高數(shù)下知識點

1、高等數(shù)學(xué)下冊習題常見類型題型1求向量的坐標、模、方向角、方向余弦、數(shù)量積、向量積題型2由已知條件求平而與直線方程題型3計算一階偏導(dǎo)數(shù)及髙階偏導(dǎo)數(shù)題型4求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)題型5求方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)題型6求方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線、曲而的切平而題型7求極值、利用拉格郎日乘數(shù)法求最值題型8利用直角坐標il算二重積分題型9利用極坐標計算二重積分題型10計算帶絕對值的二重積分題型11利用二重積分證明恒等式題型12利用對稱性質(zhì)計算二重積分題型13 只有一種積分次序可計算的積分解：（將二次積分交換順序）題型14利用投影法計算三重積分題型15利用柱坐標il算三重積分題型16利用球坐標計算三重積分

2、題型17利用切片法計算三重積分題型18利用三重積分計算立體的體積題型19計算對弧長的曲線積分題型20計算對而積的曲而積分題型21計算對坐標的曲線積分題型22利用格林公式計算對坐標的曲線積分題型23曲線積分與路徑無關(guān)及全微分求積題型24計算對坐標的曲而積分題型25利用髙斯公式計算對坐標的曲面積分題型26可分離變量的微分方程、齊次方程題型27階線性微分方程題型29可降階方程題型30二階常系數(shù)非齊次線性方程第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運算的幾何表達在直角坐標系下的表示向量有大小、有方向.記作d或人萬a = axi + avj + a.k = (ax ,av,az) y = Prjxa9ay

3、 = prjya.az = prjza模向量a的模記作al«l=72+<+«z2和差bc =a+bc =abc =a+b =q ±bx.ax ±ba: ±億單位向呈“HO,則=各 H(ax.ay,az)a "/+色2+町方向余弦設(shè)"與軸的夾角分別為a，0，/» 則方向余弦分別為COS a, COS0, COS/cos a =ea =(cocos2 a+(a,a J4亠 COS/7 = , COS/ = T aaaSOS COS0, cos/):os2/7 + cos2/ = 1點乘（數(shù)呈積）=&為向量

4、“與的夾角ab = axbx+ayby+azbz叉乘（向呈積） c =axb|c| = ”料 sin &&為向量a與b的夾角 向量c與“，b都垂直a xb =iJkJx «y 冬N X兀定理與公式垂直a 丄b oab = 0« ±/> <=>axbx=0平行a lib= 0“o"x _"y _az 嘰% bz交角余弦/ h兩向量夾角余弦COS& = T-rr-r maxbx +a.bvCOS0- j二_? ' _ax +ay2 +az . Jb： +bv2 +bz2投影向量“在非零向量“上的投影

5、 pM" = |"|cos（“） =獸PE" =/ 2 . 2F平面直線法向量死= 4,C 點 Af0(x0,y0,z0)方向向雖:T = mjt,p點/（©。，兒心）方程堀稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式Ax+ By+Cz. + £) = 0一般式VAxx+ Bxy + Cxz + Dx = 0A2x+ B2y + C2z + D2 = 0點法式A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = O點向式x-心 _ y-y0 _ z 5 mnp三點式xxx y-y zZ| 兀2 一曲 J2-J1 G-Z 心一小兒一X Z3

6、-Z|=0參數(shù)式<x = x0 + mt y = >!o + m Z = Zo + pt截距式x y z . -+-=1 a b c兩點式“一心 _ y - j(> _ z-zo “-X。 Ji-Jo Z|Z°而而垂直£ A2 + 5 民 +C| C2 = 0線線垂直mni2 +/7|7z2 + pp2 = 0而面平行A _ _i_ _G 線線平行“ _ n _ p、 m2 n2 p2線面垂直A _ 3 _ C m n p線而平行Am + Bn + Cp = 0點而距離Mg, y0, z()Ax+By + Cz + D = O而而距離Ax + By + C

