雙曲線知識點(diǎn)及題型總結(jié)

1、雙曲線知識點(diǎn)及題型總結(jié)1雙曲線定義:到兩個定點(diǎn)Fi與F2的距離之差的絕對值等于定長(V |FiF2| )的點(diǎn)的軌跡 (|PF,PF2| 2a F1F2 ( a為常數(shù))這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn).要注意兩點(diǎn)：(i)距離之差的絕對值.(2) 2av |FiF2|,這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不冋當(dāng)|MFi|-|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點(diǎn) F2所對應(yīng)的一支；當(dāng)|MFi|MF2|= 2a時，曲線僅表示焦點(diǎn) Fi所對應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|FiF21時，軌跡是一直線上以 Fi、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a> | FiF2|時，動點(diǎn)軌跡不存在.動點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線I的距離之比是常數(shù)

2、 e(e> I)時，這個動點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線 I叫做雙曲線的準(zhǔn)線2 2 2 22. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：篤y2I和 篤篤i (a > 0,b> 0).這里b2 c2a2，其中|片卩2|=20abab要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.293. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果x項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個問題：正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解

3、.5.曲線的簡單幾何性質(zhì)x2b2=i (a>0, b>0)范圍：|x|> a, y R對稱性：關(guān)于 x、y軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱頂點(diǎn)：軸端點(diǎn) Ai ( a, 0), A2 ( a, 0)漸近線：yM iM2PFAiKi Fo K2A2 F22 2若雙曲線方程為 x2 與 Ia b22x y漸近線方程2 0a b若漸近線方程為 y雙曲線可設(shè)為2x2a2若雙曲線與2x2a2占 i有公共漸近線，可設(shè)為b2a22Lb2(0，焦點(diǎn)在x軸上,0 ,焦點(diǎn)在y軸上）特別地當(dāng)a b時 離心率e . 2兩漸近線互相垂直，分別為y= x，此時雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)為x2 y2bb；y= x,

4、 y= x aa（什么是共軛雙曲線?）準(zhǔn)線：li ：x=a212： x=焦半徑:PFiPF2當(dāng)焦點(diǎn)在e(x2e(- x)c2a2a，兩準(zhǔn)線之距為 K1K22 -ccex a ,（點(diǎn)p在雙曲線的右支上ex a ,（點(diǎn)P在雙曲線的右支上y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）2x與雙曲線a2 y b21共漸近線的雙曲線系方程是2y_b20)a )；a);2x與雙曲線x2a2 y b21共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是x2a2 k2 y b26曲線的內(nèi)外部點(diǎn)P（xo,yo）在雙曲線2 x 2 a1(a0,b0）的內(nèi)部2Yqb21.點(diǎn)P（xo,y。）在雙曲線2 x 2 a2 y_ b21(a0,b0）的外部2X。2a

5、yb21.7曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系（1 ）若雙曲線方程為2x2a2y_b2漸近線方程:2 x 2 a2 y_ b2（2）若漸近線方程為b 0雙曲線可設(shè)為2x2a2若雙曲線與務(wù)a在y軸上）2 y b21有公共漸近線，可設(shè)為2x2a2y_b20，焦點(diǎn)在x軸上,8雙曲線的切線方程2x(1)雙曲線冷a2y_b2x°xy°y1(a0,b 0)上一點(diǎn)P(xo,y。)處的切線方程是 違 號 1.a b(2)過雙曲線2x2a221(a0,b0)外一點(diǎn)P(x°,y°)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是bx°x y°yb21.2(3)雙曲線篤a2b 1(a

6、2 20,b0)與直線Ax By C 0相切的條件是 A a9線與橢圓相交的弦長公式AB 7(xxf(yy2p若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB , A、B兩點(diǎn)分別為A(Xi, yi)、ABB(X2,y2),則弦長1 k2X2 xi 2 2,(1 k )(xi X2)4x1x21 y2 yi1(1 k2) (yiy2)2 4yiy2，這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想;高考題型解析題型一：雙曲線定義問題1“ ab<0 ”是“曲線ax2+ by2=1為雙曲線”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件2若k R，則“23 ”是“方程k 32y

7、1表示雙曲線”的()k 3A.充分不必要條件B.必要不充分條件.C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2 23給出問題：Fi、的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上若點(diǎn)P到焦點(diǎn)Fi的距離等于9，求點(diǎn)F2是雙曲線=11620P到焦點(diǎn)F2的距離某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長為 8,由|PFi| |PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上4.過雙曲線x2-y2=8的左焦點(diǎn)Fi有一條弦PQ在左支上，若| PQ=7 , F2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則 PFQ的周長 是題型二：雙曲線的漸近線問題2 21雙曲線冷

8、-計的漸近線方程是（）3A. y=± 2x=± 2x=± 4x2過點(diǎn)（2,2X- =14B.-2 2y xC. =142D.=1x22）且與雙曲線兀-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是（題型三：雙曲線的離心率問題1已知雙曲線孑 住=1 （a > 0,b > 0）的左右焦點(diǎn)分別為=4 I PF2 I ,則此雙曲線的離心率e的最大值為F1、F2,點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且C.22已知F1, F2是雙曲線2 2 芻缶1,（aa bABF2是正三角形，那么雙曲線的離心率為（）b 0）的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于X軸的直線與雙曲線的左支交B. 3C. 2D. 32

9、 x3過雙曲線M:2y_b2B. 52x5已知雙曲線a1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線I，若 I與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于M的離心率是 （）10c.-4在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為2，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為廳，則該雙曲線的離心率為（）A.B. 2C . 2D. 2222告 1 （a>0,b<0）的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只bA(1,2)B(1,2)C.2,+ g)D.(2,+ g)有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是題型四：雙曲線的距離問題2 21設(shè)P是雙曲線 篤-=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x 2y=0, Fi、F2

