難點04三個“二次”及關(guān)系doc

1、難點 4三個“二次”及關(guān)系三個“二次” 即一元二次函數(shù)、一元二次方程、 一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.難點磁場2已知對于x 的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x 4ax+2 a+12(a R)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于 x 的方程x=|a 1|+2的根的取值范圍 .a2案例探究例1已知二次函數(shù)2和一次函數(shù)g(x)= bx，其中a 、 b、 c 滿足f(x)=ax +bx+ca>b>c

2、,a+b+c=0,( a,b,c R).(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、 B；(2)求線段 AB 在 x 軸上的射影A1B1 的長的取值范圍.命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力.屬于題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由yax2bxc 消去 y 得 ax2+2bx+c=0ybx2222c23 2=4b 4ac=4( a c) 4ac=4( a +a

3、c+c )=4 (a+)c 24 a+b+c=0,a>b>c, a>0,c<032>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點 .4c >0,(2)解：設(shè)方程 ax2+bx+c=0 的兩根為 x1 和 x2,則 x1+x2=2b,x1x2= c .aa|A1B1|2=(x1 x2 )2=(x1+x2)2 4x1x2(2b) 24c4b24ac 4(a c) 24acaaa 2a24( c ) 2c14( c1 ) 23aaa24 a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 a>a c>c,解得 c ( 2, 1 )a2 f ( c

4、)4( c ) 2c1 的對稱軸方程是c1.aaaa2c ( 2, 1 )時，為減函數(shù)a 2 |A1B1|2 (3,12), 故 |A1B1 |(3,23 ).例 2已知關(guān)于x 的二次方程2x +2 mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1， 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1， 2)內(nèi)，求 m 的范圍 .(2)若方程兩根均在區(qū)間(0， 1)內(nèi)，求 m 的范圍 .命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.錯解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點 .技巧與方法： 設(shè)出二次方

5、程對應(yīng)的函數(shù)， 可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制 .解：(1) 條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1 與 x 軸的交點分別在區(qū)間 ( 1， 0)和 (1，2) 內(nèi)，畫出示意圖，得m1f ( 0)2m10,2mR,f ( 1)20,1 ,f (1)4m20,mf ( 2)6m5025m65 1 m.6 2f (0)0,f (1)0,(2)據(jù)拋物線與x 軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組0,0m1m 1 ,2m 1 ,2m12或 m 1 2,1m0.(這里 0<m<1 是因為對稱軸x=m 應(yīng)在區(qū)間 (0， 1)內(nèi)通過 )錦囊妙計1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函

6、數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x x1)( xx2);y=a(x x0)2 +n.(2)當(dāng) a>0,f(x)在區(qū)間 p,q上的最大值M，最小值m,令 x0= 1(p+q).2若b <p,則 f(p)=m,f(q)=M;2a若 pb <x0,則 f( b )=m,f(q)= M;2a2a若 x0 b <q,則 f(p)=M,f( b )=m;2a2a若b q,則 f(p)=M,f(q)=m.2a2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0 的實根分布及條件.(1)方程 f(x)=0 的兩根中一根比r 大，另一根比r 小a· f(r)<0;b2

7、4ac0,(2)二次方程f(x)=0 的兩根都大于br ,r2aa f ( r )0b 24ac 0,pbq,(3)二次方程2af(x)=0 在區(qū)間 (p,q)內(nèi)有兩根af (q)0,af ( p)0;(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f( p) · f(q)<0, 或f(p)=0( 檢驗 )或f(q)=0( 檢驗 )檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立 .(5)方程 f(x)=0 兩根的一根大于a f ( p) 0p,另一根小于 q( p<q).a f ( q)03.二次不等式轉(zhuǎn)化策略2的解集是： ( , ) ,+ )a<0 且(1) 二次不等 式 f

8、(x)=ax +bx+c 0f( )=f( )=0;(2)當(dāng) a>0 時， f( )<f( )| +bbb|<| +|,當(dāng) a<0 時， f( )<f( ) | +|>2a2a2ab| +|;b(3) 當(dāng)a>0 時 ， 二 次 不 等 式 f(x)>0 在 p,q 恒 成 立 2a p, 或 f ( p) 0,pbq,bp;2a或2af (b ) 0,f ( q) 0;2a(4)f(x)>0 恒成立a 0,或 ab 0, f ( x) 0恒成立a 0,或 ab 00,c0;0, c0.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.( )若不等式 (a2)x2+

