新人教版必修五解三角之解三角形應(yīng)用舉例講義學(xué)生版及教師版

1、新人教版高中數(shù)學(xué)解三角全章復(fù)習(xí)知識點及講義解三角形 內(nèi)容簡介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2.應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題解三角形應(yīng)用舉例【知識要點】 要點一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確.其解題的一般步驟是：(1)準確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問

2、題抽象成解三角形模型；(3) 分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題.要點詮釋：要點二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實際問題 畫圖 數(shù)學(xué)問題 解三角形 數(shù)學(xué)問題的解 檢驗 實際問題的解要點三、實際問題中的一些名詞、術(shù)語仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正

3、切值。方位角與方向角： 方位角：一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角。方位角的取值范圍為0°360°。如圖，點的方位角是。方向角：一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達成北(南)偏東(西)多少度。如圖為南偏西方向（指以正南方向為始邊，向正西方向旋轉(zhuǎn)）；如圖為北偏東方向（指從正北開始向正東方向旋轉(zhuǎn)）.東南方向：指經(jīng)過目標的射線是正東與正南的夾角平分線.依此可類推西南方向、西北方向等；要點四、解三角形應(yīng)用中的常見題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：1.測量距離問題：這類問題的情景一般屬于“測量有

4、障礙物相隔的兩點間的距離”，在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度.2.測量高度問題：這類問題的情景屬于“測量底（頂）部不能到達的物體的高度”.測量過程中，要注意選取適量不同的測量點，使測量有較高的精確度.3.測量角度問題：這類問題的情景屬于“根據(jù)需要，對某些物體定位”.測量數(shù)據(jù)越精確，定位精度越高【典型例題】類型一：距離問題例1. (上海高考)如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設(shè)點A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為和(1)設(shè)計中CD是鉛垂方向，若要求2，問CD的長至多為多少(結(jié)果精

5、確到0.01米)？(2)施工完成后，CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得38.12°，18.45°，求CD的長(結(jié)果精確到0.01米)舉一反三：【變式】為了開鑿隧道，要測量隧道上間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點，如圖，測得，又測得兩點到隧道口的距離，在一條直線上)，計算隧道的長.類型二：高度問題例2.某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進40米后，望見 塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為，求塔高.舉一反三：【變式1】(湖北高考)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北7

6、5°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=_m. 【變式2】在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。類型三：角度問題AB例3.甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西60o方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？舉一反三：【變式1】兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏西30，燈塔B在觀察站C南偏西60，則A、

7、B之間的距離為 ；【變式2】如圖示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(   )A.   B. C.  D. 【變式3】如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A為()km的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距A為2 km的C處的緝私船奉命以km/h的速度追截走私船.此時走私船正以10km/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時間.1、 選擇題BCA1

8、.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4米,則其跨度AB的長為( )A.12米 B.8米 C.米 D. 米 2.某人向正東方向走了x 千米后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值為( )A.    B.或 C. D.33.在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°、60°，則塔高為(   )A.米  B. 米  C. 米  D.米4.若在測量中，某渠道斜坡的坡度，設(shè)為坡角，那么為()A. B. C. D.5如圖，設(shè)A，

9、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A mB mC m D. m6( 四川高考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為75°、30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)m B.180(1)mC120(1)mD30(1)m填空題7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在處看見燈塔在船的東北方向上,后船在處看見燈塔在船的北偏東的方向上,這時,船與燈塔的距離 ；8. (四川高考)如圖，從氣球A上測得

10、正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于 m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)9. (河南高考)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角MAN60°，C點的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點測得MCA60°已知山高BC100m，則山高MNm解答題10如圖所示，已知A、B兩點的距離為100海里，

11、B在A的北偏東30°處，甲船自A以50海里/小時的速度向B航行，同時乙船自B以30海里/小時的速度沿方位角150°方向航行問航行幾小時，兩船之間的距離最短？11我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知DC=6000米，ACD=45°，ADC=75°，目標出現(xiàn)于地面點B處時，測得BCD=30°，BDC=15°(如圖所示)求炮兵陣地到目標的距離(結(jié)果保留根號)12一輯私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，距離12海里的海里上有一走私船正以10海里/小時的速度沿南偏東75°方向逃竄，若輯私艇的速度為14海里，輯

12、私艇沿北偏東 的方向追去，若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船，求追及所需的時間和角的正弦值13. 如圖，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為25°，BAD=110°，又在B點測得ABD=40°，其中D是點C在水平面上的垂足，求山高CD.(精確到1m)14.如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東的方向航行后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東的方向航行后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?15.如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援，同時把消

13、息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援？(角度精確到1°，sin 41°)新人教版高中數(shù)學(xué)解三角全章復(fù)習(xí)知識點及講義解三角形 內(nèi)容簡介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2.應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題解三角形應(yīng)用舉例【知識要點】 要點一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確.其解題

14、的一般步驟是：(1)準確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；(3) 分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題.要點詮釋：要點二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實際問題 畫圖 數(shù)學(xué)問題 解三角形 數(shù)學(xué)問題的解 檢驗 實際問題的解要點三、實際問題中的一些名詞、術(shù)語仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫

15、仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角與方向角： 方位角：一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角。方位角的取值范圍為0°360°。如圖，點的方位角是。方向角：一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達成北(南)偏東(西)多少度。如圖為南偏西方向（指以正南方向為始邊，向正西方向旋轉(zhuǎn)）；如圖為北偏東方向（指從正北開始向正東方向旋轉(zhuǎn)）.東南方向：指經(jīng)過目標的射線是正東與正