10、分別是雙曲線的左、a 9右焦點(diǎn)若|PFi|=3，則|PF2|等于()或52 22已知雙曲線 1的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此直線124斜率的取值范圍是A.(-'3 -73B.(-V3 V3)C.D. -3,33已知圓C過雙曲線距離是.x2216=1的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的題型五：軌跡問題1.已知橢圓x2+2y2 =8的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2, A為橢圓上任一點(diǎn)。 AP是"AF1F2的外角平分線，且AP F2P=0.則點(diǎn)P的軌跡方程是 2雙曲線x2- y2 =4的兩焦點(diǎn)分別為F、F2，A為雙曲線上任一點(diǎn)。A

11、P是/ F1AF2的平分線，且 APF2P=0. 則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.圓的一部分D.拋物線的一部分2 2 2 23求與圓(x 3) y 1及(x 3) y9都外切的動圓圓心的軌跡方程 ”高考例題X21已知FF2是雙曲線y2PF, QF, PQ的值為(，則1的左、右焦點(diǎn)，P、Q為右支上的兩點(diǎn)，直線PQ過F2,且傾斜角為C 2、2D隨的大小變化)2 22過雙曲線2x y 2 0的右焦點(diǎn)作直線I交曲線于A、B兩點(diǎn)，若AB 4則這樣的直線存在( )A 0條B 1條C 2條D 3條3.直線y1-X5與曲線x|x2y1的交點(diǎn)個數(shù)是()3925A 0個B 1個C2個D 3

12、個2 24. P為雙曲線 篤 每 1上一點(diǎn)，F(xiàn)i為一個焦點(diǎn)，以PF,為直徑的圓與圓x2 y2 a2的位置關(guān)系為 a b( )A 內(nèi)切 B 外切 C 內(nèi)切或外切D 無公共點(diǎn)或相交25.設(shè)Fi，F(xiàn)2是雙曲線Xy24( )1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF290，則 PF1F2的面積為2X26.設(shè)FF2是雙曲線y4( )1的左、右焦點(diǎn),P在雙曲線上，當(dāng) F1PF2的面積為1時,PF1 PF2的值為1B 1CD 2227過點(diǎn)A( 0，2)可以作條直線與雙曲線 x2止=1有且只有一個公共點(diǎn)4x2 y2過點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線礦9 = 1只有一個交點(diǎn)的直線有()A . 1條B . 2條C. 3條

13、28.已知A ( 3, 2) , M是雙曲線 H x23此時M的坐標(biāo)。1上的動點(diǎn),F2是H的右焦點(diǎn)，求| AM-|MF2的最小值及221)，一條長為8的弦AB兩端在C上運(yùn)動，AB中點(diǎn)為M，則距y9.已知雙曲線C: x21(x3為雙曲線x2備=1右支上一點(diǎn),15軸最近的M點(diǎn)的坐標(biāo)為。JyA1M !A-t- MOB1Ti BxM、N 分別是圓(x + 4)2+ y2= 4 和(x 4)2 + y2= 1 上的點(diǎn)，則|PM| |PN|的最大值為11直線I2y kx 1與雙曲線C： 2x2y 1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。(I)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(n)是否存在實(shí)數(shù) k，使得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過

14、雙曲線 C的右焦點(diǎn)F?若存在，求出k的值。若 不存在，說明理由。12已知兩定點(diǎn)FJ 邁,0), F2(2,0),滿足條件 與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。uuvuuvPF2PF12的點(diǎn)P的軌跡是曲線 E，直線y= kx 1(I)求艮的取值范圍;uuvuuv luuv(n)如果 AB 6J3,且曲線E上存在點(diǎn)C,使OAuuyOBuuuvmOC,求m的值和 ABC的面積S。練習(xí)題1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為2為-2，則此雙曲線的方程是()3F(.7 , 0)，直線y=x 1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2 2A. £ r=1 B342x_4丄=1 C32x_52 2D. 

15、3; 工=1252.雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)為M，兩個焦點(diǎn)為Fi、F2,/ F1MF2=120°,則雙曲線的離心率為()A. .3 B.工 C.23D.3匸=1 ( a> 0, b> 0)3、已知雙曲線蘭a2 b22 (o為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為(的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A , OAF的面積為A . 30oB. 45oC. 60oD . 90o4、已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F, .5,0),F2 ( - 5,0) , P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1 PF2 ,2x 2C.y42D. x214|PFi |?| PF2 | 2，則該雙曲線的方程是2 2 2 2a

16、. y_ 1 b . x_ i_ 123322 25、已知F1、F2是雙曲線 冷 再 1(a a b的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是(0,b0)的兩焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作正三角形 MF1F2，若邊MFiC.亠26.直線y= x+ 3與曲線手42冷日的交點(diǎn)的個數(shù)是(A) 0 個(B)1 個(C) 2 個(D)3 個7若雙曲線x2 y2=l右支上一點(diǎn)P(a, b)到直線y=x的距離是2 ，貝U a+ b的值為()1(A)(B)21 1(C)或(D)2 或22 22 28已知點(diǎn)F是雙曲線與雙曲線交于 A、B兩點(diǎn)，若 ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率x2 2= 1(a>0, b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線a be的取值范圍是()A . (1,+s )B. (1,2)C. (1,1 + 2)D . (2,1 + , 2)2 29設(shè)P為雙曲線 二y = 1上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn) M的軌跡方程是 .410求與圓A: (x+5) 2+y2=49和圓B: (x 5)