放縮法在解題中的應(yīng)用

1、放縮法在解題中的應(yīng)用放縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法。放縮法在近幾年高考試題中多次出現(xiàn)，它 可以考察學(xué)生的邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)。下面從幾道高考題談?wù)劷膺@類題的常見方法。4121. (2006 全國卷I)設(shè)數(shù)列曲，的前n項(xiàng)的和Sn*an-± 2n1 -, n =1,2,3,LL3332n (I)求首項(xiàng)a占通項(xiàng)an ;(n)設(shè)Tn,n = 1,2,3，證明:Sn4解:(I)由 S n=Aan-1 n+l23x2+3, n=123412 得 a 1=$1=嚴(yán) 14+3 所以 3i=2.412再由有 Sn_i=an_i 3X2

2、5, n=2,3 , 4,33341將和相減得:a n=S Sn 1= 3 (a n 3n- i) 3x (2 2 ),n=2,3,整理得：an+2n=4(an-i+2n-1),n=2,3,，因而數(shù)列 a n+2n)是首項(xiàng)為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，即:an+2n=4x 4n-1= 4n, n=1,2,3,，因而 an=4n 2n, n=1,2,3, 91n+1ic 4n 1n+12(n )將 an=4n 燈代入得Sn= 3X(4_2)- 3X2 + .-X (21)(2o2?x (2 n+12nTn=S：-1)(2n1)(2 1?(?11) 2、2 =：X (1、n+1)O 一 i3

3、巧13113t = r(27 一 2A)=2X( 21-2i+1 1/<2iit在(2)的證明中觀察特點(diǎn)，巧妙用好了裂項(xiàng)求和，在放縮。2. (2006 福建卷)已知數(shù)列 an滿足 ai=1,and=2an+1( n N”)(I)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(n)若數(shù)列(bn)滿足 4-141 -4k-1=(an+1)km( n NJ,證明:bn是等差數(shù)列; (出)證明：一"1 V 色.玉-v-(nN-).2 3 a2 a3aA 2(I)解：an 1 =2an 1 (n N*),an1 =2(anV),-fan y是以印，1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。(II)證法一:an 1 =

4、2 .即4“4化.4嘰二(務(wù)小s =21(nN).4(k, k2 一 krii* =2kn 2(d b2 .bn) -n工 nbn,2(bi b2 .bn bn i)-(n 1) =(n 1)bn d. 一，得 2(bni -1 ) =(H 1 )bni - fl bn,即(n 1)bm -nbn2 =0,加2_51)"12= 0一得 nbn .2-2nbn r nbn =0,即 bn2-2bn1 bn=0,bn-2八 1 =bn 1 6 (fl N ),展等差數(shù)列。(III)證明:3k 2k_1 2k_13ki 2* 1 1 2(2丄)2.旦+直+ +生衛(wèi)r 32333n 121

5、11J 1 丄2 2(2-1)2 3.2k2k2_2 3*2k'玉an 1Lx n 丄(1 二)， 戶 2 3223-： (n N)3n 123. ( 2010四川文數(shù))(22)(本小題滿分14分)W1 +設(shè)f (x)=一 x ( a>0且a" )，g (x)是f (x)的反函數(shù)i _o(i)求 g(x)；(II)證法一：4“4化.4叫二(務(wù)(n)當(dāng) x 2,6時，恒有 g(X)lOga 2 (x-1)(7-x)(川)當(dāng)Ov av1時試比較f(1)+f(2)+f(n)與n的大小并說明理由1>.成立，求t的取值范圍;v_1解：由題意得： 0V+1x_ 1故 g(x)

6、 = loga , x (X+1X -1由 lOgalOgaX 1,1)U(1,+8)t(x-1)(7-x)當(dāng)a1時，廠產(chǎn)Ay >°X -1i當(dāng)0 vav1時，Ovx 1 (X21)(7 -x)又因?yàn)?x 2, 6,所以 Ov tv (x- “(7 x)X2(2,5)5(5,6)6h'( x)+0h(x)5/極大值3225令 h(x)= (x 1)2(7 x)= X3 + 9X2 15x+ 7, x 2,6則 h'( x)二3x?+ 18x 15=3(x 1)(x 5)列表如下：所以h(x)展小值二5,所以0 v tv 5又因?yàn)?x 2, 6,所以 t>(

