數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文近世代數(shù)

1、群及其簡單性質(zhì)摘要：首先本文給出群的定義，繼而討論群的各種基本性質(zhì)。并且討論了一種很重要的群循環(huán)群。本文的最后詳細(xì)講解了群同態(tài)的一些性質(zhì)及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：群、群的性質(zhì)、循環(huán)群、群同態(tài)；Group and its simple propertiesAbstract：First the definition of group is given, and groups of all kinds of basic properties are discussed .and it discusses on an important group of cyclic group. at the end of

2、 this article some properties and applications of the group of homomorphism are discussed in detail.Key Words：group, the properties of group, cyclic group，group of homomorphism；0 前言：近世代數(shù)（modern algebra）又稱為抽象代數(shù)（abstract algebra），它的研究對象是代數(shù)系統(tǒng)，所謂代數(shù)系統(tǒng)，是由一個(gè)集合和定義在這個(gè)集合中的一種或若干種運(yùn)算所構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)。由于代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算個(gè)數(shù)以及對運(yùn)算所要求的

3、附加條件不同，從而產(chǎn)生了各種不同的代數(shù)系統(tǒng)，這就形成了近世代數(shù)各個(gè)不同的分支。其中最基本、最重要的分支是：群論、環(huán)論和域論，其中群論是基礎(chǔ)。體系的性質(zhì)取決于一些基本定律(如閉合律、結(jié)合律、交換律、分配律、零和單位元素、負(fù)和逆等)中有哪些成立。人們研究滿足某些特定定律的抽象體系，而群是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中最基本、最重要的代數(shù)系，是一個(gè)非常活躍的領(lǐng)域，也是目前研究成果最豐富、研究最廣泛的代數(shù)系。群，簡而言之是對某種運(yùn)算滿足閉合律、結(jié)合律、單位元素和逆這些定律的代數(shù)系。這一代數(shù)系的提出，對于當(dāng)代數(shù)學(xué)及其它領(lǐng)域有著不可估量的作用，是代數(shù)發(fā)展史上由古典代數(shù)進(jìn)入近世代數(shù)的里程碑。1 群的基本概念1.1 群的定義

4、定義1 設(shè)G是一個(gè)非空集合，若在G上定義一個(gè)二元運(yùn)算滿足：(1)結(jié)合律：對，有。則稱G是一個(gè)半群，記作。若還滿足：(2)存在單位元使對，有；(3)對有逆元，使，則稱是一個(gè)群。當(dāng)二元運(yùn)算“”為通常的加法時(shí)，稱為加法群或加群；當(dāng)二元運(yùn)算“”為通常的乘法時(shí)，稱為乘法群或乘群。定義中條件(2)可改為：有一個(gè)左單位元（或右單位元），使（或），對成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥?。定義中條件(3)可改為：對，有一個(gè)左逆元（或右逆元），使（或）成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥觥?.2 群定義的應(yīng)用 定理1 半群是群的充要條件是：對，方程和在G中均有解。定理2 半群是群的充要條件是左、右消去律都成立：，。如果半群中含有單位元，則稱為含

5、幺半群。如果群適合交換律：對，有，則稱G為可換群或阿貝爾(Abel)群。 通常把群的定義概括為四點(diǎn)：封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。如果一個(gè)群G是個(gè)有限集，則稱G是有限群，否則稱為無限群。G的元素個(gè)數(shù)稱為群的階。例1：是整數(shù)模n的同余類集合，在中定義加法（稱為模n的加法）為。由于同余類的代表元有不同的選擇，我們必須驗(yàn)證以上定義的運(yùn)算結(jié)果與代表元的選擇無關(guān)。設(shè)，則有，所以模的加法是中的一個(gè)二元運(yùn)算。顯然，單位元是，的逆元是。所以是群。例2：設(shè)，在中定義乘法（稱為模n的乘法）為。對這個(gè)運(yùn)算不僅需要檢驗(yàn)它的唯一性，而且要檢驗(yàn)它的封閉性，因?yàn)橛桑贸霾⒉幻黠@。先證封閉性：因?yàn)橛珊?，所以。再證唯一性：設(shè)，

