機(jī)械能及其守恒定律

1、第二章 機(jī)械能及其守恒定律第八節(jié) 機(jī)械能守恒定律【知能準(zhǔn)備】1物體由于 而具有的能叫動(dòng)能，動(dòng)能與物體的 及運(yùn)動(dòng)的 有關(guān)。物體由于被 而具有的能叫 ，重力勢(shì)能與物體的 及被舉高的 有關(guān)。物體由于發(fā)生 而具有的能叫彈性勢(shì)能，彈性勢(shì)能與形變的 有關(guān)。2動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為 3機(jī)械能的性質(zhì)：機(jī)械能是 量，具有 性。重力勢(shì)能具有相對(duì)性，所以要取參考平面；動(dòng)能具有相對(duì)性，所以要取參考系。因此只有在選取參考平面和參考系后才可確定物體的機(jī)械能。通常情況下，我們選取地面為參考平面和參考系。4機(jī)械能守恒的條件：只有 或只有 做功；5機(jī)械能守恒定律：在只有 的條件下，物體的動(dòng)能和重力相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。在

2、只有彈力做功的條件下，物體的動(dòng)能和 相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。6機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式： 第一種：+=+從守恒的角度：物體運(yùn)動(dòng)過程中，初狀態(tài)和末狀態(tài) 相等第二種：Ek =-EP 從轉(zhuǎn)化的角度 的增加量等于 減小量第三種: E1=-E2 從轉(zhuǎn)移的角度 的機(jī)械能增加量等于物體2的機(jī)械能的 【同步導(dǎo)學(xué)】1如何判斷機(jī)械能是否守恒（1）對(duì)于某個(gè)物體，若只有重力做功，而其他力不做功，則該物體的機(jī)械能守恒。（2）對(duì)于由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體（包括彈簧在內(nèi)）組成的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)只有重力做功或彈力做功，物體間只有動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)與外界沒有機(jī)械能的轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)內(nèi)部沒有機(jī)械能與其他

3、形式能的轉(zhuǎn)化系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。（3）如果物體或系統(tǒng)除重力或彈力之外還有其他力做功，那么機(jī)械能就要改變。（4）所謂物體只受重力與只有重力做功有什么不同。第一種情況：物體只受重力，不受其他的力。第二種情況：物體除重力外還受其他的力，但其他力不做功。（5）所謂只有彈力做功，包括哪幾種情況？第一種情況：物體只受彈力作用，不受其他的力；第二種情況：物體除受彈力外還受其他的力，但其他的力不做功例1：關(guān)于物體的機(jī)械能是否守恒的敘述，下列說法中正確的是( )A做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，機(jī)械能一定守恒；B做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，機(jī)械能一定守恒；C外力對(duì)物體所做的功等于0時(shí)，機(jī)械能一定守恒；D物體若只有重力做功，機(jī)械

4、能一定守恒。解答：做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體是動(dòng)能不變；勢(shì)能仍可能變化，選項(xiàng)A錯(cuò)；做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，動(dòng)能不斷增加，勢(shì)能仍可能不變，選項(xiàng)B錯(cuò)；外力對(duì)物體所做的功等于0時(shí)，動(dòng)能不變；勢(shì)能仍可能變化，選項(xiàng)C錯(cuò)；機(jī)械能守恒條件是物體只有重力做功或只有彈力做功，D對(duì)。例2：在下列實(shí)例中運(yùn)動(dòng)的物體，不計(jì)空氣阻力，不守恒的是( )A起重機(jī)吊起物體勻速上升，B物體做平拋運(yùn)動(dòng)，C圓錐擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，D一個(gè)輕質(zhì)彈簧上端固定，下端系一重物，重物在豎直方向上做上下振動(dòng)（以物體和彈簧為研究對(duì)象）。解答：起重機(jī)吊起物體勻速上升，動(dòng)能不變勢(shì)能增加，機(jī)械能增加；物體做平拋運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒；圓錐擺球

