概率高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)資料

1、高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題25：概率【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】本章內(nèi)容分為概率初步和隨機(jī)變量?jī)刹糠?第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn).第二部分包括隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的期望與方差.涉及的思維方法：觀察與試驗(yàn)、分析與綜合、一般化與特殊化.主要思維形式有：邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維.【例題】【例1】 已知甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率分別為0.7和0.8 （1）如果每人各投籃一次，求甲、乙兩人中至少一人進(jìn)球的概率； （2）如果兩人比賽，各投籃2次，求甲戰(zhàn)勝乙的概率解：設(shè)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃進(jìn)球分別記為事件，則為獨(dú)立事件 （1） 或

2、（2）甲戰(zhàn)勝乙有1比0、2比0、2比1三種情形， 【例2】 排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，A、B兩隊(duì)每局比賽獲勝的概率都相等且分別為和.（1）前2局中B隊(duì)以2:0領(lǐng)先，求最后A、B隊(duì)各自獲勝的概率；（2）B隊(duì)以3:2獲勝的概率解：（1）設(shè)最后A獲勝的概率為設(shè)最后B獲勝的概率為（2）設(shè)B隊(duì)以3:2獲勝的概率為【例3】 如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P

3、2.解：記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.(1)因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648(2)系統(tǒng)N2正常工作的概率P2=P(A)·1P()=P(A)·1P()P()=0.80×1(10.90)(10.90)=0.792故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792【例4】 有A、B兩個(gè)箱子，A箱中有6張相同的卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2

4、；B箱中有7張相同的卡片，其中四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，現(xiàn)從A箱中任取1張，從B箱中任取2張，共3張卡片。求：（1）3張卡片都寫有0的概率；（2）3張卡片中數(shù)字之積為0的概率。解：（1）（2）【例5】 袋里裝有35個(gè)球，每個(gè)球上都標(biāo)有從1到35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼n的球重（克）這些球以等可能性（不受重量的影響）從袋里取出（1）如果任意取出一球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率；（2）如果同時(shí)任意取出二球，試求它們重量相同的概率解：（1）由不等式得n15，n3，由題意知n1，2，或n16，17，35于是所求概率為（2）設(shè)第n號(hào)與第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，其中nm，則有，所以，因?yàn)閚m，所以nm

5、15，（n，m）（1，14），（2，13），（7，8），但從35個(gè)球中任取兩個(gè)的方法數(shù)為，故所求概率為【例6】 已知：有6個(gè)房間安排4個(gè)旅游者住，每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住房間是等可能的，試求下列各事件的概率：（）事件A：指定的4個(gè)房間各有1人；（）事件B：恰有4個(gè)房間各有1人；（）事件C：指定的某個(gè)房間有2人。解：由于每人可進(jìn)住任1房間，進(jìn)住哪間房是等可能的，每人都有6種等可能的方法，根據(jù)乘法原理，4人進(jìn)住6個(gè)房間共有64種方法 （1）指定的4個(gè)房間各有1人，有種方法， （2）從6間中選出4間有種方法，4個(gè)人每人去1間有種方法，（3）從4人中選2個(gè)人去指定的某個(gè)房間，共有種選法，余下2人每

6、人都可去5個(gè)房間中的任1間,因而有52種種方法?！纠?】 一個(gè)電路中有三個(gè)電子元件，它們接通的概率都是m（0m1如圖，有如下三種聯(lián)接方法： （1）分別求出這三種電路各自接通的概率；（2）試分析這三種電路哪種性能最優(yōu)，并證明你的結(jié)論.解：（1）三種電路各自接通分別記為事件A1、A2、A3，則P（A1）=m3P（A2）=1（1m）3=3m3m2+m3P（A3）=2（1m）m2+m3=2m2m3（2）P（A2）P（A1）=3m3m2=3m（1m） 0m1 P（A2）P（A1）P（A2）P（A3）=2m35m2+3m=m（2m3）（m1）0 P（A2）P（A3）三個(gè)電子元件并聯(lián)接通的概率最大，故性能最

7、優(yōu)【例8】 某廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品按每盒10件進(jìn)行包裝，每盒產(chǎn)品均需檢驗(yàn)合格后方可出廠質(zhì)檢辦法規(guī)定：從每盒10件A產(chǎn)品中任抽4件進(jìn)行檢驗(yàn)，若次品數(shù)不超過(guò)1件，就認(rèn)為該盒產(chǎn)品合格；否則，就認(rèn)為該盒產(chǎn)品不合格已知某盒A產(chǎn)品中有2件次品（1）求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率；（2）若對(duì)該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn)，求兩次檢驗(yàn)得出的結(jié)果不一致的概率解：(1)從該盒10件產(chǎn)品中任抽4件，有等可能的結(jié)果數(shù)為種，其中次品數(shù)不超過(guò)1件有種，被檢驗(yàn)認(rèn)為是合格的概率為(2)兩次檢驗(yàn)是相互獨(dú)立的，可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 因兩次檢驗(yàn)得出該盒產(chǎn)品合格的概率均為， 故“兩次檢驗(yàn)得出的結(jié)果不一致”即兩次檢驗(yàn)中恰有一次是合格的概率為答：該盒產(chǎn)