6、則有， 所以模n的乘法是中的一個(gè)二元運(yùn)算。結(jié)合律顯然滿足。單位元是。對，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。綜上，對模n的乘法構(gòu)成群。的階數(shù)為歐拉函數(shù)：小于n并與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。1.3 群的基本性質(zhì)(1)群中單位元是唯一的證明：設(shè)G中有兩個(gè)單位元和，則有：，所以單位元是唯一的。在不致混淆的情況下，單位元簡記為1。(2)群中每個(gè)元素的逆元是唯一的證明：設(shè)，有兩個(gè)逆元和，則有：，所以的逆元是唯一的。的逆元有以下性質(zhì)：(1)；(2)若可逆，則也可逆，且有；(1) 若可逆，則也可逆，且有。2 子群定義2 設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集，若S對G的運(yùn)算也構(gòu)成群，則稱S是G的一個(gè)子群，并記作

7、：。當(dāng)且時(shí)，稱S是G的真子群，記作。定理3 設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集，則以下三個(gè)命題互相等價(jià)：()S是G的子群；()對，有和；()對，有。當(dāng)然，若群的有限子集做成子群的充要條件是對的乘法封閉，即：有。事實(shí)上，必要性是顯然的，下證充分性。設(shè)對的乘法封閉，則對中任意元素和任意正整數(shù)有。由于中每個(gè)元素都有限，設(shè)，則，從而，亦即又有.故。2.1 不變子群的定義設(shè)是群的一個(gè)子群，如果對中每一個(gè)元素都有，即，則稱是群的一個(gè)不變子群（或正規(guī)子群）。若是群的一個(gè)不變子群，則簡記為.若且,則記為。定理1 設(shè)是群，。則是群的一個(gè)不變子群的充要條件是.證明是顯然的。3 循環(huán)群3.1 循環(huán)群的定義設(shè)G是群，令：，因?yàn)?/p>

8、，有，所以H是G的子群，此子群稱為由生成的循環(huán)子群，記作，稱為它的生成元。若G=，則稱G是循環(huán)群。循環(huán)子群是由一個(gè)元素生成的，由幾個(gè)元素或一個(gè)子集也可生成一個(gè)子群。定義3 設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集，包含S的最小子群稱為由S生成的子群，記作，S稱為它的生成元集。如果，且任何S的真子集的生成子群均不是G，則稱S是G的極小生成元集。任何一個(gè)生成子群都有一個(gè)極小生成元集。當(dāng)時(shí)，元素個(gè)數(shù)最少的生成元集稱為最小生成元集。例3 整數(shù)加群是無限循環(huán)群。事實(shí)上，又對任意整數(shù)，有，故,即是一個(gè)無限循環(huán)群，是它的一個(gè)單位元。另外易知，也是它的一個(gè)單位元。定理1 設(shè)為任一循環(huán)群，則 當(dāng)時(shí)，為無限循環(huán)群，且與整數(shù)加群同

9、構(gòu);當(dāng)時(shí)，為階循環(huán)群，那么G與模n的剩余類加群同構(gòu)。證明 第一個(gè)情形：的階無限，這時(shí)，當(dāng)而且只當(dāng)h=k的時(shí)候。由h=k，可得，顯然。假如而，我們可以假定h>k，而得到，與的階是無限的假定不合。這樣，是G與整數(shù)加群間的一一映射。但所以 第二種情形：的階是n，這時(shí)，當(dāng)而且只當(dāng)?shù)臅r(shí)候。假如，那么，假如，叫，那么由階的定義，r=0, 也就是說，。這樣，是G與剩余類加群間的一一映射。但所以 3.2 循環(huán)群的性質(zhì)性質(zhì)1 : 任何循環(huán)群都是群。性質(zhì)2 : 所有無限循環(huán)群彼此同構(gòu)，具有給定階數(shù)的所有有限循環(huán)群也彼此同構(gòu)。事實(shí)上: 如果任何一個(gè)元素使整數(shù)和它相對應(yīng), 則一個(gè)以元素為生成元的無限循環(huán)群即可相

