微積分基本定理Word版

1、1.6.1微積分基本定理教材分析本節(jié)內容選自數(shù)學選修2-2第一章第六節(jié)，是在學習了定積分的概念知識后，對求解定積分值的再學習，可以看作是對前面學習過的內容的應用，要求用牛頓萊布尼茨公式求解定積分的值.此外，本節(jié)又是定積分應用的起始課，對后續(xù)內容的學習起著奠基的作用，本課題的重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分，難點是微積分基本定理的含義及其應用通過探究公式的由來過程，可以很好地培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，要求學生有意識地運用特殊與一般思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想，在解決新問題的過程中，又要自覺的運用化

2、歸與轉化思想，體現(xiàn)解決數(shù)學問題的一般思路與方法.課時分配 本節(jié)內容用2課時的時間完成，本節(jié)課為第一課時主要講解牛頓萊布尼茨公式的證明及運用公式解決簡單的求解定積分的問題.教學目標重點: 微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分.難點：微積分基本定理的含義及其應用知識點：牛頓-萊布尼茨公式.能力點：如何探尋牛頓-萊布尼茨公式的證明思路，數(shù)形結合的數(shù)學思想的運用.教育點：經歷由特殊到一般的研究數(shù)學問題的過程，體會探究的樂趣，激發(fā)學生的學習熱情.自主探究點：如何運用變速直線運動物體的速度與位移的關系推導出牛頓-萊布尼茨公式.考試點：通過變速運動的速度與位移間的關系探尋牛頓-萊布尼茨

3、公式、用公式求定積分問題.易錯易混點：當定積分的被積函數(shù)較復雜在計算時學生容易在“符號”上出問題.拓展點：在求解復合函數(shù)在給定區(qū)間上的積分值時有哪些技巧可尋.教具準備 多媒體課件課堂模式 學案導學一、引入新課前面，我們已經學習了微積分學中兩個最基本和最重要的概念導數(shù)和定積分，那么這兩個概念之間有沒有內在的聯(lián)系呢？我們可以直接利用定積分的定義來計算的值，我們通過分割、近似代替、求和、取極限的“四步曲”來計算此定積分的值，但是過程卻比較麻煩.而對于有些定積分，例如，當我們再用定義去求解時，會出現(xiàn)什么情況呢？那么該和式的極限值是多少呢？我們可以借助于定積分的幾何意義來看一下：由定積分的幾何意義結合圖

4、像可知該定積分的值不為零，那么該如何計算該定積分的值呢？有沒有比定義更簡潔、有效的方法求定積分呢？2 / 11接下來我們就從導數(shù)與定積分的內在聯(lián)系出發(fā)去探尋一種求解定積分的值的更簡潔有效的方法.【設計說明】在計算定積分的值時，讓學生自己先按照定義去求，讓學生回顧一下定積分的定義及前面所學過的“四步曲”.【設計意圖】通過以上應用定義求解定積分的過程出現(xiàn)定義法失效的情況，激發(fā)學生去探尋其他的求解定積分的方法.二、探究新知探究：如下圖所示，一個做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是，并且有連續(xù)的導數(shù).由導數(shù)的概念可知，它在任意時刻的速度.設這個物體在時間段內的位移為，你能分別用表示嗎？ 顯然，物體的位移是

5、函數(shù)在處與處的函數(shù)值之差，即.另一方面，我們還可以利用定積分，由求位移.用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間：每個小區(qū)間的長度均為：.當很小時，在上的變化很小，可以認為物體近似的以速度做勻速運動，物體所做的位移為：由幾何意義上看（如上右圖），設曲線上與對應的點為P，PD是P點處的切線，由導數(shù)的幾何意義知，切線PD的斜率等于，于是：.結合上圖，可得物體總位移：.可以發(fā)現(xiàn)，越大，即越小，區(qū)間的分割就越細，與的近似程度就越好，并且當時兩者之差趨向于0.由定積分的定義有：.結合有：.上式表明，如果做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是，那么在區(qū)間上的定積分就是物體的位移.一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這

6、個結論叫做微積分基本定理，又叫牛頓-萊布尼茨公式.為了方便，我們常常把記成，即.微積分基本定理表明，計算定積分的關鍵是找到滿足的函數(shù).通常，我們可以運用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)四則運算法則從反方向上求出.【設計意圖】給學生充分的感性材料,揭示公式的發(fā)現(xiàn)過程, 通過學生發(fā)現(xiàn)若干特例的共性, 培養(yǎng)學生歸納、概括、提出數(shù)學問題的能力（一般性探究）避免直接將公式拋給學生三、理解新知分析公式的結構特點，得到：求解定積分的關鍵是找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)【設計意圖】為準確地運用新知，作必要的鋪墊.四、運用新知例1計算下列定積分：（1）； （2）.解：（1）因為，所以.（2）因為，所以.【設計意圖】本例為

7、課本上兩個例題，屬于公式的簡單應用，讓學生感受一下牛頓-萊布尼茨公式在求解定積分時的應用.【變式練習】計算：（1），（2），（3），（4），（5），（6）.【設計意圖】給學生留有充分的練習時間，讓學生親自體會牛頓-萊布尼茨公式在求解定積分時的應用.例2計算下列定積分：.由計算結果你能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結論.解：因為，所以，. 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0: ( l ）當對應的曲邊梯形位于軸上方時（圖1.6-3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 - 3 （2）當對應的曲邊梯形位于軸下方時（圖 1 . 6 - 4 )

8、，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； 圖1 . 6 -4 圖1 . 6 -5 ( 3）當位于軸上方的曲邊梯形面積等于位于軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 - 5 ) ，且等于位于軸上方的曲邊梯形面積減去位于軸下方的曲邊梯形面積 【設計意圖】本例可以作為當被積函數(shù)是三角函數(shù)時求解定積分的一種技巧，可讓學生從定積分的幾何意義的角度去求解定積分的值.【變式練習】計算：（1），（2），（3）.【設計意圖】考查學生用定積分的幾何意義求解定積分的值.例3汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車.設汽車以等減速度剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先

9、要求出從剎車開始到停車經過了多少時間.當時，汽車速度,剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,速度,故從解得秒于是在這段時間內,汽車所走過的距離是=米,即在剎車后,汽車需走過米才能停住.【設計意圖】定積分的簡單實際應用，也是對微積分基本定理的應用.五、課堂小結 教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答：1知識：2思想：數(shù)形結合的思想、特殊與一般的思想教師總結: 本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式成立，進而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數(shù)的原函

10、數(shù)，這就要求大家前面的求導數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！微積分基本定理揭示了導數(shù)和定積分之間的內在聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果【設計意圖】加強對學生學習方法的指導，做到“授人以漁”六、布置作業(yè) 1閱讀教材P5154；2.書面作業(yè) 必做題：P55 習題1.6 A組 1 B組1，2選做題：1、求函數(shù)在上的最大值與最小值.2、 計算.課外思考：求由拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值.【設計意圖】設計作業(yè)1,2，是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學生能夠運用牛頓-萊布尼茨公式，解決簡單的數(shù)學問題；課外思考的安排，是讓學生理解公式的應用，從而讓學生深刻地體會到微積分基本定理的主線作用，培養(yǎng)學生用整體的觀點看問題，起到承上啟下的作用 七、教后反思 1.本教案的亮點是變式訓練.在例1的教學中，讓學生大量的練習，鞏固公式例2則為利用定積分的幾何意義求解定積分的值，既注重了與原問題的聯(lián)系，又在不知不覺中提高了難度，提高了學生的解題能力2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本