9、2( a 2)x 4<0 對一切 x R 恒成立，則a 的取值范圍是()A.( ,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.( ,2)2.( )設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2 x+a(a>0), 若 f(m)<0,則 f( m 1)的值為 ()A. 正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能二、填空題3.( )已知二次函數(shù)f(x)=4 x2 2(p 2)x 2p2 p+1,若在區(qū)間1， 1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使 f(c)>0, 則實數(shù) p 的取值范圍是 _.4.( )二次函數(shù) f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x 恒有 f(2+x)= f(2 x),若f(1 2x2)

10、<f(1+2x x2), 則 x 的取值范圍是 _.三、解答題tlog ay(a>0且 a 1)5.( )已知實數(shù) t 滿足關(guān)系式 log a3a3(1)令 t= ax,求 y=f(x)的表達(dá)式；a(2)若 x (0,2 時， y 有最小值8，求 a 和 x 的值 .6.( )如果二次函數(shù)y=mx2+(m 3)x+1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求 m 的取值范圍 .7.( )二次函數(shù)2滿足pqrf(x)=px +qx+r 中實數(shù) p、q、 rm 2m=0,其中1 mm>0, 求證：m)<0;(1)pf(m1(2)方程 f(x)=0 在(0， 1)內(nèi)

11、恒有解 .8.( )一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量 x(件 )與售價 P(元 /件 )之間的關(guān)系為P=1602x,生產(chǎn) x 件的成本 R=500+30x 元 .(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300 元？(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案難點磁場解：由條件知 0,即 ( 4a） 24(2a+12) 0, 3 a 22(1)當(dāng)3 a 1 時，原方程化為： x=a2+a+6, a2+a+6= (a1)2 +25.224 a= 3 時， xmin= 9 ,a= 1 時， xmax= 25 .2424 9 x 25 .44(2)當(dāng) 1 a 2 時， x

12、=a2+3a+2=( a+ 3 )2 124當(dāng) a=1 時， xmin=6, 當(dāng) a=2 時， xmax=12, 6 x12.綜上所述 , 9 x 12.4殲滅難點訓(xùn)練一、 1.解析：當(dāng)a 2=0 即 a=2 時,不等式為 4 0,恒成立 . a=2,當(dāng) a2 0 時，則a滿足a 2 0,解得 2 a 2,所以 a 的范圍是 2 a2.0答案： C2.解析： f( x)=x2 x+a 的對稱軸為 x= 1,且 f(1)>0, 則 f(0)>0, 而 f(m)0, m (0,1),2 m 1 0,f(m 1)>0.答案： A二、 3.解析：只需f(1)= 2p2 3p+9>

13、;0 或 f( 1)= 2p2 +p+1>0 即 3 p 3 或 1 p22 1. p ( 3, 3 ).2答案： (3， 3 ）24.解析：由f(2+x)=f(2 x)知 x=2 為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小， |1 2x2 2| |1+2x x2 2|, 2 x 0.答案： 2 x 0三、 5.解： (1）由 logaty 得 log at 3=log t y 3log t aa3log t a 3xlog a y3,由 t=a知 x=log at，代入上式得 x 3=xx logay=x2 3x+3，即 y=a x23x 3(x 0).2323u(2)令 u=x 3x

14、+3=( x2) +(x 0),則 y=a4若 0 a 1,要使 y=au 有最小值8，則 u=(x323在 (0， 2 上應(yīng)有最大值，但u 在 (0， 2 上不存在最大值 .2) +4若 a>1,要使 y=au 有最小值8，則 u=( x 3)2+3,x (0,2 應(yīng)有最小值24當(dāng) x= 3 時， umi n =33,ymi n= a 4243由 a 4 =8 得 a=16.所求 a=16,x= 3 .26.解： f(0)=1>0(1)當(dāng) m0 時，二次函數(shù)圖象與x 軸有兩個交點且分別在y 軸兩側(cè)，符合題意.0(2）當(dāng) m>0 時，則 3 m解得 0 m 1m0綜上所述，

15、m 的取值范圍是 m|m 1 且 m 0.7.證明： (1) pf ( m)p p(m) 2q(m)r m1m 1m1pmpmqr pmpmp(m 1) 2m 1 m( m 1) 2m2p 2m m( m2) (m1)2( m1) 2 ( m2)pm21,由于 f(x)是二次函數(shù)，故p 0,又 m>0, 所以， pf(m) 0.( m 1) 2 ( m 2)m1(2)由題意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r當(dāng) p 0 時，由 (1）知 f(m) 0m1若 r>0, 則 f(0)>0, 又 f(m) 0,所以 f(x)=0m)內(nèi)有解 ;在 (0，m 1m 1若 r 0,則 f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( prpr2)+ r =>0,mmm2 m又 f(m)0,所以 f(x)=0在 (m,1)內(nèi)有解 .m1m1當(dāng) p 0 時同理可證 .8.解： (1）設(shè)該廠的月獲利為