10、互單值地映射到整數(shù)加群上; 至于這個(gè)映射之為同構(gòu)映射則由這樣一個(gè)事實(shí)看出, 即元素的冪相乘時(shí), 它們的指數(shù)相加。用同樣方法可得任何階循環(huán)群到次單位根群上的同構(gòu)映射。性質(zhì)3 : 循環(huán)群的任一子群仍為循環(huán)群。事實(shí)上, 假設(shè)是一個(gè)以元素為生成元的無限或有限階循環(huán)群, 而為中不等于的子群, 再假定包含在中的元素 的最低正冪為 , 這時(shí)有。假定同時(shí)還包含一個(gè)元素且不能被 所整除, 這時(shí), 如果，d是和的最大公約數(shù), 就有兩個(gè)這樣的整數(shù)和與存在, 使得 , 因此應(yīng)包含元素但因; 所以我們得出的結(jié)果和元素的選擇相矛盾。因此。性質(zhì)3 說明:< 1 >如果某一群有子群不是循環(huán)群, 那么 一定不是循環(huán)

11、群。< 2 > 群如果是某一循環(huán)群的子群, 則它必是循環(huán)群。但若, 群的所有真子群均為循環(huán)群, 本身可以不是循環(huán)群。如幾何畢中著名的四元群。性質(zhì)4 : 若是循環(huán)群的子群, 則它們的交群也是循環(huán)群。性質(zhì)5 : 循環(huán)群的階數(shù)是它所有元素階數(shù)的最小公倍數(shù)。事實(shí)上, 由定理可知, 中每個(gè)元素的階數(shù)都是的約數(shù), 所以是它們的公倍數(shù)。設(shè)為中所有元素的階數(shù)的任一公倍數(shù), 則中每一個(gè)元素的階都能整除。由于有階為的元, 所以, 這說明是中所有元素的階數(shù)的最小公倍數(shù)。4 群的同態(tài)4.1同態(tài)的定義 設(shè)，是兩個(gè)群，到的一個(gè)映射f是到的一個(gè)同態(tài)映射，如果對于任意的a,b，均有f(ab)=f（a）f(b)。注

12、：（1）若到的同態(tài)映射f是到的滿射，則說f是到的滿同態(tài)，記為，這是稱為在f（作用）下的同態(tài)象。 （2）若到的同態(tài)映射f是到的單射，則說f是到的單一同態(tài)。 （3） f既是到的滿同態(tài)又是到的單一同態(tài)，則說f是到的同構(gòu)映射，記為。4.2 同態(tài)的簡單性質(zhì) 同態(tài)的基本定理：設(shè)是一個(gè)群，則的一個(gè)商群/N與同態(tài)；反之，若和是兩個(gè)群，并且和同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核N是的一個(gè)不變子群，并且/N。注：定理前一部分告訴我們，一個(gè)群和它的每一個(gè)商群同態(tài)；定理后面部分告訴我們，抽象的來看，只能和它的商群同態(tài)，所以我們可以說定理后面部分是定理前一部分的反面。我們知道，當(dāng)群和同態(tài)的時(shí)候，的性質(zhì)并不同的完全一樣，但定理后面

13、部分告訴我們，這時(shí)我們一定找得到的一個(gè)不變子群N，使得的性質(zhì)和商群/N的完全一樣。從這里我們可以看出不變子群和商群的重要意義。 定理一（同態(tài)的基本定理）：設(shè)是一個(gè)群，則的一個(gè)商群/N與同態(tài)；反之，若和是兩個(gè)群，并且和同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核N是的一個(gè)不變子群，并且/N。證明： (1) 我們規(guī)定一個(gè)法則 ()這顯然是到/N的一個(gè)滿射，對于的任意兩個(gè)元和b來說，b= () () 所以它是一個(gè)同態(tài)映射。 (2) 我們用f來表示給的同態(tài)滿射，假定和是的任意兩個(gè)元，那么在f之下，因此， =這就是說， ，是的一個(gè)子群，假定,，而且在f之下，那么在f之下 ，n=這就是說， ,n是的一個(gè)子群?，F(xiàn)在規(guī)定一個(gè)法

14、則g: = g() ()我們說，這是一個(gè)/N與間同構(gòu)映射。因?yàn)椋?（1）= =這就是說，在g之下/N的一個(gè)元素只有一個(gè)唯一的象；（2）給了的一個(gè)任意元，在里至少有一個(gè)元滿足條件g(a)=由g的定義這就是說，g是/N到的滿射。 （3） （4）在g之下，= 這樣 /N 定理二：若和是兩個(gè)群，并且和同態(tài)。那么在這個(gè)同態(tài)滿射之下的 （1）的一個(gè)子群的象是的一個(gè)子群； （2）的一個(gè)不變子群的象是的一個(gè)不變子群。證明：我們用f來表示給定的同態(tài)滿射（1）假定和是的任意兩個(gè)元，并且在f之下， （）那么在f之下但由于是子群，因此由于是在f之下的象，。這樣， 是的一個(gè)子群。（2）既是一個(gè)不變子群，由（1）知，我們

