河北省衡水中學高三第一次摸底考試數(shù)學(理)試題 Word版含解析_第1頁
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文檔簡介

1、.家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境,為了與家長配合做好幼兒閱讀訓練工作,孩子一入園就召開家長會,給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長,要求孩子回家向家長朗讀兒歌,表演故事。我和家長共同配合,一道訓練,幼兒的閱讀才能進步很快。老師范讀的是閱讀教學中不可缺少的部分,我常采用范讀,讓幼兒學習、模擬。如領讀,我讀一句,讓幼兒讀一句,邊讀邊記;第二通讀,我大聲讀,我大聲讀,幼兒小聲讀,邊學邊仿;第三賞讀,我借用錄好配朗讀磁帶,一邊放錄音,一邊幼兒反復傾聽,在反復傾聽中體驗、品味。家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境,為了與家長配合做好幼兒閱讀訓練工作,孩子一入園就召開家

2、長會,給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長,要求孩子回家向家長朗讀兒歌,表演故事。我和家長共同配合,一道訓練,幼兒的閱讀才能進步很快。2019屆河北省衡水中學高三第一次摸底考試數(shù)學理試題此卷只裝訂不密封班級 姓名 準考證號 考場號 座位號 數(shù)學本卷須知:1答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答:每題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答:用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草

3、稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試完畢后,請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項選擇題1復數(shù)z=-3-4ii在復平面內(nèi)對應的點位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2全集U=R,M=x|-x22x那么CUM= A x-2<x<0 B x-2x0C xx<-2或x>0 D xx-2或x03某地某所高中2019年的高考考生人數(shù)是2019年高考考生人數(shù)的1.5倍,為了更好地比照該??忌纳龑W情況,統(tǒng)計了該校2019年和2019年的高考情況,得到如下柱狀圖:2019年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計 2019年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計那么以下結(jié)論正確的選項是A 與2019年相比,20

4、19年一本達線人數(shù)減少B 與2019年相比,2019年二本達線人數(shù)增加了0.5倍C 與2019年相比,2019年藝體達線人數(shù)一樣D 與2019年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加4等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為Sn,且S10=100,那么a7的值為A 11 B 12 C 13 D 145fx是定義在R上的奇函數(shù),假設x>0時,fx=xlnx,那么x<0時,fx=A xlnx B xln-x C -xlnx D -xln-x6橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0和直線l:x4+y3=1,假設過C的左焦點和下頂點的直線與l平行,那么橢圓C的離心率為A 45 B 3

5、5 C 34 D 157如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,且AE=2EO,那么ED=A 13AD-23AB B 23AD+13AB C 23AD-13AB D 13AD+23AB8某幾何體的三視圖如下圖,那么此幾何體A 有四個兩兩全等的面B 有兩對互相全等的面C 只有一對互相全等的面D 所有面均不全等9趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為?周碑算經(jīng)?一書作序時,介紹了“勾股圓方圖,亦稱“趙爽弦圖以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的.類比“趙爽弦圖,可類似地構(gòu)造如下圖的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等

6、邊三角形拼成的一個大等邊三角形,設DF=2AF=2,假設在大等邊三角形中隨機取一點,那么此點取自小等邊亞角形的概率是A 413 B 21313 C 926 D 3132610函數(shù)fx=-ex,x0,lnx,x>0e為自然對數(shù)的底數(shù),假設關于x的方程fx+a=0有兩個不相等的實根,那么a的取值范圍是A a>-1 B -1<a<1 C 0<a1 D a<111雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作圓x2+y2=a2的切線,交雙曲線右支于點M,假設F1MF2=45°,那么雙曲線的漸近線方程為A y=&

7、#177;2x B y=±3x C y=±x D y=±2x12如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F(xiàn)分別為棱BB1,CC1的中點,點O為上底面的中心,過E,F(xiàn),O三點的平面把正方體分為兩部分,其中含A1的部分為V1,不含A1的部分為V2,連結(jié)A1和V2的任一點M,設A1M與平面A1B1C1D1所成角為,那么sin的最大值為A 22 B 255 C 265 D 266二、填空題13實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+10,2x+y-40,y0,,那么z=x-2y的最小值為_.14數(shù)列an,假設數(shù)列3n-1an的前n項和Tn=15×6n-15,那么

