第一章數(shù)學(xué)建模概論

1、數(shù)學(xué)建模概論數(shù)學(xué)建模概論 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model） 是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題 本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻劃，它或本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻劃，它或 能解釋某些客能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略?，F(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling） 應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提

2、煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。1.1 例例（萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn) ） 十五世紀(jì)中期十五世紀(jì)中期 ，哥白尼哥白尼 提出了震驚世界的提出了震驚世界的 日心說(shuō)日心說(shuō)。 丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué)丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué) 家家第谷第谷花了二十多年時(shí)間花了二十多年時(shí)間 觀察紀(jì)錄下了當(dāng)觀察紀(jì)錄下了當(dāng) 時(shí)已發(fā)現(xiàn)的五大時(shí)已發(fā)現(xiàn)的五大 行星的運(yùn)動(dòng)情況行星的運(yùn)動(dòng)情況 。 第谷的學(xué)生和助手第谷的學(xué)生和助手 開(kāi)普勒開(kāi)普勒對(duì)這些資料進(jìn)行了九年時(shí)對(duì)這些資料進(jìn)行了九年時(shí)間的分間的分 析計(jì)算后析計(jì)算后 得出著名的得出著名的Kepler三定律三定律。 牛頓牛頓根據(jù)開(kāi)普勒三定律和牛頓第

3、二定律，利用微積分根據(jù)開(kāi)普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即 萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律。1.行星軌道是一行星軌道是一 個(gè)橢圓，太個(gè)橢圓，太 太陽(yáng)位于此橢圓的一個(gè)焦太陽(yáng)位于此橢圓的一個(gè)焦 點(diǎn)上。點(diǎn)上。 2.行星在單位時(shí)間內(nèi)行星在單位時(shí)間內(nèi) 掃過(guò)的掃過(guò)的 面積不變。面積不變。3.行星運(yùn)行周期的平方正比行星運(yùn)行周期的平方正比 于橢圓長(zhǎng)半軸的三次方于橢圓長(zhǎng)半軸的三次方 ， 比例系數(shù)不隨行星而比例系數(shù)不隨行星而 改變改變 （絕對(duì)常數(shù)）（絕對(duì)常數(shù)）開(kāi)普勒三大定律開(kāi)普勒三大定律 這其中必這其中必 定是某一定是某一 力學(xué)力學(xué)規(guī)律規(guī)律 的反映，哼哼，我的反映，哼哼

4、，我 要找出它。要找出它。 如圖，有橢圓方程如圖，有橢圓方程 :cos1 eprdrdA221矢徑所掃過(guò)的面矢徑所掃過(guò)的面 積積A的微分為的微分為:由開(kāi)普勒第二定由開(kāi)普勒第二定 律律:wrdtdA221常數(shù)常數(shù)立即得出立即得出:wrwrrwrdtd222)(0即即:02wrwr橢圓面積橢圓面積wTrdtdtdAabT2021由此得出由此得出Tabwr22常數(shù)常數(shù)簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下：簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下：行星行星r太陽(yáng)太陽(yáng)()dwdt我們還需算出行星的加速度，為此需要建立我們還需算出行星的加速度，為此需要建立 兩種兩種 不同的坐標(biāo)架。第一個(gè)是固定的，以太陽(yáng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，不同的坐標(biāo)架。第一個(gè)是固定的，以太陽(yáng)為坐標(biāo)

5、原點(diǎn)，沿長(zhǎng)軸方向的單位向量記沿長(zhǎng)軸方向的單位向量記 為為i,沿短軸方向的單位向量記沿短軸方向的單位向量記 為為j，于是：，于是：jir sinrcosr 進(jìn)而有進(jìn)而有 加速度加速度cossin)(2(sin)(cos()sinr(dtd)cosr(dtd22222)jijijira wrwrrwr以行星為坐標(biāo)原點(diǎn)建立活動(dòng)架標(biāo)，其兩個(gè)正交的單位向以行星為坐標(biāo)原點(diǎn)建立活動(dòng)架標(biāo)，其兩個(gè)正交的單位向量分別是量分別是jiejie cossinsincos r , 因此得出因此得出rrwrea)(2 由于由于02wrwr也就是說(shuō)行星的加速度為也就是說(shuō)行星的加速度為rrTaea223214由開(kāi)普勒第三定律知