7、x- “(7 x) >0令 h(x) = (x 1 )2(7 x) = X3 + 9x2 15x+ 7, x 2,6由知 h(x)最大值二32, x 2,6 所以t32綜上，當(dāng) a> 1 時 » Ov tv 5;當(dāng) Ov a v 1 時，t >32 9分設(shè)a二，貝U p11 + P2 當(dāng) n = 1 時,f( 1)二 1+ w 3 v 5 ”則 f( k)二=11 3k2k(1 P) -12122iTkCkP +Ckp +111 + Ckp1 1另解。由Ov aw 2，得2。f( k)二2 444所以 f( k) w 1 +1 + 二 1 + C： +C：k(k+1

8、) kk+144從而 f(2) + f( 3) +f(n) wn 1 +<n + 12 n +1所以 f(1) + f( 2) + f(3) +f(n) v f( 1) + n+ 1 w n + 414分綜上，總有 f(1)+ f(2) + f(3) + f(n) vn+ 4(2007年四川高考)已知函數(shù)f(x)=x2 - 4，設(shè)曲線y= f ( X)在點(diǎn)(Xn, f(Xn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為其中n為正實(shí)數(shù).(Xn+i,0) 用Xx表示Xn + 1 ;(H) 若ai=4，記anHg2，證明數(shù)列 ai2成等比數(shù)列，并求數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式；Xn2(皿)若Xu 4, bn= Xn- 2,

9、Tn是數(shù)列 bn )的前n項(xiàng)和，證明Tn<3.(I) 由題可得f '(x) 2X所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(Xn, f(Xn)處的切線方程是：yf (Xn)二f(Xn)(X - Xn).2 2即 y -(Xn -4) =2Xn(X -Xn).令 y =0,得(Xn - 4) = 2Xn(Xn 1 - X.).即X：r4 2XnXn 1 .顯然 Xn = 0，二 Xn 1 二禺22Xnn4x12nxn22 la 2 la 3 即 la Xn "22 la 3所以 X =23i + T) 32X2(3 落+1)Xn-寫'1. 13.bm 32 n1 -11 1(n

10、) 由“1 二牛 Z，知 Xn 1 2=丄學(xué)，同理 Xnl2=fS_2>22Xn2 Xn2Xn2 人故 Xn二(j) 2 .X 2 X 2n 1 n Xn 2Xnf2從而lg 42lg公，即ani =2an以，數(shù)列an成等比數(shù)列.Xn 1 -2Xn -2n/3n = 2 aAi =從而冷一 2 =32Xp, 2(皿)由(n)知4 k V Vnn n 11 J. bn 32-1 32 1 32 32當(dāng)時，顯然=2 : : :3 .1當(dāng)1時，bn導(dǎo)一鈿電才:川勺人51 b2bn1 1小加川（？叫1二綜上，Tn：: 3 (n 1ST).2O06曽（晉西卷）已知數(shù)列an滿足：ai= '，

11、且 an二2空匚一(n_2, n N ” )2an-i* n 1（1） 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；n!（1）將條件變1 丄二(1an 3匸!），因此an-1解： 為：證明：對于一切正整數(shù)n,不等式a £2.an：:：21 丄為一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)為Hn從而1 -3n1丄，據(jù)此得3n（2）證：1 得，3l£2 3n 二據(jù)為證 ai <92«. an: : : 2 <n!1只要證n1 N 時有(1-_)( ( 1-p)3顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個111（仁才）（1歹）_ （ 1-R1333用數(shù)學(xué)歸納法證耐時3啜式顯然成立，3式成立，1（1-R1'(i )即牡23設(shè)n二k時，1 1)(1-2 )-3則當(dāng)n = k+ 1時,1 1(10(1 霜八331 1=1(2+ +331 1故對p切予式都成立。3321 1(1)2n三N,3n1111頁)(1-R) 1-( - + T +31-b ok+1311孑）（廠31 /1 rk+1 '331、 歹+ +33+ )即當(dāng)n二k+ 1時，3式也成立。 3k+