8、a5的值為_.15由數(shù)字0,1組成的一串數(shù)字代碼,其中恰好有7個1,3個0,那么這樣的不同數(shù)字代碼共有_個.16函數(shù)fx=-sin3x+x-2<2的圖像關于直線x=2對稱,當x-1,2時,fx的最大值為_.三、解答題17如圖,在ABC中,P是BC邊上的一點,APC=60°,AB=23,AP+PB=4.1求BP的長;2假設AC=534,求cosACP的值.18在ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,AB=2BC=2CD,如圖1.以DE為折痕將ADE折起,使點A到達點P的位置,如圖2. 如圖1 如圖21證明:平面BCP平面CEP;2假設平面DEP平面BCED,求直線DP與平面BC

9、P所成角的正弦值。19某高校為了對2019年錄取的大一理工科新生有針對性地進展教學,從大一理工科新生中隨機抽取40名,對他們2019年高考的數(shù)學分數(shù)進展分析,研究發(fā)現(xiàn)這40名新生的數(shù)學分數(shù)x在100,150內(nèi),且其頻率y滿足y=10a-n20其中10nx<10n+1,nN*. 1求a的值;2請畫出這20名新生高考數(shù)學分數(shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學分數(shù)的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表;3將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調(diào)查4名該校的大一理工科新生,記調(diào)查的4名大一理工科新生中“高考數(shù)學分數(shù)不低于130分的人數(shù)為隨機變量,求的數(shù)學期望.20拋物線E:x2

10、=2pyp>0的焦點為F,A2,y0是E上一點,且AF=2.1求E的方程;2設點B是上異于點A的一點,直線AB與直線y=x-3交于點P,過點P作x軸的垂線交E于點M,證明:直線BM過定點.21函數(shù)fx=eax-x-1aR.1當a=1時,求證:fx0;2討論函數(shù)fx的零點的個數(shù)。22在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為=2sin+2acosa>0;直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=22tt為參數(shù),直線l與曲線C分別交于M,N兩點.1寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;2假設點P的極坐標為2,,PM+PN=52,求a

11、的值.23函數(shù)fx=x-2.1求不等式fx+1<xfx+3的解集;2假設函數(shù)gx=log2fx+3+fx-2a的值域為R,務實數(shù)a的取值范圍.:第 7 頁2019屆河北省衡水中學高三第一次摸底考試數(shù)學理試題數(shù)學 答 案參考答案1D【解析】【分析】直接由復數(shù)的乘法運算化簡,求出z對應點的坐標,那么答案可求【詳解】復數(shù)z=-3-4ii=4-3i.對應的點為4,-3,位于第四象限.應選D.【點睛】此題考察復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,考察了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是根底題2C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M,進而根據(jù)集合補集運算的定義,可得答案【詳解】全集U=R,M=x|x22x=x|0

12、x2,UM=x|x0或x2,應選:C【點睛】此題考察的知識點是集合的交集,并集,補集運算,純熟掌握并正確理解集合運算的定義是解答的關鍵3D【解析】【分析】設2019年該校參加高考的人數(shù)為S,那么2019年該校參加高考的人數(shù)為1.5S.觀察柱狀統(tǒng)計圖,找出各數(shù)據(jù),再利用各數(shù)量間的關系列式計算得到答案.【詳解】設2019年該校參加高考的人數(shù)為S,那么2019年該校參加高考的人數(shù)為1.5S.對于選項A.2019年一本達線人數(shù)為0.28S.2019年一本達線人數(shù)為0.24×1.5S=0.36S,可見一本達線人數(shù)增加了,應選項A錯誤;對于選項B,2019年二本達線人數(shù)為0.32S,2019年二