6、由開(kāi)普勒第三定律知23/Ta為常數(shù)。若記為常數(shù)。若記2324MTaG那么就導(dǎo)出著名的那么就導(dǎo)出著名的 萬(wàn)有引力定律：萬(wàn)有引力定律：再將橢圓方程再將橢圓方程 )cos1 (erp兩邊微分兩次，得兩邊微分兩次，得0)(1)(2232 wrrrprwr將前面得到的結(jié)果將前面得到的結(jié)果和焦參數(shù)和焦參數(shù)代入，即得代入，即得22322rTarwr14 Tabwr22abp2rrMmGFe2 1.了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。必要的數(shù)據(jù)資料。 2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)資料的

7、分析計(jì)對(duì)資料的分析計(jì) 算，算， 找出起主要作用的因素，經(jīng)必找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。 3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 即即建立數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型。 4.模型求解。模型求解。 5.模型的分析與檢驗(yàn)。模型的分析與檢驗(yàn)。 在難以得出解析解時(shí)，也在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助應(yīng)當(dāng)借助 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī) 求出數(shù)值求出數(shù)值解。解。 實(shí)體信實(shí)體信息息(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù))假設(shè)假設(shè)建模建模求解求解驗(yàn)證

8、驗(yàn)證應(yīng)用應(yīng)用對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特模型中變量的特征征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際研究課題的實(shí)際范疇范疇人口模型、生人口模型、生 態(tài)系統(tǒng)模型態(tài)系統(tǒng)模型 、交通、交通流模型、經(jīng)流模型、經(jīng) 濟(jì)模型、濟(jì)模型、 基因模型等基因模型等數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的 每一步中都每一步中都 蘊(yùn)含

9、著能力上的蘊(yùn)含著能力上的 鍛煉，在鍛煉，在調(diào)查研究階段，需調(diào)查研究階段，需 要用到要用到觀察能力觀察能力、分析能力分析能力和和數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理能力能力等。在提出假設(shè)等。在提出假設(shè) 時(shí)，又需要用到時(shí)，又需要用到 想象力和歸納想象力和歸納 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化能力。能力。 在真正開(kāi)始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下在真正開(kāi)始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工前人或別人的工作，使自己的工 作成為別人研究工作作成為別人研究工作 的的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)

10、學(xué)會(huì)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)在盡可能短的時(shí)間在盡可能短的時(shí)間 內(nèi)內(nèi)查到并學(xué)會(huì)查到并學(xué)會(huì)我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。 還需要你多少要有點(diǎn)還需要你多少要有點(diǎn) 創(chuàng)新的能力創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來(lái)就。這種能力不是生來(lái)就有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。 開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué) 生的生的綜合素質(zhì)綜合素質(zhì)，增強(qiáng)，增強(qiáng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí) 解決實(shí)際問(wèn)解決實(shí)際問(wèn) 題的本領(lǐng)。題的本領(lǐng)。僅最近幾年里，我校僅最近幾年里，我校學(xué)生都在只參加了半學(xué)生都在只參

11、加了半年左右的學(xué)習(xí)和實(shí)踐年左右的學(xué)習(xí)和實(shí)踐后，就在國(guó)際性的競(jìng)后，就在國(guó)際性的競(jìng)賽（美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)賽（美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽）中交出了建模競(jìng)賽）中交出了非常出色的研究論文，非常出色的研究論文，奪得了特等獎(jiǎng)兼奪得了特等獎(jiǎng)兼INFORMSINFORMS獎(jiǎng)獎(jiǎng)2 2項(xiàng)（項(xiàng)（19991999年、年、20032003年各一項(xiàng)）、年各一項(xiàng)）、1818項(xiàng)一等獎(jiǎng)、項(xiàng)一等獎(jiǎng)、1010項(xiàng)二項(xiàng)二等獎(jiǎng)的好成績(jī)。等獎(jiǎng)的好成績(jī)。例例1 某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人