5、在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沒有力做功，；一個(gè)輕質(zhì)彈簧上端固定，下端系一重物，重物在豎直方向上做上下振動(dòng)，只有重力和彈力做功機(jī)械能守恒。不守恒的是A2-8-1例3：如圖2-8-1所示,一輕質(zhì)彈簧固定于O點(diǎn),另一端系一重物,將重物從與懸掛點(diǎn)等高的地方無初速度釋放,讓其自由擺下,不及空氣阻力,重物在擺向最低點(diǎn)的位置的過程中( )A重物重力勢(shì)能減小 B重物重力勢(shì)能與動(dòng)能之和增大C重物的機(jī)械能不變D. 重物的機(jī)械能減少解答： 物體從水平位置釋放后,在向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),物體的重力勢(shì)能不斷減小,動(dòng)能不斷增大.彈簧不斷被拉長,彈性勢(shì)能變大.所以物體減少的重力勢(shì)能一部分轉(zhuǎn)化為自身的動(dòng)能,另一部分轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)

6、能.對(duì)整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒,而對(duì)重物來說,機(jī)械能減少.答案:AD2、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的步驟：（1）根據(jù)題意選取研究對(duì)象（物體或系統(tǒng)）；（2）分析研究對(duì)象在運(yùn)動(dòng)過程中的受力情況以及各力做功的情況，判斷機(jī)械能是否守恒；（3）確定運(yùn)動(dòng)的始末狀態(tài)，選取零勢(shì)能面，并確定研究對(duì)象在始、末狀態(tài)時(shí)的機(jī)械能；（4）根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出方程進(jìn)行求解注意：列式時(shí)，要養(yǎng)成這樣的習(xí)慣，等式作左邊是初狀態(tài)的機(jī)械能而等式右邊是末狀態(tài)的機(jī)械能，這樣有助于分析的條理性。例4：如圖2-8-2所示，小球用不可伸長的長為L的輕繩懸于O點(diǎn),小球在最低點(diǎn)的速度必需為多大時(shí),才能在豎直平面內(nèi)做完整個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)? 解答：在整個(gè)過程中，小

7、球只受到重力做功,繩中的拉力不做功.所以在整個(gè)過程中小球的機(jī)械能守恒. 設(shè)最低的速度為v,取最低點(diǎn)為零勢(shì)能平面.則2-8-2 最低點(diǎn)的機(jī)械能E1=mv2 小球能夠通過離心軌道最高點(diǎn)，應(yīng)滿足mg小球要在豎直平面內(nèi)完成整個(gè)運(yùn)周運(yùn)動(dòng),在最高點(diǎn)的速度起碼為 則在最高點(diǎn)的機(jī)械能E2=EK+EP=m()2+mg2R 根據(jù)機(jī)械能守恒定律E1=E2 mv2=m()2+mg2R 代入數(shù)據(jù)得v=3機(jī)械能守恒定律在多個(gè)物體組成系統(tǒng)中的應(yīng)用對(duì)單個(gè)物體能用機(jī)械能守恒定律解的題一般都能用動(dòng)能定理解決而且省去了確定是否守恒和選定零勢(shì)能面的麻煩，反過來，能用動(dòng)能定理來解決的題卻不一定都能用機(jī)械能守恒定律來解決，在這個(gè)意義上講

8、，動(dòng)能定理比機(jī)械能守恒定律應(yīng)用更廣泛更普遍。故機(jī)械能守恒定律主要應(yīng)用在多個(gè)物體組成的系統(tǒng)中。例5：如圖2-8-3所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長為4L的水。開始時(shí)閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L。打開閥門K后，左右水面剛好相平時(shí)左管液面的速度是多大？（管的內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計(jì)）解答：由于不考慮摩擦阻力，故整個(gè)水柱的機(jī)械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當(dāng)于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加。該過程中，整個(gè)水柱勢(shì)能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢(shì)能的減少。不妨設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，則，得K2-8-3ABO2-8-4例6：如圖2-8-4