13、本達線人數(shù)為0.4×1.5S=0.6S,顯然2019年二本達線人數(shù)不是增加了0.5倍,應選項B錯誤;對于選項C,2019年和2019年.藝體達線率沒變,但是人數(shù)是不一樣的,應選項C錯誤;對于選項D,2019年不上線人數(shù)為0.32S.2019年不上線人數(shù)為0.28×1.5S=0.42S.不達線人數(shù)有所增加.應選D.【點睛】此題考察了柱狀統(tǒng)計圖以及用樣本估計總體,觀察柱狀統(tǒng)計圖,找出各數(shù)據(jù),再利用各數(shù)量間的關系列式計算是解題的關鍵4C【解析】【分析】由S10=100及公差為2.代入前n項和公示,求出a1=1,得到挺喜歡上,即可求出a7的值.【詳解】由S10=100及公差為2.得

14、10a1+10×10-12×2=100,a1=1.所以an=2n-1,故a7=13.應選C.【點睛】此題考察等差數(shù)列的根本量計算,屬根底題.5B【解析】【分析】設x<0,那么-x>0由奇函數(shù)的性質(zhì)f-x=-fx,求出x<0函數(shù)fx的解析式,【詳解】設x<0,那么-x>0,所以f-x=-xln-x.又因為fx是定義在R上的奇函數(shù),所以f-x=-fx,所以fx=xln-x.應選B.【點睛】此題考察函數(shù)的奇偶性的綜合運用,屬根底題.6A【解析】【分析】直線l的斜率為-34,因為過C的左焦點和下頂點的直線與l平行,bc=34,由此可求橢圓C的離心率.【

15、詳解】直線l的斜率為-34,過C的左焦點和下頂點的直線與l平行,所以bc=34,又b2+c2=a234c2+c2=a22516c2=a2,,所以e=ca=45,應選A.【點睛】此題考察橢圓的離心率求法,屬根底題.7C【解析】【分析】利用向量加法法那么結(jié)合圖像特點運算即可.【詳解】ED=EA+AD=-13AC+AD=-13AD+AB+AD=23AD-13AB.應選C.【點睛】此題考察向量的線性運算,屬根底題.8B【解析】【分析】由三視圖得到幾何體的直觀圖,由三視圖給出的幾何量證明即可.【詳解】幾何體的直觀圖為四棱錐P-ABCD.如圖.因為AD=AB,PA=PA,BAP=DAP=90°.

16、所以ABPADP.因為BC平面ABP,所以BCBP.同理,CDDP.因為BP=DP,CD=BC,CP=CP,所以BCPDCP.又ABP與BCP不全等.應選B.【點睛】此題考察三視圖原原幾何體,以及線面關系的有關證明,屬中檔題.9A【解析】【分析】根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可【詳解】在ABD中,AD=3,BD=1,ADB=120°,由余弦定理,得AB=AD2+BD2-2ADBDcos120°=13,所以DFAB=213.所以所求概率為SDEFSABC2132=413.應選A.【點睛】此題考察了幾何概型的概率計算問題,是根底題10C【

17、解析】【分析】畫出函數(shù)fx的圖像,利用數(shù)形結(jié)合法可求a的取值范圍,【詳解】畫出函數(shù)fx的圖像如下圖,假設關于x的方程fx+a=0有兩個不相等的實根,那么函數(shù)fx與直線y=-a 有兩個不同交點,由圖可知-1-a<0,所以0<a1.應選C.【點睛】此題考察方程的根個數(shù)的求參數(shù)的范圍,考察數(shù)形結(jié)合思想方法,屬于中檔題11A【解析】【分析】由雙曲線的定義可得F1M-F2M=2a+2b-22a=2a,結(jié)合條件可得F2B=BM=2a,運用勾股定理,結(jié)合a,b,c的關系,可得b=2a,進而得到漸近線的斜率【詳解】如圖,作OAF1M于點A.F2BF1M于點B.因為F1M與圓x2+y2=a2相切,F(xiàn)

