橢圓綜合題中定值定點(diǎn)、范圍問(wèn)題總結(jié)1

1、 橢 圓一、直線與橢圓問(wèn)題的常規(guī)解題方法:1.設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n 的區(qū)別） 2.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”） 3.聯(lián)立方程組； 4.消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單） 5.根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在） “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題” “直角、銳角、鈍角問(wèn)題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問(wèn)題” >0； “等角、角平分、角互補(bǔ)問(wèn)題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問(wèn)題” （如： 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的

2、角度：距離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點(diǎn)共線直線OA與OB斜率相等）； “點(diǎn)、線對(duì)稱問(wèn)題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； “弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問(wèn)題（提醒：注意兩個(gè)面積公式 的 合理選擇）； 6.化簡(jiǎn)與計(jì)算； 7.細(xì)節(jié)問(wèn)題不忽略； 判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線、雙曲線問(wèn)題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.二、基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問(wèn)題：需要找等式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；2、“是否存在”問(wèn)題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解；3、證明定值問(wèn)題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無(wú) 關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法：

3、常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求 出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明，5、 求最值問(wèn)題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、 三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等 式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)； 橢圓中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題 一、常見基本題型： 在幾何問(wèn)題中，有些幾何量和參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成定值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常通過(guò) 取參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三 角式，證明該式是恒

4、定的。 （1）直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題1、已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，直線的方程為， 直線過(guò)P點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)M（-1，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線PN恒過(guò)一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。1、解：直線的方程為，即 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 則，解得 直線的斜率為 從而直線的方程為： 即 從而直線恒過(guò)定點(diǎn) 2、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn)，且，過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢 圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；2、解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ，所以橢圓的方程為 則，設(shè) 則 點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

5、。 （2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)， 設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則 同理可得，則 所以直線AB的斜率為定值。3、已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值.3、 解: 將代入中得 ， ，所以 。4、 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不 過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（）求的最小值；（）若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；橢圓中的取值范圍問(wèn)題一、常見基本題型： 對(duì)于求曲線方程中參數(shù)范圍問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件及曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過(guò)解不等式求得參數(shù)的范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)

6、的值域來(lái)解. （1）從直線和二次曲線的位置關(guān)系出發(fā)，利用判別式的符號(hào)，確定參數(shù)的取值范圍。 5、已知直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于相異兩點(diǎn)A、B， 且，求的取值范圍（2） 利用題中其他變量的范圍，借助于方程產(chǎn)生參變量的函數(shù)表達(dá)式,確定參數(shù)的取值范 圍. 6、已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足 （）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，若，求 直線的斜率的取值范圍.6、解：（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，. 由已知得， 化簡(jiǎn)得，得. 所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，的方程為. （）由題意知，直線的斜率必存在，不妨設(shè)過(guò)的直線的方程為，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.由消去得. 因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以.所以 因?yàn)椋?所以. 解得.(3)利用基

7、本不等式求參數(shù)的取值范圍7、已知點(diǎn)為橢圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求 的取值范圍8.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上.若右焦點(diǎn)到直線的距 離為3.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的 取值范圍. 9. 如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上， 點(diǎn)在上，且滿足的軌跡為曲線.（I）求曲線的方程；（II）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線于不同的兩 點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)之間），且滿足， 求的取值范圍.解：（）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM| 又動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2. 曲線E的方程為 （）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)

8、直線GH方程為得設(shè) ，又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為10、.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一個(gè)頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）對(duì)于軸上的點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍. 11.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng) 為半徑的圓與直線相切（）求橢圓的方程；（）若過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿 足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍橢圓中的最值問(wèn)題一、常見基本題型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn)，且，過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交 橢圓

9、于A、B兩點(diǎn)，求PAB面積的最大值。（2）利用函數(shù)求最值，13.如圖，軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)。 （I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程； （）過(guò)點(diǎn)的切線交曲線 C于A，B兩點(diǎn)，求AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)。 14、已知橢圓.過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓G于A,B兩點(diǎn). 將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.選做1、已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，BC過(guò)橢圓m的中心，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且.求實(shí)數(shù)t的取值范圍2.已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在 上，點(diǎn)在上，