7、z + DOAx + By + Cz. + D2=0_Ax0 + By0 + Cz.o + D yjA2+B2+C22 + b2+c2而而夾角線線夾角線而夾角方嚴人,久卬方2= AdCjSS? =加29畀2“2s = mji.p n=A. B.C2 一1 仏+ B屈+CQjAj + Bj+Cj.Jk+B'+C?帆加2+W+P1P2Icosy =(,_=、b"； + h； + p； + p；1/1/7? + Bn + Cpsin y.丄一丁_.=ytA2 + B' +C' , +/?2 + p1空間曲線r:<(X = 0(" y = wQ z =

8、 a<t<p)切向量亍=（0仇），0'（心），少（r。）打吩"古嚴X 兀_ V - y0 _ Z - 5 切線方租必。）一心廠叫）法平“面”方程：0仏）（x -心）+ 曠（心）（y - 兒）+ 0«J（z - z°） = 0y =(pM<< =屮(x)切向量亍=(1,(px), f(x)切峻方程:工心_兒_10（心）0（"）法平“面”方程：(X - X。) + 0(兀0)(y -)b)+ </(x°Xz - z°) = 0空間曲面y.iF(x,)，,z) = O法向量"=（耳（無,0 &

9、#39;乙0 ）, F丫（X。, y。 乙。）» F& （如,乙。）切平“面”方程：巴（?！眱海瑉（J（x - x0） + Fx（xo,yo, z0）（y- y0）+Ego，Zo）（Z-Zo）= O法“線“方程:兀一心_y-.Vo_z-勺F* (x()> )'o, z°)F、(x0, j'o Zq ) Fz (x0, y?Q, z()Z = f(x,y)力=（一£（心九）, 一人 g,b）,l） 或斤= （£CWo），人（兀0，兒），j）切平“面”方程：fX （兀0 ' Jo ）（ X - 入）+ fy （X。，兒）

10、（丿一兒）一 （Z - Z o ） = o法“線“方程：兀一必_y->0 _Z-Zo/aUoOo）人（Xo，）b）j第十章重積分重積分積分類型計算方法典型例題二重積分D平面薄片的質(zhì) 量質(zhì)量二而密度X而積(1)利用直角坐標系X型jj f(x, y)dxdy = £ “打；：f(x, y)dyY型JJ/(x, y)dxdy =/(x, y)dxP141-例 1.例 3（2）利用極坐標系使用原則（1）積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示（含圓弧，直線段）：（2）被積函數(shù)用極坐標變疑表示較簡單（含（x2 + r）a, &為實數(shù)）0兀 o Xjj f （pcos 0. p si

11、n 0）pdpdOD=d0f（pcQsO.psn0）pdpJ ClJ 鈣（&十 r=似 Q）C°37”02 i0<<9<2/r0<0</r7r<0<27rP147例 5（3）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性當D關(guān)于y軸對稱時，（關(guān)于x軸對稱時，有類似結(jié)論）P141-例 2 應(yīng)用該性質(zhì)更方便I = <o/(x,y)對于X是奇函數(shù)，BP/(-x,y)=-/(x, y) 2JJ /(x,刃dxdy /(x,刃對于x是偶函數(shù),即/(一 x, y) = /O,刃 9是DW右半部分計算步驟及注意事項1.畫出積分區(qū)域2選擇坐標系標準：域

12、邊界應(yīng)盡量多為坐標軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離3確泄積分次序 原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙 k確定積分限方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5計算要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性三重積分 / =z)dv Q空間立體物的 質(zhì)量質(zhì)量二密度X面積'投影法楓T截面法昨 Iff /(x, _y, z,)dV = f 叫：:呱;:：f(x, y,沁 nP159例 1P160例 2(2)利用柱面坐標相當于在投影法的基礎(chǔ)上直)適用范圍： 積分區(qū)域表而用柱而坐標話 被積函數(shù)用柱面坐標表示HJJ打(x,y,Z)d 八fdzjjdGx = rcosOy = / sin 0z = z自坐標轉(zhuǎn)換成

