測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

1、測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)1.集合論1.1 集合與基本運(yùn)算·概念：具有一定性質(zhì)的對(duì)象構(gòu)成的全體（不嚴(yán)格定義）。中間含有的對(duì)象叫元素。 全集：要研究的問(wèn)題涉及到的最大集合。 空集：沒(méi)有任何元素的集合。 表達(dá)方法：x（集合元素x）|x應(yīng)該有的性質(zhì)·元素與集合的關(guān)系：xA，xA·集合之間的關(guān)系 只有包含或者不包含 若對(duì)于任意元素xA，xB則A包含于B（證明就用這個(gè)方法），A是B的子集（AB則為B的真子集） 包含的特殊情況相等：A=B就是A包含于B同時(shí)B包含于A(yíng) 真子集：A包含于B但AB·集合的運(yùn)算 單個(gè)元素的冪集2X 對(duì)于一個(gè)集合X，它的冪集2X表示所有其子集為元素構(gòu)

2、成的集合。這種以集合為元素的集合，也叫集合族。 兩個(gè)集合的運(yùn)算 交：AB=x| xA且xB 并：AB=x| xA或xB 差：AB（或?qū)懗葾-B）=x| xA且xB 補(bǔ)：AC=UA（U是問(wèn)題要研究的全集） 于是有等式AB=ABC 積：（直積）A×B=(x,y)| xA且yB （把A、B中元素構(gòu)成有序?qū)Γ?多個(gè)元素的運(yùn)算 多個(gè)交IA表示所有以為角標(biāo)的集合的并，要求I，I稱(chēng)為指標(biāo)集。 類(lèi)似有多個(gè)并 注：可以是無(wú)窮個(gè) 【例】An=x| x>1n，A=x| x>0，則A=n=1An·集合的分析相關(guān)性質(zhì)上限集：一列集合An，定義上限集為n=1k=nAk。類(lèi)似于數(shù)列的上極限。

3、下限集：一列集合An，定義下限集為n=1k=nAk。類(lèi)似于數(shù)列的下極限。集合列的極限：當(dāng)上限集等于下限集時(shí)極限存在，就是上限集（或下限集）。單調(diào)集合列：若始終有An包含于A(yíng)n+1，也就是集合越來(lái)越大，則為遞增集合列；反之，若始終有An+1包含于A(yíng)n ，則為遞減列。 若An為遞增列，則有極限limnAn=n=1An；若為遞減列，則有l(wèi)imnAn=n=1An。1.2映射·定義：X、Y是兩個(gè)集合，對(duì)任意xX，存在唯一的y=f(x)Y與之對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)法則f為X到Y(jié)的一個(gè)映射，記為f:XY。像集：對(duì)于X的一個(gè)子集A，像集f(x)| xA記為f(A)，顯然包含于Y原像集：對(duì)于Y的一個(gè)子集B，原像

4、集x| xA且f(x)B 記為f-1(B) ·滿(mǎn)射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像 單射：X中不同元素一定對(duì)應(yīng)Y中不同的像 雙射：既是單射又是滿(mǎn)射。雙射是一一對(duì)應(yīng)的映射。·逆映射：對(duì)于雙射，建立一種Y到X的雙射，將像映射到原像上。記為f-1:YX·復(fù)合映射：f:XY，g:YZ，它們的復(fù)合g o f:XZ，寫(xiě)成g(f(X)·函數(shù)，一個(gè)Rn（n維實(shí)數(shù)向量）到R（實(shí)數(shù)）上的映射·性質(zhì)（映射與交并運(yùn)算順序可交換性）對(duì)于f:XY，X若干個(gè)子集A，Y若干個(gè)子集Bf(UA)=Uf(A)f-1B=f-1B f(A)包含于（只有這一個(gè)不一定等于?。ゝ(A)不

5、等于的例子：A=1 ，B=-1，f(x)=|x|，則f(AB)f(A) f(B)f-1B=f-1B用集合相等定義可證明。1.3集合的勢(shì)·對(duì)等：如果集合A和B之間可以建立雙射，則A對(duì)等于B。記為AB 性質(zhì)：A到B有單射A與B子集對(duì)等 A到B有滿(mǎn)射B與A子集對(duì)等 AB，BC，則AC（傳遞性） AC，BD，則A×BC×D 判定：（康托伯恩斯坦定理）若集合X與Y的一個(gè)真子集對(duì)等而且Y與X的一個(gè)真子集對(duì)等，則XY·基數(shù)：有限個(gè)元素的集合為元素個(gè)數(shù)。·勢(shì)：若兩個(gè)集合對(duì)等，則定義它們的勢(shì)相等。在有限個(gè)元素的情況下，勢(shì)就是基數(shù)。 無(wú)限個(gè)元素的情況下，定義自然數(shù)