10、且滿足2，·（1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若動(dòng)圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)， 使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由3、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)4.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值

11、范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 參考答案1、解：直線的方程為，即 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 則，解得 直線的斜率為 從而直線的方程為： 即 從而直線恒過(guò)定點(diǎn) 2、解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ，所以橢圓的方程為 則，設(shè) 則 點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為。 （2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)， 設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則 同理可得，則 所以直線AB的斜率為定值。 3、 解: 將代入中得 ， ，所以 。 4、 解：（）由題意:設(shè)直線, 由消y得:, 設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即, 所以中點(diǎn)E的

12、坐標(biāo)為, 因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上， 所以，即， 解得， 所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 即的最小值為2. （）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本€OD的方程為, 所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為, 又因?yàn)?且，所以, 又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為, 即有, 令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無(wú)關(guān), 5、 解：（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)： （2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)與橢圓C交點(diǎn)為 得 （*） ， . 消去，得， 整理得 時(shí)，上式不成立； 時(shí)， ，或 把代入（*）得或 或 綜上m的取值范圍為或。 6、解：（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，. 由已知得， 化簡(jiǎn)得，得. 所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，的方程為. （）由題意知，直線

13、的斜率必存在，不妨設(shè)過(guò)的直線的方程為，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.由消去得. 因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以.所以 因?yàn)椋?所以. 解得.7、 解： ，設(shè)Q（x，y）， ，即，而，186xy18 則的取值范圍是0，36 的取值范圍是6，6 的取值范圍是12，0 8、解：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為，則右焦點(diǎn)由題設(shè)，解得， 故所求橢圓的方程為 （2）設(shè)、，為弦的中點(diǎn)，由得直線與橢圓相交， ，從而，又則：，即，把代入得，解， 由得，解得. 綜上求得的取值范圍是. 9、解：（）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM| 又動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2. 曲線E的

14、方程為 （）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得設(shè) ，又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為10、解：（1）由題意可得， 所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （2）設(shè)，則 且， 由可得，即 由、消去整理得 ， 的取值范圍為. 11、 解：（）由題意知， 所以即 又因?yàn)椋?，故橢圓的方程為 （）由題意知直線的斜率存在.設(shè)：，由得.，. ，.，.點(diǎn)在橢圓上，. ，. ，或，實(shí)數(shù)取值范圍為. 12、解、設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ， 故橢圓方程為 設(shè)AB的直線方程：. 由，得， 由，得P到AB的距離為，則 。 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)， 三角形PAB面積的最大值為。 13、 解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則，所以， 因?yàn)?/p>

15、在圓上，所以 將代入，得點(diǎn)的軌跡方程C的方程為 （）由題意知， 當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為 此時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理可得； 當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為 由得 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則由得： 又由l與圓相切，得即 所以因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2依題意，圓心到直線AB的距離為圓的半徑， 所以面積， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積S的最大值為1， 相應(yīng)的的坐標(biāo)為或者 14、 解：由題意知，. 當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為， 此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，同理可得； 當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為. 由得. 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 又由與圓相切，得，即. 所以 . 由于當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)且當(dāng)時(shí)，.所以

16、|AB|的最大值為2.選做1、 解（1）橢圓m：（2）由條件D（0，2） M（0，t）1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然2<t<2 2°當(dāng)k0時(shí)，設(shè) 消y得由>0 可得 設(shè)則 由 t>1 將代入得 1<t<4t的范圍是（1，4） 綜上t（2，4） 2、解：（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)， 又，或點(diǎn)與點(diǎn)重合 又 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓， 且，的軌跡方程是 (2)解：不存在這樣一組正實(shí)數(shù)，下面證明： 由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)之為，故直線的方程為：，設(shè)，中點(diǎn)，則，兩式相減得：注意到，且 ，則 ， 又點(diǎn)在直線上，代入式得：因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)在所給橢圓內(nèi)，故， 這與矛盾，所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則此時(shí)，代入式得， 這與是