高數(shù)下知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題常見(jiàn)類(lèi)型題型1求向量的坐標(biāo)、模、方向角、方向余弦、數(shù)量積、向量積題型2由已知條件求平而與直線(xiàn)方程題型3計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)及髙階偏導(dǎo)數(shù)題型4求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)題型5求方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)題型6求方向?qū)?shù)、梯度、曲線(xiàn)的切線(xiàn)、曲而的切平而題型7求極值、利用拉格郎日乘數(shù)法求最值題型8利用直角坐標(biāo)il算二重積分題型9利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分題型10計(jì)算帶絕對(duì)值的二重積分題型11利用二重積分證明恒等式題型12利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)計(jì)算二重積分題型13 只有一種積分次序可計(jì)算的積分解：（將二次積分交換順序）題型14利用投影法計(jì)算三重積分題型15利用柱坐標(biāo)il算三重積分題型16利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

2、題型17利用切片法計(jì)算三重積分題型18利用三重積分計(jì)算立體的體積題型19計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分題型20計(jì)算對(duì)而積的曲而積分題型21計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分題型22利用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分題型23曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)及全微分求積題型24計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲而積分題型25利用髙斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分題型26可分離變量的微分方程、齊次方程題型27階線(xiàn)性微分方程題型29可降階方程題型30二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向.記作d或人萬(wàn)a = axi + avj + a.k = (ax ,av,az) y = Prjxa9ay

3、 = prjya.az = prjza模向量a的模記作al«l=72+<+«z2和差bc =a+bc =abc =a+b =q ±bx.ax ±ba: ±億單位向呈“HO,則=各 H(ax.ay,az)a "/+色2+町方向余弦設(shè)"與軸的夾角分別為a，0，/» 則方向余弦分別為COS a, COS0, COS/cos a =ea =(cocos2 a+(a,a J4亠 COS/7 = , COS/ = T aaaSOS COS0, cos/):os2/7 + cos2/ = 1點(diǎn)乘（數(shù)呈積）=&為向量

4、“與的夾角ab = axbx+ayby+azbz叉乘（向呈積） c =axb|c| = ”料 sin &&為向量a與b的夾角 向量c與“，b都垂直a xb =iJkJx «y 冬N X兀定理與公式垂直a 丄b oab = 0« ±/> <=>axbx=0平行a lib= 0“o"x _"y _az 嘰% bz交角余弦/ h兩向量夾角余弦COS& = T-rr-r maxbx +a.bvCOS0- j二_? ' _ax +ay2 +az . Jb： +bv2 +bz2投影向量“在非零向量“上的投影

5、 pM" = |"|cos（“） =獸PE" =/ 2 . 2F平面直線(xiàn)法向量死= 4,C 點(diǎn) Af0(x0,y0,z0)方向向雖:T = mjt,p點(diǎn)/（©。，兒心）方程堀稱(chēng)方程形式及特征方程名稱(chēng)方程形式及特征一般式Ax+ By+Cz. + £) = 0一般式VAxx+ Bxy + Cxz + Dx = 0A2x+ B2y + C2z + D2 = 0點(diǎn)法式A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = O點(diǎn)向式x-心 _ y-y0 _ z 5 mnp三點(diǎn)式xxx y-y zZ| 兀2 一曲 J2-J1 G-Z 心一小兒一X Z3

6、-Z|=0參數(shù)式<x = x0 + mt y = >!o + m Z = Zo + pt截距式x y z . -+-=1 a b c兩點(diǎn)式“一心 _ y - j(> _ z-zo “-X。 Ji-Jo Z|Z°而而垂直£ A2 + 5 民 +C| C2 = 0線(xiàn)線(xiàn)垂直mni2 +/7|7z2 + pp2 = 0而面平行A _ _i_ _G 線(xiàn)線(xiàn)平行“ _ n _ p、 m2 n2 p2線(xiàn)面垂直A _ 3 _ C m n p線(xiàn)而平行Am + Bn + Cp = 0點(diǎn)而距離Mg, y0, z()Ax+By + Cz + D = O而而距離Ax + By + C

7、z + DOAx + By + Cz. + D2=0_Ax0 + By0 + Cz.o + D yjA2+B2+C22 + b2+c2而而夾角線(xiàn)線(xiàn)夾角線(xiàn)而夾角方嚴(yán)人,久卬方2= AdCjSS? =加29畀2“2s = mji.p n=A. B.C2 一1 仏+ B屈+CQjAj + Bj+Cj.Jk+B'+C?帆加2+W+P1P2Icosy =(,_=、b"； + h； + p； + p；1/1/7? + Bn + Cpsin y.丄一丁_.=ytA2 + B' +C' , +/?2 + p1空間曲線(xiàn)r:<(X = 0(" y = wQ z =