6、集的勢(shì)是0（阿列夫0）。A的勢(shì)用|A|表示。·若A與B的一個(gè)子集對(duì)等，則|A|B|，若與B的真子集對(duì)等，則|A|<|B|1.4可數(shù)集·可數(shù)集：與自然數(shù)集對(duì)等的稱(chēng)為可列集，元素有限的集合和可列集統(tǒng)稱(chēng)可數(shù)集。·性質(zhì)：任何無(wú)窮集合都包含可列子集 可數(shù)集的子集還是可數(shù)集 兩個(gè)可數(shù)集的交、并還是可數(shù)集 可數(shù)集和可數(shù)集的直積還是可數(shù)集·定理：有理數(shù)集是可列集，實(shí)數(shù)不是可列集。（有理數(shù)可列證明就把每一個(gè)有理數(shù)p/q映射到(p,q)點(diǎn)，則有理數(shù)和Z×N對(duì)等。實(shí)數(shù)不可列證明方法有多種，可用閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、十進(jìn)制小數(shù)展開(kāi)等方法） 定義實(shí)數(shù)的勢(shì)是c

7、=1·定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn)集是可數(shù)集。 證明思路：不妨設(shè)單調(diào)遞增。間斷點(diǎn)x0左右必有界，否則不單調(diào)。f(x0-0)和f(x0+0)之間必有有理數(shù)rx0，而且x0不同的話(huà)每個(gè)區(qū)間(f(x0-0),f(x0+0)不會(huì)相交，否則不單調(diào)。所以間斷點(diǎn)和有理數(shù)子集rx0建立雙射，是可數(shù)的。·不可數(shù)集性質(zhì)：一個(gè)集合子集不可數(shù)，則它不可數(shù) A不可數(shù)，B可數(shù)，則AAUB 2.n維歐式空間極其簡(jiǎn)單的性質(zhì)2.1定義·向量與運(yùn)算：（略）這部分詳見(jiàn)線(xiàn)性代數(shù)或者解析幾何書(shū)定義的向量及運(yùn)算（加、減、模、內(nèi)積）、距離等。·一些常用的集合：開(kāi)球：B(x,r)（以x為球心，r為半徑的球內(nèi)

8、部）就是yRn|d(x,y)<r（d(x,y)是x、y的距離）閉球：上面改為d(x,y)r有界集：包含于一個(gè)開(kāi)球的集合。2.2分析相關(guān)的概念·點(diǎn)列的極限點(diǎn)：xk在k趨于時(shí)與定點(diǎn)x的距離趨向于0，則x為xk極限點(diǎn)。·聚點(diǎn)和導(dǎo)集：若對(duì)于xk，點(diǎn)x0為圓心的任何開(kāi)球內(nèi)都有無(wú)數(shù)個(gè)xk中的點(diǎn)，則x0為xk聚點(diǎn)。一個(gè)集合A的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合叫A的導(dǎo)集，記為A。若x0A且不是A的聚點(diǎn)則為A的孤立點(diǎn)，孤立點(diǎn)集記為AA。注：聚點(diǎn)未必屬于集合，比如0,1所有有理數(shù)構(gòu)成的集合聚點(diǎn)是0,1中所有數(shù)，包括無(wú)理數(shù)。但是定義孤立點(diǎn)屬于集合。定理：若x0是點(diǎn)集A的聚點(diǎn)，則A中存在一個(gè)點(diǎn)列趨向x0。

9、·內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)（記為AO）：存在一個(gè)以它為球心有一個(gè)開(kāi)球包含在A(yíng)中邊界點(diǎn)（記為A）：以它為圓心有一個(gè)所有開(kāi)球不包含在A(yíng)中，但都有A中的點(diǎn)（用幾何圖像很好理解）定理：AA=AA（用集合相等的定義證出） A=AO(AA)（用幾何圖像很好理解）·閉包A的閉包定義為A與A的并。稱(chēng)A在A(yíng)的閉包中稠密。（閉包在幾何圖像上可以理解為一個(gè)圖形加上它的邊界組成的封閉圖形）有若干性質(zhì)，略2.3 n維歐式空間中的集合·閉集：閉包等于自己的集合。 開(kāi)集：閉集的補(bǔ)集。·閉集性質(zhì)：有限個(gè)閉集并還是閉集，任意個(gè)閉集交還是閉集。無(wú)限個(gè)閉集并可能是開(kāi)集，比如n=11n,1-1n=(0