15、知道是一個(gè)子群。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下， （）那么在f之下但由于是一個(gè)不變子群，n，因此由于是在f之下的象，。這樣，是的一個(gè)不變子群，證畢。定理三：若和是兩個(gè)群，并且和同態(tài)。那么在這個(gè)同態(tài)滿射之下的（1）的一個(gè)子群的逆象是的一個(gè)子群；（2）的一個(gè)不變子群的逆象是的一個(gè)不變子群。證明：我們用f來表示給定的同態(tài)滿射（1）假定和是的任意兩個(gè)元，并且在f之下，那么由于是的逆象，因而，但在f之下所以。這樣，是的一個(gè)子群。（2）既是一個(gè)不變子群，由（1）知，我們知道是一個(gè)子群。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下，那么，因而由于是不變子群，但在f之下所以。這樣，是的一個(gè)不變子群。證畢

16、。 注：這樣，一個(gè)群的一個(gè)子集是否一個(gè)子群以及是否一個(gè)不變子群這兩個(gè)性質(zhì)，在一個(gè)同態(tài)滿射之下是不變的。定理四：設(shè)是一個(gè)群，是的子群，是的不變子群，則是的不變子群，且/()同構(gòu)于/。證明：顯然，是的不變子群，令f: /,f: ,容易驗(yàn)證f是滿的群同態(tài)映射?？磃的核，若，則f()=,即 Ker(f)。反之，若 Ker(f)，=，則。故知Ker(f)= 。由同態(tài)基本定理推出，/()同構(gòu)于/。例4 證明：單群的同態(tài)象是單群或單位元群（即只含有一個(gè)元素的群）。證明： 設(shè)是單群，是的同態(tài)象，是同態(tài)核，則由群同態(tài)基本定理可知是的一個(gè)不變子群；又是單射，故=或=e。若=，e=/，即為單位元群；若=e，=/e，

17、即為單群。例5 設(shè)和分別是階數(shù)為m,n的循環(huán)群，當(dāng)且僅當(dāng)nm, 和同態(tài)。證明： 設(shè)f是到的同態(tài)映射群同態(tài)基本定理可知：/Kerf。由于的階數(shù)為，故/Kerf的階數(shù)也是。即含有子群/Kerf，:Kerf=n,但:1= :Kerf Kerf ：1，故m=nKerf ：1 nm。反之，設(shè)nm，=(a) , =(b),命f:則f是到的映射。因?yàn)?，即對于中的每一個(gè)元，不論其表法如何，在f下確有唯一的象，故f是到的映射。任取，則f(,故f是到的滿射。易見f是到的同態(tài)映射。例6 證明：（1）無限循環(huán)群與任何循環(huán)群同態(tài)；（2）兩個(gè)有限循環(huán)群與同態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)。證明：（1）設(shè)=為無限循環(huán)群，=為任一循環(huán)群，則=，

18、故=，當(dāng)且僅當(dāng)。定義： f： 其中，均為整數(shù)。則當(dāng)=時(shí)，有f()=f()，即f是到的映射。又由=可知f是滿射且f()f()=f（）即f保持運(yùn)算，故。（2）設(shè)，=m，=n。則由同態(tài)基本定理知/，其中為到的同態(tài)滿射的核。因此/=，又/=（ ：）從而由Lagrange定理知nm，即。反之，若，nm，則m=nt，由于為循環(huán)群，故有t階子群。顯見為交換群，從而其子群為正規(guī)子群。又/為n階循環(huán)群及為n階循環(huán)群,故有f：/又存在到的自然同態(tài)g：/，令h=fg,則h：。例7設(shè)f是到的滿同態(tài)，是的一個(gè)不變子群，=f()= ，f()，則是的一個(gè)不變子群，并且/。解：由同態(tài)基本定理知，g是到/的滿同態(tài)，g是自然同態(tài)， 又f是到的滿同態(tài)，故gf=h是到/的滿同態(tài)， Kerh=