汕頭英華外國語2011屆數(shù)學(xué)必修一各章知識點總結(jié).

1、汕頭英華外國語2011屆數(shù)學(xué)必修一各章知識點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性如：世界上最高的山元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y 元素的無序性：女口： a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3集合的表示：如：我校的籃球隊員, 太平洋，大西洋，印度洋， 北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N正整數(shù)集N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R1）列舉法：a,b,c2）描述法

2、：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x| x-3>23） 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn 圖：4、集合的分類：（1）有限集含有有限個兀素的集合無限集空集含有無限個兀素的集合不含任何元素的集合例：x|x 2= 5二、集合間的基本關(guān)系1“包含”關(guān)系一子集注意：A "= B有兩種可能（1） A是B的一部分，；（2） A與B是同一集 合。Q 二：反之：集合A不包含于集合 B,或集合B不包含集合A,記作A B或B - A“相等”關(guān)系:A=B （5為，且5 <5，則5=5）第2頁共13頁實例：設(shè) A=x|

3、x 2-1=0 B=-1,1"元素相同則兩集合相等”即：任何一個集合是它本身的子集。A A 真子集：如果A1B,且A= B那就說集合 A是集合B的真子集，記作匚DA B（或 B A） 如果A B, B C ,那么A C 如果A二B 同時B二A那么A=B2. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交集并集補集疋由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設(shè)S是一個集合，A是義于B的元素所組成屬于集合B的兀素所S的一個子集，由S中的集合，叫做A,B的組成的集合，叫做A,B所有不

4、屬于 A的元素交集.記作A B的并集.記作：aUb組成的集合，叫做S中（讀作A交B',即（讀作A并B',即子集A的補集（或余A 口 B= x|x 乏 A ,aUb =x|x A，或集）且B.x 壬 B).記作CSA，即CsA= xlxES'Bx/5韋CA Jio女n恩圖1圖2圖示性A=AaUa=a(CuA) H (CuB)AQ=aU q=a=Cu (A U B)A B=B AaUb=b U A(CuA) U (CuB)A BAaUb 二 A=Cu(A B)質(zhì)A B 匚BaUb ：BAU (C uA)=UA(C uA)=.例題：1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）A某班所

5、有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家 C 一切很大的書 D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)2.集合a，b，c 的真子集共有 個3.若集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x %，貝U M 與 N 的關(guān)系是.40人，化3. 設(shè)集合A= x 1 ：:x : 2 /， B= x < a /，若A J B，則a的取值范圍是 5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有學(xué)實驗做得正確得有 31人，兩種實驗都做錯得有 4人，則這兩種實驗都做對的有 人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= 7.已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x 2-5x+6

6、=0, C=x| x 2-mx+m 2-19=0,若 B PC 工，APC=，求 m 的值、函數(shù)的有關(guān)概念1 函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合 A中的任意一個數(shù) x，在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它 對應(yīng)，那么就稱f: AT 為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x), xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值 相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x(A叫做函數(shù)的值域.1. 定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零

7、；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2. 值域：先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中， 以函數(shù)y=f(x) , (x 3)中的x為橫坐

8、標(biāo)，函 數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x 3)的圖象.C 上每一點的坐標(biāo)(x, y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每 一組有序?qū)崝?shù)對 x、y為坐標(biāo)的點(x, y)，均在C上.(2) 畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4. 區(qū)間的概念(1) 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2 )無窮區(qū)間(3) 區(qū)間的數(shù)軸表示.5. 映射一般地，設(shè) A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素 x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)

9、f: A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“(對應(yīng)關(guān)系)：A (原象)一；B (象)”對于映射f: AT 來說，則應(yīng)滿足：(1) 集合A中的每一個元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3) 不要求集合B中的每一個元素在集合 A中都有原象。6. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況.(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u 創(chuàng)),u=g(x)(x 3),則 y=fg(x)=F(x)(x 旳 稱為 f、g 的復(fù)

10、合函 數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任 意兩個自變量X1, X2，當(dāng)X1 <X2時，都有f(X1)<f(X2),那么就說f(x)在區(qū)間 D上是增函數(shù)區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值 X1 , X2,當(dāng)X1<X2時，都有f(XjJ >f(X2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減 區(qū)間注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一

11、區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上 升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：(Q任取 X1 , X2 D，且 X1<X2 ；作差 f(xi) - f(X2)；®變形(通常是因式分解和配方)；(0定號(即判斷差f(xi) - f(X2)的正負(fù))；下結(jié)論(指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D上的單調(diào)性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x), y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單

12、調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集 &函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1) 偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f( x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2) .奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f( x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：0首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；0確定f( x)與f(x)的關(guān)系；(3作出相應(yīng)結(jié)論：若f( X)= f(x)或f( x) f(x) = 0 ,則f(x)是偶函數(shù)；

13、 若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) = 0 ,貝y f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)若對稱，再根據(jù)定義判定；由f(-x) +±(x)=0或f(x) / f(-x)= ±1來判定；利 用定理，或借助函數(shù)的圖象判定9、函數(shù)的解析表達(dá)式(1) 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān) 系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域(2) 求函數(shù)的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數(shù)法3) 換元法4) 消參法10

