同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)-第四版3-1節(jié)中值定理ppt課件

1、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理 一、羅爾定理一、羅爾定理 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理三、柯西中值定理 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、羅爾(Rolle)定理)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放

2、暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運(yùn)動(dòng)在變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速瞬時(shí)速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回證證.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時(shí)時(shí)在在端端點(diǎn)點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba

3、 使使內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在),()( fxf, 0)()( fxf上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回注意注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的的一一切切條條件件滿滿足足羅

4、羅爾爾定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)(2-2 xf使使內(nèi)找不到一點(diǎn)能內(nèi)找不到一點(diǎn)能，但在區(qū)間但在區(qū)間;0, 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例1 1.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1

5、xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回二、拉格朗日(Lagrange)中值定理)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫(xiě)寫(xiě)成成上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行

6、于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線ba上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(

7、abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回,),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則則有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫(xiě)寫(xiě)成成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增

8、量公式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推論推論.)(,)(上上是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)恒恒為為零零在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxf上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例3 3.)1ln(

9、1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回三、柯西(Cauchy)中值定理上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該

10、點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).

11、()()( fabafbf上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證分析分析: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè), 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)

12、返回返回四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回思考題思考題 試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件缺一不可缺一不可.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回思考題解答思考題解答 1, 310,)(21xxxxf

13、不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可微的條件；不滿足在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可微的條件；以上兩個(gè)都可說(shuō)明問(wèn)題以上兩個(gè)都可說(shuō)明問(wèn)題.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè))4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_個(gè)根，它們分別在區(qū)間個(gè)根，它們分別在區(qū)間_上上. .3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的

14、 關(guān) 系 是羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是_._.4 4、 微分中值定理精確地表達(dá)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的微分中值定理精確地表達(dá)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的_與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的_之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .5 5、 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)上的導(dǎo)數(shù)_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù). .練練 習(xí)習(xí) 題題上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回二、試證明對(duì)函數(shù)二、試證明對(duì)函數(shù)rqxpxy 2應(yīng)用拉氏中值定理應(yīng)用拉氏中值定理 時(shí)所求得的點(diǎn)時(shí)所求得的點(diǎn) 總是位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間

15、 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設(shè)四、設(shè)0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 x，exex . .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回六六、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù))(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)且有的某鄰域內(nèi)且有n階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)， 且且)0()0()0()1( nfff試用柯西中值定理試用柯西中值定理 證明：證明：!)()()(nxfxxfnn ， （， （10 ）. . 七七、設(shè)、設(shè))(xf在在 ba, 內(nèi)上連續(xù)，在內(nèi)上連續(xù)，在( (ba,)