16、南的夾角平分線.依此可類推西南方向、西北方向等；要點四、解三角形應(yīng)用中的常見題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：1.測量距離問題：這類問題的情景一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點間的距離”，在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度.2.測量高度問題：這類問題的情景屬于“測量底（頂）部不能到達的物體的高度”.測量過程中，要注意選取適量不同的測量點，使測量有較高的精確度.3.測量角度問題：這類問題的情景屬于“根據(jù)需要，對某些物體定位”.測量數(shù)據(jù)越精確，定位精度越高【典型例題】類型一：距離問題例1. (上海高考)如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點C處建造廣告

17、牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設(shè)點A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為和(1)設(shè)計中CD是鉛垂方向，若要求2，問CD的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)？(2)施工完成后，CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得38.12°，18.45°，求CD的長(結(jié)果精確到0.01米)【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.【解析】(1)設(shè)CD的長為x米，則tan，tan，tantan2，即，解得 0，即CD的長至多為28.28米(2)設(shè)DBa，DAb，CDm，則ADB180°123.43°，由正弦定理得，即，答：CD的長為26.

18、93米舉一反三：【變式】為了開鑿隧道，要測量隧道上間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點，如圖，測得，又測得兩點到隧道口的距離，在一條直線上)，計算隧道的長.【答案】在中，由余弦定理得.答：隧道長約為409.2 m.類型二：高度問題例2.某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進40米后，望見 塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為，求塔高.【解析】如圖所示，過B做于點E,由題意知在E點測得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，（米）故所求塔高為米舉一反三：【變式1】(湖北高考)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到

19、達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=_m. 【答案】.【解析】在ABC中，CAB=30°，ACB=75°30°=45°，根據(jù)正弦定理知，即，所以，故應(yīng)填.【變式2】在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高?！敬鸢浮糠椒ㄒ唬河谜叶ɡ砬蠼庥梢阎傻迷贏CD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =， 因為sin4=2sin2cos2，,得在RtADE中，AE=ADsi

20、n60=15答：所求角，建筑物高度為15m。方法二：設(shè)方程來求解設(shè)DE= x，AE=h在RtACE中,(10+ x) + h=30在RtADE中,x+h=(10)兩式相減，得x=5,h=15在RtACE中,tan2=答：所求角，建筑物高度為15m。方法三：用倍角公式求解設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m ,AD=CD=10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=- 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度為15m。類型三：角度問題AB例3.甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以

21、每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西60o方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？【解析】設(shè)經(jīng)過x小時后，甲船和乙船分別到達C,D兩點 ABDC此時,甲、乙兩船相距最近舉一反三：【變式1】兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏西30，燈塔B在觀察站C南偏西60，則A、B之間的距離為 ；【答案】；如圖，。【變式2】如圖示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(   )A.  

22、B. C.  D.【答案】B 【變式3】如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A為()km的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距A為2 km的C處的緝私船奉命以km/h的速度追截走私船.此時走私船正以10km/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時間.【解析】設(shè)緝私船追上走私船需，則，.由余弦定理，得 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：緝私船向東偏北方向，只需便能追上走私船.2、 選擇題BCA1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4米,則其跨度AB的長為( )A.

23、12米 B.8米 C.米 D. 米 2.某人向正東方向走了x 千米后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值為( )A.    B.或 C. D.33.在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°、60°，則塔高為(   )A.米  B. 米  C. 米  D.米4.若在測量中，某渠道斜坡的坡度，設(shè)為坡角，那么為()A. B. C. D.5如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，

24、ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A mB mC m D. m6( 四川高考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為75°、30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)m B.180(1)mC120(1)mD30(1)m填空題7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在處看見燈塔在船的東北方向上,后船在處看見燈塔在船的北偏東的方向上,這時,船與燈塔的距離 ；8. (四川高考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m

25、，則河流的寬度BC約等于 m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)9. (河南高考)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角MAN60°，C點的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點測得MCA60°已知山高BC100m，則山高MNm解答題10如圖所示，已知A、B兩點的距離為100海里，B在A的北偏東30°處，甲船自A以50海里/小時的速度向B航行，同時乙船自B以30

26、海里/小時的速度沿方位角150°方向航行問航行幾小時，兩船之間的距離最短？11我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知DC=6000米，ACD=45°，ADC=75°，目標出現(xiàn)于地面點B處時，測得BCD=30°，BDC=15°(如圖所示)求炮兵陣地到目標的距離(結(jié)果保留根號)12一輯私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，距離12海里的海里上有一走私船正以10海里/小時的速度沿南偏東75°方向逃竄，若輯私艇的速度為14海里，輯私艇沿北偏東 的方向追去，若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船，求追及所需的時間和角的正弦值13.

27、 如圖，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為25°，BAD=110°，又在B點測得ABD=40°，其中D是點C在水平面上的垂足，求山高CD.(精確到1m)14.如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東的方向航行后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東的方向航行后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?15.如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方

28、向沿直線前往B處救援？(角度精確到1°，sin 41°)【答案與解析】1. 【答案】D 【解析】ABCx2. 【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，由余弦定理可得，解之得，故選B3. 【答案】A【解析】設(shè)塔高AB為h,在RtCDB中, 所以可求在ABC中,由正弦定理,可求4.【答案】B【解析】由坡度為3：4知，由同角的三角函數(shù)關(guān)系可求.故選B5【答案】A【解析】在ABC中，AC50，ACB45°，CAB105°ABC30°，由正弦定理： ABm故選A.6. 【答案】C【解析】如圖，由圖可知，DAB15°，在RtADB中，又AD60，DBADtan15°60×(2)12060在RtADB中，DAC60°，AD60，DCADtan60°60BCDCDB60(12060)120()(m)河流的寬度BC等于120()m故選：C7.【答案】；【解析】如圖所示： ，在中，根據(jù)正弦定理 。8.【答案】；【解析】過A點作AD垂直于CB的延長線，垂足為D，