略去二階微量，得： （6-14）由此得到結(jié)論二：梁上任一橫截面上的彎矩對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的剪力。此微分關(guān)系的幾何意義是，彎矩圖上某點(diǎn)切線的斜率等于相應(yīng)截面處的剪力。對(duì)式（6-14）兩邊求導(dǎo)，得： （6-15）由此得到結(jié)論三：梁上任一橫截面上的彎矩對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的分布荷載集度。此微分關(guān)系的幾何意義是：彎矩圖上某點(diǎn)的曲率等于相應(yīng)截面處的分布荷載集度。由分布荷載集度的正負(fù)可以判斷彎矩圖的凸凹方向。二、荷載、剪力圖和彎矩圖之間的關(guān)系利用荷載集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系和幾何意義，可得到繪制梁的剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，如表6-1所示。表6-1 荷載、剪力圖和彎矩圖之間的關(guān)系 內(nèi)力圖各種荷

3、載情況剪力圖彎矩圖1q = 0無(wú)分布荷載剪力圖為水平直線彎矩圖為斜直線2均布荷載向上3 均布荷載向下4C截面有突變C截面有轉(zhuǎn)折5C截面無(wú)變化C截面有突變6Q = 0截面M有極值三、簡(jiǎn)易法繪制剪力圖和彎矩圖繪制剪力圖和彎矩圖的關(guān)鍵是確定圖線的類型和位置。利用荷載集度、剪力和彎矩之間間的函數(shù)關(guān)系來(lái)判斷每一區(qū)段剪力圖和彎矩圖的圖線類型（表6-1），然后用截面法確定控制截面的剪力值和彎矩值，從而簡(jiǎn)便地繪出內(nèi)力圖。這種方法稱為簡(jiǎn)易作圖法。例6-7 如圖6-13所示，簡(jiǎn)支梁受力偶作用，試畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖。圖6-13解：（1）計(jì)算支座反力以整梁為研究對(duì)象，假設(shè)支座反力、方向向上，列平衡方程：由得：，由

4、得：，（2）分段根據(jù)梁上荷載情況，分 AB、BC兩段作內(nèi)力圖。（3）剪力圖，如圖6-13b所示（表6-2）表6-2 剪力圖區(qū)段荷載情況Q圖線類型控制截面值(kN)AB下斜直線BC水平直線（4）彎矩圖，如圖6-13c所示（表6-3）表6-3 彎矩圖區(qū)段荷載情況剪力QM圖線類型控制截面值(kN·m)AB正負(fù)下凸曲線,BCQ0下斜直線Q = 0M有極值例6-8 如圖6-14所示，簡(jiǎn)支梁受力偶作用，試畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖。圖6-14解：（1）計(jì)算支座反力以整梁為研究對(duì)象，假設(shè)支座反力、方向向上，列平衡方程：由得：，由得：，（2）分段根據(jù)梁上荷載情況，分 AC、CD、DB、BE三段作內(nèi)力圖。（3）剪力圖，如圖6-14b所示（表6-4）表6-4 剪力圖區(qū)段荷載情況Q圖線類型控制截面值(kN)AC水平直線 CD水平直線DB水平直線BE下斜直線（4）彎矩圖，如圖6-14c所示（表6-5）表6-5