18、1MF2=45°,所以OA=a,F(xiàn)2B=BM=2a,F(xiàn)2M=22a,F(xiàn)1B=2b.又點M在雙曲線上.所以F1M-F2M=2a+2b-22a=2a.整理,得b=2a.所以ba=2.所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x.應選A.【點睛】此題考察雙曲線的漸近線的斜率,注意運用圓的切線的性質(zhì),結(jié)合雙曲線的定義,考察運算才能,屬于中檔題12B【解析】【分析】連結(jié)EF.可證平行四邊形EFGH即為截面. 五棱柱A1B1EHA-D1C1FGD為V1,三棱柱EBH-FCG為V2,設M點為V2的任一點,過M點作底面A1B1C1D1的垂線,垂足為N,連結(jié)A1N,那么MA1N即為A1M與平面A1B1

19、C1D1所成的角,所以MA1N=.進而得到sin的最大值.【詳解】連結(jié)EF.因為EF平面ABCD.所以過EFO的平面與平面ABCD的交線一定是過點O且與EF平行的直線.過點O作GHBC交CD于點G,交AB于H點,那么GHEF,連結(jié)EH,F(xiàn)G.那么平行四邊形EFGH即為截面.那么五棱柱A1B1EHA-D1C1FGD為V1,三棱柱EBH-FCG為V2,設M點為V2的任一點,過M點作底面A1B1C1D1的垂線,垂足為N,連結(jié)A1N,那么MA1N即為A1M與平面A1B1C1D1所成的角,所以MA1N=.因為sin=MNA1M,要使的正弦值最大,必須MN最大,A1M最小,當點M與點H重合時符合題意.故s

20、inmax=MNA1Mmax=HNA1H=255.應選B.【點睛】此題考察了空間中的平行關系與平面公理的應用問題,考察線面角的求法,屬中檔題.13-3【解析】【分析】由約束條件作出可行域,化目的函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目的函數(shù)得答案【詳解】可行域如下圖,當直線y=x2-z2經(jīng)過點A時,z獲得最小值.解方程組x-y+1=0,2x+y-4=0,可得點A1,2,所以zmin=-3.故填-3.【點睛】此題考察簡單的線性規(guī)劃,考察數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題1416【解析】【分析】據(jù)題意,得a1+3a2+32a3+3n+1an=15×6n-15,所以當

21、n2時,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=15×6n-1-15.兩式相減,可求出當n2時,an=2n-1,由此可求a5的值.【詳解】據(jù)題意,得a1+3a2+32a3+3n+1an=15×6n-15,所以當n2時,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=15×6n-1-15.兩式相減,得3n+1an=15×6n-15×6n-1=6n-1.所以當n2時,an=2n-1,故a5=16.【點睛】此題考察數(shù)列通項公式的求法,屬根底題.15120【解析】【分析】10個元素進展全排列共有A1010 種結(jié)果,在這些結(jié)果中有5個2,2個4,這樣前面的全

22、排列就出現(xiàn)了重復,共重復了A77A33 次,得到不同的排列共有A1010A77A33種結(jié)果【詳解】10個元素進展全排列共有A1010 種結(jié)果,在這些結(jié)果中有5個2,2個4,這樣前面的全排列就出現(xiàn)了重復,共重復了A77A33 次,得到不同的排列共有A1010A77A33=120種結(jié)果 故答案為120.【點睛】此題考察在排列組合中出現(xiàn)重復的元素的排列,這種問題,首先要進展正常排列,后面要除以重復的次數(shù),重復的次數(shù)是一樣元素的一個全排列164【解析】【分析】據(jù)題意知,函數(shù)y=x-2的圖像關于直線x=2對稱,那么曲線y=sin3x+也關于直線x=2對稱,可求出fx=-sin3x-6+x-2,再根據(jù)函數(shù)

23、fx=-sin3x-6+x-2的單調(diào)性可求fx的最大值.【詳解】據(jù)題意知,函數(shù)y=x-2的圖像關于直線x=2對稱,那么曲線y=sin3x+也關于直線x=2對稱,所以3×2+=k+2,kZ.所以=k-6,kZ.因為<2,所以<-6.所以fx=-sin3x-6+x-2.又y=-sin3x-6與y=x-2在區(qū)間-1,2上都為減函數(shù),所以fxmax=f-1=4.即答案為4.【點睛】此題考察函數(shù)單調(diào)性和對稱性的綜合應用,屬中檔題.171 BP=2;2 cosACP=1-452=35.【解析】【分析】1根據(jù)余弦定理直接求BP的長;2由1知,AP=2,所以在ACP中,由正弦定理. 可得