12、就沿著妻子來(lái)接他了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？間？ 似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問(wèn)題就迎刃而換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？ 顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又

13、從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。五分鐘。 ？例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。問(wèn)：在什么條件下，地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。中的同一時(shí)間到達(dá)該地。 假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同

14、假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由一天由B B去去A A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。 （請(qǐng)自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明）請(qǐng)自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明） 例例3 3 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)亮一段時(shí)間的黃燈。亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是

15、什么，不難看設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車(chē)。停車(chē)是需要時(shí)間的，在這立即停車(chē)。停車(chē)是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車(chē)輛仍將向前行駛一段距段時(shí)間內(nèi)，車(chē)輛仍將向前行駛一段距離離 L。這就是說(shuō)，在離街口距離為。這就是說(shuō)，在離街口距離為 L處處存在著一條停車(chē)線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在存在著一條停車(chē)線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在地上），見(jiàn)圖地上），見(jiàn)圖1-4。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車(chē)輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅芤堰^(guò)線的車(chē)輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。穿過(guò)馬路。 馬路的寬度馬路的

16、寬度 D是容易測(cè)得是容易測(cè)得 的，問(wèn)題的關(guān)鍵在的，問(wèn)題的關(guān)鍵在 于于L的確定。為確定的確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2，其中其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程 ，L2為剎車(chē)制動(dòng)為剎車(chē)制動(dòng)后車(chē)輛駛過(guò)的路程。后車(chē)輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間 t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也也是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量

17、最大，是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而可另建模型研究，從而 L1=v*t1。剎車(chē)距離。剎車(chē)距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)律計(jì)算出來(lái) （ 留作習(xí)題）留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出一步，先計(jì)算出 L應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車(chē)。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線停得住車(chē)。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車(chē)順利穿過(guò)馬路，即的車(chē)順利穿過(guò)馬路，即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v

18、。 DL例例4 4 餐館每天都要洗大量的盤(pán)子，為了方便，餐館每天都要洗大量的盤(pán)子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤(pán)子的：先用冷水粗粗洗某餐館是這樣清洗盤(pán)子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會(huì)燙手，但也不能太低，否則不干凈。否則會(huì)燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開(kāi)支，餐館老板想了解一池?zé)崴捎谙牍?jié)省開(kāi)支，餐館老板想了解一池?zé)崴降卓梢韵炊嗌俦P(pán)子，請(qǐng)你幫他建模分析一到底可以洗多少盤(pán)子，請(qǐng)你幫他建模分析一下這一問(wèn)題。下這一問(wèn)題。盤(pán)子有大小嗎盤(pán)子有大小嗎 ? ?是什么樣的盤(pán)子？是什么樣的盤(pán)子？盤(pán)子是怎樣洗的盤(pán)子是怎樣洗的 ? ? 不

19、妨不妨假設(shè)假設(shè)我們了解到：盤(pán)子大小相同，我們了解到：盤(pán)子大小相同，均為瓷質(zhì)菜盤(pán)，洗滌時(shí)先將一疊均為瓷質(zhì)菜盤(pán)，洗滌時(shí)先將一疊盤(pán)子浸泡在熱水中，然后盤(pán)子浸泡在熱水中，然后 一一清洗。清洗。 不難看出，是水不難看出，是水 的溫度在決的溫度在決 定定洗盤(pán)子的數(shù)量洗盤(pán)子的數(shù)量 。盤(pán)子是先用冷水。盤(pán)子是先用冷水洗過(guò)的，其后可能還會(huì)再用清水洗過(guò)的，其后可能還會(huì)再用清水沖洗，更換熱水并非因?yàn)樗K沖洗，更換熱水并非因?yàn)樗K了，而是因?yàn)榱?，而是因?yàn)?水不夠熱了水不夠熱了。 那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假如那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假如你想建一個(gè)較精細(xì)的模型，你當(dāng)你想建一個(gè)較精細(xì)的模型，你當(dāng)然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的