8、 a<t<p)切向量亍=（0仇），0'（心），少（r。）打吩"古嚴(yán)X 兀_ V - y0 _ Z - 5 切線(xiàn)方租必。）一心廠(chǎng)叫）法平“面”方程：0仏）（x -心）+ 曠（心）（y - 兒）+ 0«J（z - z°） = 0y =(pM<< =屮(x)切向量亍=(1,(px), f(x)切峻方程:工心_兒_10（心）0（"）法平“面”方程：(X - X。) + 0(兀0)(y -)b)+ </(x°Xz - z°) = 0空間曲面y.iF(x,)，,z) = O法向量"=（耳（無(wú),0 &

9、#39;乙0 ）, F丫（X。, y。 乙。）» F& （如,乙。）切平“面”方程：巴（?！眱?，z（J（x - x0） + Fx（xo,yo, z0）（y- y0）+Ego，Zo）（Z-Zo）= O法“線(xiàn)“方程:兀一心_y-.Vo_z-勺F* (x()> )'o, z°)F、(x0, j'o Zq ) Fz (x0, y?Q, z()Z = f(x,y)力=（一£（心九）, 一人 g,b）,l） 或斤= （£CWo），人（兀0，兒），j）切平“面”方程：fX （兀0 ' Jo ）（ X - 入）+ fy （X。，兒）

10、（丿一兒）一 （Z - Z o ） = o法“線(xiàn)“方程：兀一必_y->0 _Z-Zo/aUoOo）人（Xo，）b）j第十章重積分重積分積分類(lèi)型計(jì)算方法典型例題二重積分D平面薄片的質(zhì) 量質(zhì)量二而密度X而積(1)利用直角坐標(biāo)系X型jj f(x, y)dxdy = £ “打；：f(x, y)dyY型JJ/(x, y)dxdy =/(x, y)dxP141-例 1.例 3（2）利用極坐標(biāo)系使用原則（1）積分區(qū)域的邊界曲線(xiàn)易于用極坐標(biāo)方程表示（含圓弧，直線(xiàn)段）：（2）被積函數(shù)用極坐標(biāo)變疑表示較簡(jiǎn)單（含（x2 + r）a, &為實(shí)數(shù)）0兀 o Xjj f （pcos 0. p si

11、n 0）pdpdOD=d0f（pcQsO.psn0）pdpJ ClJ 鈣（&十 r=似 Q）C°37”02 i0<<9<2/r0<0</r7r<0<27rP147例 5（3）利用積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，（關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，有類(lèi)似結(jié)論）P141-例 2 應(yīng)用該性質(zhì)更方便I = <o/(x,y)對(duì)于X是奇函數(shù)，BP/(-x,y)=-/(x, y) 2JJ /(x,刃dxdy /(x,刃對(duì)于x是偶函數(shù),即/(一 x, y) = /O,刃 9是DW右半部分計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)1.畫(huà)出積分區(qū)域2選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域

12、邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3確泄積分次序 原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙 k確定積分限方法：圖示法 先積一條線(xiàn)，后掃積分域5計(jì)算要簡(jiǎn)便注意：充分利用對(duì)稱(chēng)性，奇偶性三重積分 / =z)dv Q空間立體物的 質(zhì)量質(zhì)量二密度X面積'投影法楓T截面法昨 Iff /(x, _y, z,)dV = f 叫：:呱;:：f(x, y,沁 nP159例 1P160例 2(2)利用柱面坐標(biāo)相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直)適用范圍： 積分區(qū)域表而用柱而坐標(biāo)話(huà) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示HJJ打(x,y,Z)d 八fdzjjdGx = rcosOy = / sin 0z = z自坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成

13、極坐標(biāo)良示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如旋轉(zhuǎn)體寸變量易分離如f(x2 + y2)f(x2 +分)&J ° /(pcos psin 0, z)pdpP161-例 3(3)利用球面坐標(biāo)C適用范圍：積分域表而用球而坐標(biāo)亍被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表亍C<x> 浄 ”、(&.©)x = pcos 0 = r sin cos 0y = psin 0 = rsinsinZ = r cos (piv =廠(chǎng) sin (pdrdcpdO曼示時(shí)方程簡(jiǎn)單:如，球體，錐體. 尺時(shí)變量易分離.如，/(x2 + y2+z2) sin °cos d psin 0sin 0, pcos(p)