24、sinACP=45. 再判斷ACP是銳角, 可得osACP得值.【詳解】1由,得APB=120° 又AB=23,AP+BP=4,在ABP中,由余弦定理,得232=BP2+4-BP2-2×BP×4-BPcos120°, 整理,得BP2-4BP+4=0.解得BP=2. 2由1知,AP=2,所以在ACP中,由正弦定理.得ACsin60°=APsinACP, 解得sinACP=2×32534=45. 因為2<534,所以AP<AC,從而ACP<APC,即ACP是銳角, 所以cosACP=1-452=35.【點睛】此題考察正弦

25、定理、余弦定理的應用.屬中檔題.181見解析;2直線DP與平面BCP所成角的正弦值為64.【解析】【分析】1在題圖1中,可證DEBC ,在題圖2中,BC平面CEP.進而得到BC平面CEP.從而證得平面BCP平面CEP;2可證得EP平面BCED. EPCE.那么以E為坐標原點,分別以ED,EC,EP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如下圖的空間直角坐標系,利用空間向量可求直線DP與平面BCP所成角的正弦值.【詳解】1證明:在題圖1中,因為AB=2BC=2CD,且D為AB的中點.由平面幾何知識,得ACB=90°. 又因為E為AC的中點,所以DEBC 在題圖2中,CEDE,PEDE,且C

26、EPE=E,所以DE平面CEP,所以BC平面CEP. 又因為BC平面BCP,所以平面BCP平面CEP.2解:因為平面DEP平面BCED,平面DEP平面BCED=DE,EP平面DEP,EPDE.所以EP平面BCED. 又因為CE平面BCED,所以EPCE.以E為坐標原點,分別以ED,EC,EP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如下圖的空間直角坐標系在題圖1中,設BC=2a,那么AB=4a,AC=23a,AE=CE=3a,DE=a.那么P0,0,3a,Da,0,0,C0,3a,0,B2a,3a,0.所以DP=-a,0,3a,BC=-2a,0,0,CP=0,-3a,3a. 設n=x,y,z為平面B

27、CP的法向量,那么nBC=0,nCP=0,,即-2ax=0,-3ay+3az=0.令y=1,那么z=1.所以n=0,1,1. 設DP與BCP平面所成的角為,那么sin=sinn,DP=cosn,DP=nDPnDP=3a2×2a=64.所以直線DP與平面BCP所成角的正弦值為64.【點睛】此題考察面面垂直的證明,以及利用空間向量求線面角,屬中檔題.191a=0.08;2120;3見解析.【解析】【分析】1由題意知:10n14,所以的取值為10,11,12,13,14, 代入y=10a-n20,由頻率和等于1可求a的值;2由1,得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1,可得頻率分

28、布直方圖如圖: 3由題意可知,=0,1,2,3,4,且“高考數(shù)學分數(shù)不低于130分的概率為0.15+0.1=0.25,所以B4,14 ,可求的數(shù)學期望.【詳解】1由題意知:10n14,所以的取值為10,11,12,13,14, 代入y=10a-n20,可得10a-0.5+10a-0.55+10a-0.6+10a-0.65+10a-0.7=1, 解得a=0.08. 2由1,得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1,頻率分布直方圖如圖: 這40名新生的高考數(shù)學分數(shù)的平均數(shù)為105×0.30+115×0.25+125×0.20+135×0.15+145

29、×0.10=120. 3由題意可知,=0,1,2,3,4,且“高考數(shù)學分數(shù)不低于130分的概率為0.15+0.1=0.25,所以B4,14 所以E=4×14=1.【點睛】此題考察頻率分布直方圖的應用,考察二項分布的期望,屬中檔題.201E的方程為x2=4y;2見解析.【解析】【分析】1由拋物線的定義利用AF=2.可求p=2,進而求得E的方程;2證明:設Bx1,y1,Mx2,y2.由題意,可設直線BM的方程為y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0.由MPx軸及點P在直線y=x-3上,得Px2,x2-3,那么由A,P,B三點共線,得x2-4x2-2=kx1+b-