8、品被檢驗(yàn)認(rèn)為是合格的概率為；兩次檢驗(yàn)得出的結(jié)果不一致的概率為【例9】 某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班. 若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖.（例如：ACD算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最??；（2）若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN. 因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線ACDB中遇到堵車的概率P1為=11P（

9、AC）1P（CD）1P（DB）=1；同理：路線ACFB中遇到堵車的概率P2為1P（路線AEFB中遇到堵車的概率P3為1P（顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小.只可能在以上三條路線中選擇.因此選擇路線ACFB，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小.（2）路線ACFB中遇到堵車次數(shù)可取值為0，1，2，3.答：路線ACFB中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為【例10】 某電器商經(jīng)過(guò)多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列如下：12312P設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每臺(tái)每月需花保養(yǎng)費(fèi)用100元，問(wèn)電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自

10、己月平均收益最大？解：設(shè)x為月初電器商購(gòu)進(jìn)的冰箱臺(tái)數(shù)，只須考慮1x12的情況，設(shè)電器商每月的收益為y元，則y是隨機(jī)變量的函數(shù)且y=,電器商平均每月獲益的平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望為：Ey=300x(Px+Px+1+P12)+300100(x1)P1+2×300100(x2)P2+300(x1)100Px1=300x(12x+1)+ 300×=(2x2+38x)由于xN,故可求出當(dāng)x=9或x=10時(shí)，也即電器商月初購(gòu)進(jìn)9臺(tái)或10臺(tái)電冰箱時(shí)，收益最大.【例11】 袋中裝有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中任取3個(gè)球，設(shè)為所取出的3個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)（I）求的概率分布；（II）求E解：（I）的可

11、能取值為0，1，2，3. P（0）；P（1）；P（2）；P（3）. 的分布列為：0123P（II）E0×1×2×3×. 【例12】 甲，乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員射擊的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)。他們的這次成績(jī)畫成頻率直方分布圖如下： 擊中頻率 擊中頻率0.30.20.150.350.27 8 9 10 擊中環(huán)數(shù) 7 8 9 10 擊中環(huán)數(shù)甲 乙（1）根據(jù)這次比賽的成績(jī)頻率直方分布圖推斷乙擊中8環(huán)的概率，以及求甲，乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率；（2）根據(jù)這次比賽的成績(jī)估計(jì)甲，乙誰(shuí)的水平更高（即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰(shuí)大

12、）.解（1）由圖可知，所以=10.20.20.35=0.25 同理， ，所以因?yàn)?所以甲，乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率P=0.65×0.55=0.3575(2) 因?yàn)?7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7> 所以估計(jì)甲的水平更高. 【例13】 有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下：10，154 30，359 15，205 35，408 20，2510 40，453 25，3011(1)列出樣本

13、的頻率分布表(含累積頻率)；(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖.解：(1)由所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得如下頻率分布表數(shù)據(jù)段10,1515,2020,2525,3030,3535,4040,45總計(jì)頻數(shù)45101198350頻率0.080.100.200.220.180.160.061累積頻率0.080.180.380.600.780.941(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：【概率練習(xí)】一、選擇題1、甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為( )2、已知隨機(jī)變量的分布列為：P(=k)=,k=1,2,3,則P(3+5)等于(

14、)A.6 B.9 C.3 D.4二、填空題3、1盒中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品，每次取1個(gè)產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)的期望E=_.4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個(gè)班中選出4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，這4人恰好來(lái)自不同組別的概率是_.三、解答題5、甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.6、已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)f(x)=(1)求常數(shù)a的值，并畫出的概率密度曲線；(2)求P(1）.7、設(shè)P在0,5上隨機(jī)地取值，求方程x2+px+=0有實(shí)根

15、的概率.參考答案一、1.解析：設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.故目標(biāo)被擊中的概率為1P(··)=1答案：A2.解析：E=(1+2+3)·=2，E2=(12+22+32)·=D=E2(E)2=22=.D(3+5)=9E=6.答案：A二、3.解析：由條件知，的取值為0，1，2，3，并且有P(=0)=,答案：0.34.解析：因?yàn)槊拷M人數(shù)為13，因此，每組選1人有C種方法，所以所求概率為P=.答案：三、5.解：(1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做

16、事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件B.顯然事件A、B相互獨(dú)立，所以兩人各射擊一次都擊中目標(biāo)的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36(2)同理，兩人各射擊一次，甲擊中、乙未擊中的概率是P(A·)=P(A)·P()=0.6×(10.6)=0.6×0.4=0.24甲未擊中、乙擊中的概率是P(·B)=P()P(B)=0.24，顯然，“甲擊中、乙未擊中”和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A·與·B互斥，所以恰有一人擊中目標(biāo)的概率是P(A·)