20、因然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池?zé)崴骄庵皇窍肓私庖幌乱怀責(zé)崴骄蠹s可以洗多少盤(pán)子，大約可以洗多少盤(pán)子， 殺雞殺雞 焉用牛刀？焉用牛刀？ 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 簡(jiǎn)化假設(shè)簡(jiǎn)化假設(shè)：（1）水池、空氣吸熱不計(jì)，只考慮水池、空氣吸熱不計(jì)，只考慮 盤(pán)子吸熱，盤(pán)子的大小、材料相同盤(pán)子吸熱，盤(pán)子的大小、材料相同（2）盤(pán)子初始溫度與氣溫相同，洗盤(pán)子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開(kāi)始溫水池中的水量為常數(shù)，開(kāi)始溫度為度為T(mén)1，最終換水時(shí)的溫度為，最終換水時(shí)的溫度為 T

21、2（4）每個(gè)盤(pán)子的洗滌時(shí)間每個(gè)盤(pán)子的洗滌時(shí)間 T是一是一個(gè)常數(shù)。（個(gè)常數(shù)。（這一假設(shè)甚至可以去掉這一假設(shè)甚至可以去掉 不要不要）根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問(wèn)題就很容衡定律，餐館老板的問(wèn)題就很容易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤(pán)的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。下瓷盤(pán)的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。 可見(jiàn)可見(jiàn) ，假設(shè)條件，假設(shè)條件 的提出不的提出不 僅和你僅和你 研的研的 問(wèn)題問(wèn)題 有關(guān)，還和有關(guān)，還和 你準(zhǔn)備利用哪些知你準(zhǔn)備利用哪些知 識(shí)識(shí) 、準(zhǔn)備建立什么樣的模型以及你準(zhǔn)準(zhǔn)備建立什么樣的模

22、型以及你準(zhǔn) 備研備研究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時(shí)，究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時(shí)，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。 例例5 5 將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均 為為1 1，其，其 重重心在中點(diǎn)心在中點(diǎn)1/21/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法歸納法推導(dǎo)。推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有：塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Z

23、n= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，從而上面，從而上面 n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總距離為總距離為 ，nkk121112121,時(shí)nnknkn 例例6 6 某人住在某公交線附近，該公交線路某人住在某公交線附近，該公交線路為在為在A A、B B兩地間運(yùn)行，每隔兩地間運(yùn)行，每隔 1010分鐘分鐘A A、B B兩兩地各發(fā)出一班車(chē)，此人常在離家最近的地各發(fā)出一班車(chē)，此人常在離家最近的 C C點(diǎn)等車(chē)，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇怪的現(xiàn)點(diǎn)等車(chē)，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B B去去A A的車(chē)，難道由的車(chē)，難道由 B B去去A

24、 A的車(chē)次多些嗎？請(qǐng)的車(chē)次多些嗎？請(qǐng)你幫助他找一下原因你幫助他找一下原因由于距離不同，設(shè)由于距離不同，設(shè) A A到到C C行駛行駛3131分分鐘，鐘，B B到到C C要行駛要行駛 3030分鐘，考察一分鐘，考察一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度 為為1010分鐘的區(qū)間，例分鐘的區(qū)間，例如，可以從如，可以從 A A方向來(lái)的車(chē)駛方向來(lái)的車(chē)駛 離離C C站站時(shí)開(kāi)始，在其后的時(shí)開(kāi)始，在其后的 9 9分鐘內(nèi)到達(dá)的分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見(jiàn)到先來(lái)的車(chē)均為乘客見(jiàn)到先來(lái)的車(chē)均為 B B開(kāi)往開(kāi)往A A的，的，僅有最僅有最 后后1 1分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到 由由A A來(lái)的車(chē)先到。由此可見(jiàn)，如果來(lái)的車(chē)先到。由此可見(jiàn)，如果此人此人 到到C C站等車(chē)的時(shí)間是隨機(jī)的，站等車(chē)的時(shí)間是隨機(jī)的，則他先遇則他先遇 上上B B方向來(lái)的車(chē)的概率為方向來(lái)的車(chē)的概率為 90%90% 。例例4 4 飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設(shè)計(jì)一些尋找黑定其所在的方