13、極坐標良示時方程簡單；如旋轉(zhuǎn)體寸變量易分離如f(x2 + y2)f(x2 +分)&J ° /(pcos psin 0, z)pdpP161-例 3(3)利用球面坐標C適用范圍：積分域表而用球而坐標亍被積函數(shù)用球面坐標表亍C<x> 浄 ”、(&.©)x = pcos 0 = r sin cos 0y = psin 0 = rsinsinZ = r cos (piv =廠 sin (pdrdcpdO曼示時方程簡單:如，球體，錐體. 尺時變量易分離.如，/(x2 + y2+z2) sin °cos d psin 0sin 0, pcos(p)

14、p2 sin (pdpP16510-(1)(4)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計算方法典型例題第一類:曲線積分I=f（x,y）ds 曲形構(gòu)件的質(zhì)量 質(zhì)量二線密度X弧長參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1)厶：y =(px)I = £7(卩,0(/)(0 + b 山zc、fx = c>(r)(2)L:i/ = fy(x) Jl + y2 (x)dxx = r(0) cos0(3) r = r(0) (a<0</3) L:<卜= ,(&) sin <9I =/(廠(&)cos&,r(&

15、amp;)sin &)&迪)+ 嚴(O)d0P189-例 1P190-3平面第二類曲線積分/ = J Pdx+ Qdy變力沿曲線所做的功（J） 養(yǎng)數(shù)滋（轉(zhuǎn)化為左積分）厶:（/單調(diào)地從©到#）卜= 0（。£ p曲+Qdy=，卩炒+a©,肖a）“'a）燦P196-例 1、 例2、例3、 例4（2）利 條件：（結(jié)論：j應(yīng)用：，1 用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）DL封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平而區(qū)域D） 丹,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)Pdx+0心=JJ （譽-舟）止詢"滿足條件直接應(yīng)用有瑕點，挖洞不是封閉曲線，添加軸助線P205 例 4P

16、214-5( 1)(4)（3）利用路徑無關(guān)定理（特殊路徑法）等價條件：強=竺Pclx+Qdy = 0dx SyJL £ Pdx+ Qdy與路徑無關(guān)，與起點、終點有關(guān) Pdx+ Qcfy具有原函數(shù)“（x, y）（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）P211-例 5、 例6、例7(4)兩類曲線積分的聯(lián)系/ = J Pdx+ Qdy =cosa+ Qcos/3)ds空間第二類曲線積分/ = Pdx+Qdy+Rdz變力沿曲線所做的功（）參憑滋（轉(zhuǎn)化為定積分）戶厶+如'+/?邊=鬥鎖/）¥（/）,。（/）爐（/） + 0卩（/）¥（/）,°（/）就+dt（2）

17、利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲而積分） 條件：L封閉，分段光滑，有向P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論:(t)P240-例 1f PdxTZ應(yīng)用：*-Qdy + Rdz網(wǎng)衛(wèi)必+(化叭如浮-詢 dy dzdz oxdx dy"滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲線，添加軸助線第一類曲面積分/=jj/(x, y, zylv 曲面薄 Z片的質(zhì)量質(zhì)量二面密度X面積投影法X : Z = z(x, y)投影到人oy面/= JJ /(兒 x zm = J /(X, y, z(x, y)x)'l + £ + zdxdy 2 %類似的還有投影到y(tǒng)oz而和3X而的公式P217 例 1、 例2第

18、二類曲面積分/ = |j Pdydz + Qdz(lx+RdxdyL流體流向曲面一側(cè)的流 量(1)投影法 j| Pdydz=± p(x(y, z),y, z)dydz.E%E : z = z(xy y), 了為工的法向量與x軸的夾角 前側(cè)取"+”，cos/>0；后側(cè)取 “一”，cos/<0 j|* Qdzdx = ±jj p(x, y(x, z),zkdxEDyiE : y = y(x, z), 0為為的法向量與y軸的夾角 右側(cè)取 “+”，cos0>O；左側(cè)取 “一”，cos0<O j Qdxdy = ±jj Q(x, y, z(x, y)lxdyz%E : x = a(> z), a為工的法向量與x軸的夾角 上側(cè)取cosa>0：下側(cè)取 “一”，coscr<0P226-例 2(2)高 條件：C結(jié)論：j應(yīng)用：V斯公式右手法則取左工的側(cè)1)封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域G的外側(cè) 少P, Q, R