10、,1)開(kāi)集類(lèi)似：有限個(gè)開(kāi)集交還是開(kāi)集，任意個(gè)開(kāi)集并還是開(kāi)集。·F集和G集。F集：可數(shù)個(gè)閉集的并。G集：可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交。性質(zhì)：F集的補(bǔ)集是G集注意：一個(gè)集合有可能既是G集又是F集！比如半開(kāi)半閉區(qū)間。·與矩體的關(guān)系矩體：若干個(gè)R上的區(qū)間直積。半開(kāi)半閉矩體就是若干個(gè)前開(kāi)后閉區(qū)間的直積。性質(zhì)：開(kāi)集一定是可列個(gè)互不相交的半開(kāi)半閉矩體的并。·康托集C。開(kāi)始是0,1區(qū)間，然后挖掉中間的三分之一開(kāi)區(qū)間得到0,1/3U2/3,1，再把每個(gè)區(qū)間挖掉中間1/3的開(kāi)區(qū)間，如此往復(fù)，無(wú)數(shù)次的極限就是康托集?？低屑瘜?duì)應(yīng)三進(jìn)制小數(shù)0.XXXXX中只有0,2數(shù)字，沒(méi)有1數(shù)字的小數(shù)。（這個(gè)結(jié)論可以

11、從每次區(qū)間的端點(diǎn)都保留在集合里來(lái)得到）性質(zhì)：康托集是非空有界閉集。勢(shì)是1。 是完全集C=C。 沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)。·代數(shù)和博雷爾集代數(shù)：設(shè)F是X的一些子集構(gòu)成的集合，而且F；若AF則XAF；若一列集合AnF，則n=1AnF。則稱(chēng)F是X的一個(gè)代數(shù)。博雷爾集：n維歐式空間的一切開(kāi)集的最小代數(shù)中的集合。2.4 連續(xù)函數(shù)·定義：設(shè)f是集合E上面的實(shí)值函數(shù)，若對(duì)任一點(diǎn)x0E，任何>0，均存在，使得xBx0時(shí)|f-f(x0)|< ，則f為E上連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與微積分中一元函數(shù)類(lèi)似，不詳述。·特殊判定方法：對(duì)于任何tR，x| f>t，xE(記為E(f>t)是

12、開(kāi)集，則f在E上連續(xù)。大于號(hào)可換為大于等于、小于、小于等于。若R任意開(kāi)集在f的原像是開(kāi)集，則f在E上連續(xù)?！伴_(kāi)集”可換為“閉集”。2.5 n維歐式空間的完備性定理有柯西收斂準(zhǔn)則、閉集套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)原理，類(lèi)似于R的情況，不詳細(xì)敘述。3.勒貝格測(cè)度3.1勒貝格外側(cè)度 勒貝格測(cè)度的定義·開(kāi)矩體的體積n維歐式空間中的開(kāi)矩體I=(x1,x2xn)|x1a1,b1,x2a2,b2xn(an,bn)= a1,b1×a2,b2××(an,bn)（(an,bn)都是R中的開(kāi)區(qū)間）定義它的體積|I|=|a1-b1|×|a2-b2|××

13、;|an-bn|·勒貝格外側(cè)度對(duì)于任意n維歐式空間的集合E，總有可數(shù)個(gè)開(kāi)矩體可以將其覆蓋。定義E外側(cè)度為可數(shù)個(gè)覆蓋它的開(kāi)矩體體積和的下確界，記為m*(E)。性質(zhì)：非負(fù)性：m*(E)0平移不變性：m*(E)= m*(E+x)，E+x為把集合E向右平移x。子集的外側(cè)度：若E1包含于E2，則m*(E1)m*(E2)集合的并的外側(cè)度：n維歐式空間中，m*(k=1Ek)k=1m*(Ek)一些集合外側(cè)度的例子：m*()=0單個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合外側(cè)度為0?？蓴?shù)集的外側(cè)度是0定義：外側(cè)度為0的集合稱(chēng)為零測(cè)集。平面（2為歐式空間）上的任意直線(xiàn)外側(cè)度為0（即直線(xiàn)面積是0）開(kāi)矩體與它的閉包外側(cè)度相等，都等于它