14、p2 sin (pdpP16510-(1)(4)利用積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線(xiàn)積分與曲面積分曲線(xiàn)積分與曲面積分積分類(lèi)型計(jì)算方法典型例題第一類(lèi):曲線(xiàn)積分I=f（x,y）ds 曲形構(gòu)件的質(zhì)量 質(zhì)量二線(xiàn)密度X弧長(zhǎng)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1)厶：y =(px)I = £7(卩,0(/)(0 + b 山zc、fx = c>(r)(2)L:i/ = fy(x) Jl + y2 (x)dxx = r(0) cos0(3) r = r(0) (a<0</3) L:<卜= ,(&) sin <9I =/(廠(chǎng)(&)cos&,r(&

15、amp;)sin &)&迪)+ 嚴(yán)(O)d0P189-例 1P190-3平面第二類(lèi)曲線(xiàn)積分/ = J Pdx+ Qdy變力沿曲線(xiàn)所做的功（J） 養(yǎng)數(shù)滋（轉(zhuǎn)化為左積分）厶:（/單調(diào)地從©到#）卜= 0（。£ p曲+Qdy=，卩炒+a©,肖a）“'a）燦P196-例 1、 例2、例3、 例4（2）利 條件：（結(jié)論：j應(yīng)用：，1 用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）DL封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平而區(qū)域D） 丹,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)Pdx+0心=JJ （譽(yù)-舟）止詢(xún)"滿(mǎn)足條件直接應(yīng)用有瑕點(diǎn)，挖洞不是封閉曲線(xiàn)，添加軸助線(xiàn)P205 例 4P

16、214-5( 1)(4)（3）利用路徑無(wú)關(guān)定理（特殊路徑法）等價(jià)條件：強(qiáng)=竺Pclx+Qdy = 0dx SyJL £ Pdx+ Qdy與路徑無(wú)關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān) Pdx+ Qcfy具有原函數(shù)“（x, y）（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）P211-例 5、 例6、例7(4)兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系/ = J Pdx+ Qdy =cosa+ Qcos/3)ds空間第二類(lèi)曲線(xiàn)積分/ = Pdx+Qdy+Rdz變力沿曲線(xiàn)所做的功（）參憑滋（轉(zhuǎn)化為定積分）戶(hù)厶+如'+/?邊=鬥鎖/）¥（/）,。（/）爐（/） + 0卩（/）¥（/）,°（/）就+dt（2）

17、利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類(lèi)曲而積分） 條件：L封閉，分段光滑，有向P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論:(t)P240-例 1f PdxTZ應(yīng)用：*-Qdy + Rdz網(wǎng)衛(wèi)必+(化叭如浮-詢(xún) dy dzdz oxdx dy"滿(mǎn)足條件直接應(yīng)用不是封閉曲線(xiàn)，添加軸助線(xiàn)第一類(lèi)曲面積分/=jj/(x, y, zylv 曲面薄 Z片的質(zhì)量質(zhì)量二面密度X面積投影法X : Z = z(x, y)投影到人oy面/= JJ /(兒 x zm = J /(X, y, z(x, y)x)'l + £ + zdxdy 2 %類(lèi)似的還有投影到y(tǒng)oz而和3X而的公式P217 例 1、 例2第

18、二類(lèi)曲面積分/ = |j Pdydz + Qdz(lx+RdxdyL流體流向曲面一側(cè)的流 量(1)投影法 j| Pdydz=± p(x(y, z),y, z)dydz.E%E : z = z(xy y), 了為工的法向量與x軸的夾角 前側(cè)取"+”，cos/>0；后側(cè)取 “一”，cos/<0 j|* Qdzdx = ±jj p(x, y(x, z),zkdxEDyiE : y = y(x, z), 0為為的法向量與y軸的夾角 右側(cè)取 “+”，cos0>O；左側(cè)取 “一”，cos0<O j Qdxdy = ±jj Q(x, y, z(x, y)lxdyz%E : x = a(> z), a為工的法向量與x軸的夾角 上側(cè)取cosa>0：下側(cè)取 “一”，coscr<0P226-例 2(2)高 條件：C結(jié)論：j應(yīng)用：V斯公式右手法則取左工的側(cè)1)封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域G的外側(cè) 少P, Q, R