14、.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)3利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值3利用圖象求函數(shù)的最大(小)值3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題：1. 求下列函數(shù)的定義域:x2 -2x -15x 3 -32. 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為0, 1，則函數(shù)f(x2)的定義域為3.若函數(shù)f(x 1)的定義域為-2, 3，則函數(shù)f(2x-1)的定義

15、域是 x +2(x 蘭二)若 f(x) =3，則 x=4.函數(shù)2f (x) =$x (_1 <x <2)2x(x _2)5.求下列函數(shù)的值域:/T2 y = x 2x 3 (x 三 R)(3) y = x - f -2x y =x2 2x _3 x ：二口 ,2(4) y = -x2 4x 5第11頁共13頁第#頁共13頁6.已知函數(shù)f(x_1)=x2 -4x，求函數(shù)f(x), f(2x 1)的解析式7已知函數(shù) f(x)滿足 2f(x) f(丸=3x 4，則 f (x) =。8.設(shè)f(>)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x迂0,七左)時，f (x) =x(1+抵),則當(dāng)(丄o,0)時 f

16、(x) =f (x)在 R 上的解析式為 9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y =x2+2x+3 y=Jx2+2x+3 y=x26x110.判斷函數(shù)y = _x31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論11.設(shè)函數(shù)f(x) 口1 x21 x2判斷它的奇偶性并且求證:第章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一) 指數(shù)與指數(shù)幕的運算1. 根式的概念：一般地，如果x" = a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1， 且 n N *.負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是 0,記作n 0 = 0。n，_nnba (a MO)當(dāng)n是奇數(shù)時，Va =a，當(dāng)n是偶數(shù)時，na =|a|=廠a (a£0)2 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕正

17、數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：man = n am(a 0,m,n N*, n 1)，m11 *a n m(a 0,m,n N ,n 1)m n ma看a0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于 0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義3實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)(1)rra ar s二 a(a0,r ,sR)；(2)(ar)srs二 a(a0,r ,sR)；(3)(ab)rr s=a a(a0,r ,sR).(二) 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=ax(a 0,且a = 1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>

18、;10<a<1r-/1 100定義域R定義域R值域y > 0值域y > 0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)函數(shù)圖象都過定點(0 , 1)注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：(1 )在a , b上，f(x) =ax(a 0且a = 1)值域是f (a),f (b)或 f(b),f(a);(2) 右x = 0，則f (x) = 1 ; f (x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x R ；(3) 對于指數(shù)函數(shù) f(xax(a . 0且a = 1)，總有 f (1) = a ；二、對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)1.對數(shù)的概念：一般地，如果 ax

19、 =N (a .0,a=1)，那么數(shù)x叫做以a 為底N的對數(shù)，記作：x=logaN ( a 底數(shù)，N 真數(shù)，loga N 對數(shù)式)說明：©注意底數(shù)的限制a 0，且a = 1;©ax =N = loga N =x ；logaN©注意對數(shù)的書寫格式.兩個重要對數(shù)：©常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lg N ;©自然對數(shù)：以無理數(shù) e = 2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)ln N .指數(shù)式與對數(shù)式的互化b Iat底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a 0 ,且 a =1 , M 0 , N 0,那么：O lOga（M -Nloga M + loga N ；

20、© lOg a M 二 lOga M - lOga N ；N©logaM" =n loga M （n R）.注意：換底公式log c blog a b -（ a 0，且 a = 1 ； c 0，且 c F ； b 0）.logca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論n nI（1） logamb log a b ; （2） logab = mlog ba（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=logax（a .0,且a = 1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0, +8）.注意：。對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如:y =2log2x ,

21、 y = iog 5 x都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).5（0對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（a 0，且a =1）.2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10<a<1”-*L4'1 -1 -0.5101-定義域x >0定義域x>0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1 , 0）函數(shù)圖象都過定點（1 , 0）（三）幕函數(shù)1、幕函數(shù)定義：一般地，形如y = x（a R）的函數(shù)稱為幕函數(shù)， 其中:- 為常數(shù).2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納.（1）所有的幕函數(shù)在（0, +都有定義并且圖象都過點（1, 1）；（2 ） 0時，幕函數(shù)的圖象通過原點， 并且在區(qū)間0, ：）上是增函數(shù).特 別地，當(dāng)時，幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0 ：1時，幕函數(shù)的圖象上凸；（3）：0時，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間（0, ：）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)， 當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在 y軸右方無限地逼近 y軸正半軸，當(dāng)x趨 于：時，圖象在x軸上方無限地逼近 x軸正半軸.第16頁共13頁例題:第17頁共13頁第#頁共13頁1.已知a>0 , a I 0 ,函數(shù)y=ax與y=log a(-x)的圖象只能是第#頁共13頁第#頁共13頁2. 計算： 氏彳2=網(wǎng)24log