14、的體積。（而且還等于有一部分邊界的矩體的外側(cè)度）·可測(cè)集 勒貝格測(cè)度可測(cè)集：如果對(duì)于一個(gè)n維歐式空間中的集合E，任意n維歐式空間中的集合T，都有m*(T)= m*(ET)+ m*(ECT)，則稱(chēng)E為可測(cè)集。n維歐式空間中的所有可測(cè)集的全體記為M(Rn)。理解：就是用任意一個(gè)集合T去“檢驗(yàn)”這個(gè)E，與E相交的部分外側(cè)度和E以外部分的外側(cè)度加起來(lái)還等于原來(lái)T的外測(cè)度，那么E就是一個(gè)“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，這樣的集合E叫做可測(cè)集。這個(gè)概念不要記錯(cuò)注1：不可測(cè)集一定是存在的，但是要舉出不可測(cè)集的例子非常麻煩，要有很多鋪墊，所以略去。注2：條件可以減弱，只要把任意集合T換成

15、任意開(kāi)矩體I成立即可。證明略。·可測(cè)集例子：零測(cè)集可測(cè)，顯然測(cè)度為0開(kāi)矩體可測(cè)·勒貝格測(cè)度：當(dāng)一個(gè)集合E是可測(cè)集的時(shí)候，它的外側(cè)度定義為它的勒貝格測(cè)度，簡(jiǎn)稱(chēng)測(cè)度，記為m(E)。·可測(cè)集族M(Rn)是n維歐式空間上的代數(shù)空集可測(cè)若E可測(cè)，則EC可測(cè)若一列集合An可測(cè)，則n=1An可測(cè)·勒貝格測(cè)度的性質(zhì)可列可加性：若一列可測(cè)集合An兩兩不交，則mn=1An=n=1m(An)上連續(xù)：若遞增集合列An都可測(cè)則mlimAnn=limnm(An)下連續(xù)：若遞減集合列An都可測(cè)，而且A1測(cè)度有限，則mlimAnn=limnm(An)注：A1無(wú)測(cè)度無(wú)限時(shí)候不一定成立，比

16、如An=(n,+)，limAnn=但是對(duì)任意n，m(An)=+注：康托集可測(cè)，測(cè)度為0。（證明很容易，因?yàn)榭低屑且恍﹨^(qū)間的極限）故測(cè)度為0的集合不一定可數(shù)，康托集不可數(shù)卻測(cè)度為0。·可測(cè)集的性質(zhì)若E是可測(cè)集，則任給>0存在一個(gè)開(kāi)集G包含E，且m(E/F)<若E是可測(cè)集，則任給>0存在一個(gè)閉子集F且m(E/F)<證明思路：分情況討論（有界與無(wú)界）證明，有界時(shí)用定義的開(kāi)矩體證明，無(wú)界時(shí)En=EB(0,n)，開(kāi)集Gn包含En且差集測(cè)度任意小，G=n=1Gn。對(duì)于取補(bǔ)集再用證。若E是可測(cè)集，則存在G包含E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè)G集稱(chēng)為E的G包。若E是可測(cè)集，則存在

17、F包含于E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè)F集稱(chēng)為E的F核。證明較簡(jiǎn)單，用直接證。取=1/n構(gòu)造集合列。3.2 測(cè)度的公理化定義 概率·測(cè)度空間設(shè)X是非空集，F(xiàn)是X上的代數(shù)，若存在把F子集映射為非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù) ，滿(mǎn)足： ()=0；若F中集合列An兩兩不交，就有 n=1An=n=1 (An)則稱(chēng)為(X,F)上的一個(gè)測(cè)度，稱(chēng)(X,F,)為一個(gè)測(cè)度空間。很容易驗(yàn)證勒貝格測(cè)度滿(mǎn)足上述性質(zhì)，故是一個(gè)特殊的測(cè)度。性質(zhì)單調(diào)性：若A包含于B則(A)(B)次可加性：(k=1Ek)k=1(Ek)上、下連續(xù)性（同勒貝格測(cè)度）·概率若上述測(cè)度還滿(mǎn)足(F)=1，則稱(chēng)為一個(gè)概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱(chēng)概率，記為P。上述集合

18、X記為，稱(chēng)為樣本空間，實(shí)際表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合；內(nèi)的元素為基本事件。概率滿(mǎn)足測(cè)度的所有性質(zhì)。在下面的討論中不涉及一般測(cè)度空間的性質(zhì)，只涉及勒貝格測(cè)度和少量概率的相關(guān)問(wèn)題。4.勒貝格可測(cè)函數(shù)4.1 廣義實(shí)數(shù)·將±看成兩個(gè)數(shù)加入實(shí)數(shù)系中，稱(chēng)為廣義實(shí)數(shù)。定義±的性質(zhì)和運(yùn)算任意實(shí)數(shù)x，-<x<+略（若干符合直觀(guān)意義的運(yùn)算，比如+(+)= +等加減乘除運(yùn)算）無(wú)意義的運(yùn)算+-(+)、±÷±（0×±有意義，規(guī)定為0，為了今后證明的方便）·廣義實(shí)值函數(shù)把n維歐式空間的點(diǎn)映射到廣義實(shí)數(shù)的函數(shù)。4.2 可測(cè)