30、1x1-2, 整理,得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.結(jié)合韋達定理可得2-x12k+b-3=0. 由點B的任意性,得2k+b-3=0,即可證明.【詳解】1解:根據(jù)題意知,4=2pya,因為AF=2,所以ya+p2=2. 聯(lián)立解的ya=1,p=2. 所以E的方程為x2=4y. 2證明:設Bx1,y1,Mx2,y2.由題意,可設直線BM的方程為y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0.根與系數(shù)的關系.得x1+x2=4k,x1x2=-4b.由MPx軸及點P在直線y=x-3上,得Px2,x2-3,那么由A,P,B三點共線,得x2-4x2-2=kx1+b-1x1-2

31、, 整理,得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.將代入上式并整理,得2-x12k+b-3=0. 由點B的任意性,得2k+b-3=0,所以y=kx+3-2k=kx-2+3.即直線BM恒過定點2,3.【點睛】此題考察拋物線方程的求法、拋物線的簡單性質(zhì),考察直線與拋物線位置關系的應用,考察計算才能,屬中檔題211見解析;2見解析.【解析】【分析】1將a=1代入函數(shù)的表達式,求出fx,解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到最小值,即可證明fx0;2先求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到函數(shù)的極值,進而求出函數(shù)的零點的個數(shù)【詳解】1證明:當a=1時,

32、fx=ex-x-1,那么f'x=ex-1. 由f'x=0.得x=0.當x<0時,f'x<0;當x>0時,f'x>0,所以函數(shù)fx在區(qū)間-,0內(nèi)是減函數(shù).在區(qū)間0,+內(nèi)是增函數(shù), 所以x=0是fx的極小值點,也是最小值點.且fxmin=f0=0,故當a=1時.fx0恒成立. 2解:據(jù)題意,得f'x=aeax-1.當a0時,f'x<0恒成立.那么函數(shù)fx在R上是減函數(shù)。又f0=0,所以函數(shù)fx有且只有一個零點. 當a>0時.由f'x=0,得x=1aln1a.當x<1aln1a時,f'x<

33、0;當x>1aln1a時,f'x>0,所以fx在區(qū)間-,1aln1a內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間1aln1a,+內(nèi)是增函數(shù).所以x=1aln1a是函數(shù)fx的極小值點,也是最小值點,即fxmin=f1aln1a=1a-1aln1a-1. 令ht=t-tlnt-1t>0,那么h't=1-1+lnt=-lnt,當t=1時,h't=0;當0<t<1時,h't>0;當t>1時,h't<0,所以函數(shù)ht在區(qū)間0,1內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間1,+內(nèi)是減函數(shù),從而t=1是函數(shù)ht的極大值點.也是最大值點,所以hth1=0,即fxmin=1

34、a-1aln1a-10當且僅當a=1時取等號當fxmin=1a-1aln1a-1=0,即a=1時,函數(shù)fx只有一個零點當fxmin=1a-1aln1a-1<0,即a>0,且a1時,分a>1和0<a<1兩種情況討論:i當a>1時,-1<1aln1a<0,因為f-1=eax-1-1=eax>0,所以fx在區(qū)間-,1aln1a內(nèi)有一個零點;又f0=0,因此fx有兩個零點.ii當0<a<1時,1aln1a>0;由1,得exx+1.即xlnx+1,亦即lnxx-1.令x=2a.那么得ln2a2a-1,即-ln2a-2a-1,所以f2aln2a=e2ln2a-2aln2a-12a2-2a2a-1-1=2a-1>0,所以fx在區(qū)間1aln1a,+內(nèi)有一個等點.又f0=0,因此函數(shù)fx有兩個零點.由i和ii,得當a>1或0<a<1時,函數(shù)fx有兩個零點.綜上,當a0或a=1時,函數(shù)fx只有一個零點;當a>0.且a1時,函數(shù)fx有兩個零點?!军c睛】此題考察了函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點問題,考察導數(shù)的應用,是一道難題221 曲

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