19、函數(shù)·定義：對(duì)于可測(cè)集E上定義的函數(shù)f，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，E(f>t)是可測(cè)集，則稱(chēng)f在E上可測(cè)。E可測(cè)函數(shù)全體記為M(E)。還有一些等價(jià)定義，即把上述大于號(hào)改成大于等于、小于、小于等于都等價(jià)。注：概率論中的“隨機(jī)變量”實(shí)際上就是樣本空間上對(duì)于概率測(cè)度來(lái)說(shuō)的可測(cè)函數(shù)。而上述的可測(cè)函數(shù)是n維歐式空間中相對(duì)于勒貝格測(cè)度而言的。定理：可測(cè)集上定義的連續(xù)函數(shù)可測(cè)。 可測(cè)集上的指示函數(shù)E可測(cè)。（E即E上恒為1，其余為0的函數(shù)） R上的單調(diào)函數(shù)可測(cè)。 E若為零測(cè)集則E上任何函數(shù)可測(cè)。 a,b上定義的間斷點(diǎn)集為零測(cè)集的函數(shù)可測(cè)。性質(zhì)：f為E上可測(cè)函數(shù)，則E(f=±)、E(f<

20、;)均可測(cè)。 若f在集合列Ei上可測(cè)，則f在i=1Ei上也可測(cè)。·函數(shù)正負(fù)部正負(fù)部概念：對(duì)于函數(shù)f，定義f+=maxf,0（要是f大于零則為f，小于零則為0），f-=max-f,0。定理：f可測(cè)則f+、f-可測(cè)。·簡(jiǎn)單函數(shù)：設(shè)E是可測(cè)集，對(duì)于E的有限個(gè)可測(cè)子集E1、E2Em上定義的指示函數(shù)E1Em的線(xiàn)性組合x(chóng)=i=1miEi稱(chēng)為簡(jiǎn)單函數(shù)。性質(zhì)：可測(cè)函數(shù)可以表示成若干個(gè)兩兩不交子集上指示函數(shù)之和。 簡(jiǎn)單函數(shù)可測(cè)。 對(duì)于任意一個(gè)有界非負(fù)可測(cè)函數(shù)f，都存在一個(gè)可簡(jiǎn)單函數(shù)列n一致收斂到f。任意有界可測(cè)函數(shù)可以劃分為負(fù)部和正部，分別用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近則非負(fù)條件可以去掉。注：直觀(guān)上面好理解

21、，將有界函數(shù)值域每次二等分，然后每個(gè)值域區(qū)間可以對(duì)應(yīng)到一個(gè)定義域子集Ei，Ei上面定義最大值的常數(shù)函數(shù)（只是函數(shù)的實(shí)數(shù)倍）代替，劃分次數(shù)越多越接近f。·可測(cè)函數(shù)四則運(yùn)算設(shè)f、g是兩個(gè)各自定義域上的可測(cè)函數(shù)，E0為使得它們作下面運(yùn)算有意義的集合則cf（c是常數(shù)）、f+g、fg、f/g均在各自的E0上為可測(cè)函數(shù)。證明思路：cf可測(cè)顯然；對(duì)于f+g用f+g>t等價(jià)于任意有理數(shù)r，f>r且g>t-r；對(duì)于fg先證f2可測(cè)，再用fg=(f+g)2-(f-g)24 來(lái)做；f/g只證1/g可測(cè)。4.3 可測(cè)函數(shù)列·極限的可測(cè)性對(duì)于一列E上的可測(cè)函數(shù)fk，supfk、inffk均可測(cè)進(jìn)而fk上下極限都可測(cè)。·幾乎處處成立的命題：指在集合E上，除去零測(cè)集E0以外，其他地方處處成立的命題（若E0=則處處成立），記為a.e.E。注：一個(gè)函數(shù)幾乎處處等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，未必幾乎處處連續(xù)，反例是狄利克雷函數(shù)。由于有理數(shù)集可數(shù)所以有理數(shù)集測(cè)度為0，狄利克雷函數(shù)幾乎處處等于0。但是狄利克雷函數(shù)不但不是幾乎處處連續(xù)，而且是處處都不連續(xù)。·可測(cè)函數(shù)列的三種收斂fk在E上幾乎處處收斂到f，記為fkf