9、所示，質(zhì)量分別為2 m和3m的兩個(gè)小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時(shí)直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求：當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v； B球能上升的最大高度h；開始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度vm。解答：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，由于轉(zhuǎn)動(dòng)過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。過程中A的重力勢(shì)能減少， A、B的動(dòng)能和B的重力勢(shì)能增加，A的即時(shí)速度總是B的2倍。，解得B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，設(shè)該位置比OA豎直位置向左偏了角。2m

10、g2Lcos=3mgL(1+sin)，此式可化簡為4cos-3sin=3，利用三角公式可解得sin(53-)=sin37,=16B球速度最大時(shí)就是系統(tǒng)動(dòng)能最大時(shí)，而系統(tǒng)動(dòng)能增大等于系統(tǒng)重力做的功WG。設(shè)OA從開始轉(zhuǎn)過角時(shí)B球速度最大，=2mg2Lsin-3mgL(1-cos)ABOv1v1/2OABBOA=mgL(4sin+3cos-3)2mgL，解得 【同步檢測(cè)】1在下列物理過程中，機(jī)械能守恒的有（ ）A把一個(gè)物體豎直向上勻速提升的過程B人造衛(wèi)星沿橢圓軌道繞地球運(yùn)行的過程C汽車關(guān)閉油門后沿水平公路向前滑行的過程D從高處豎直下落的物體落在豎直的彈簧上，壓縮彈簧的過程，對(duì)彈簧，物體和地球這一系統(tǒng)

11、。2-8-52如圖2-8-5從離地高為h的陽臺(tái)上以速度v豎直向上拋出質(zhì)量為m的物體，它上升 H后又返回下落，最后落在地面上，則下列說法中正確的是（不計(jì)空氣阻力，以地面為參考面）（ ）A物體在最高點(diǎn)時(shí)機(jī)械能為mg(H+h);B物體落地時(shí)的機(jī)械能為mg(H+h)+ mv2/2C物體落地時(shí)的機(jī)械能為mgh+mv2/2D物體在落回過程中，經(jīng)過陽臺(tái)時(shí)的機(jī)械能為mgh+mv2./2 3.在離地高為H處以初速度v0豎直向下拋一個(gè)小球,若與地球碰撞的過程中無機(jī)械能損失,那么此球回跳的高度為( )A、H+； B、H-； C、； D、。2-8-64如圖2-8-6所示,質(zhì)量為m和3m的小球A和B,系在長為L的細(xì)線兩

12、端,桌面水平光滑,高h(yuǎn)(hm)的小球相連，開始時(shí)，m與平臺(tái)接觸，兩邊繩伸直，然后兩球從靜止開始運(yùn)動(dòng)，M下降，m上升，當(dāng)上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷了，發(fā)現(xiàn)m恰好做平拋運(yùn)動(dòng)，則M是m的多少倍？ 13如圖2-8-21，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑rR，有一質(zhì)量m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圓管，（1）若要小球能從C端出來，初速度v0多大？2-8-21（2）在小球從C端出來的瞬間，對(duì)管壁的壓力有哪幾種典型情況，初速v0各應(yīng)滿足什么條件？ LAOO/2-8-2214如圖2-8-22所示，質(zhì)量為m的小球由長為L的細(xì)繩（質(zhì)量不計(jì)）固定在

13、O點(diǎn)，今將小球水平拉至A點(diǎn)靜止釋放，在O點(diǎn)正下方何處釘一鐵釘O/方能使小球繞O/點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（設(shè)細(xì)繩碰釘子時(shí)無能量損）2-8-2315如圖2-8-23所示，半徑為r，質(zhì)量不計(jì)的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定有一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問：(1)當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少？(2)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？(3)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？16質(zhì)量均為m的物體A和B分別系在一根不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩兩端，繩子跨過固定在傾

14、角為30的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時(shí)把物體B拉到斜面底端，這時(shí)物體A離地面的高度為0.8米，如圖2-8-24所示。若所有摩擦力均不計(jì)，從靜止開始放手，讓它們運(yùn)動(dòng)起來。試求：2-8-24（1）物體A著地前一瞬的速度；（2）物體A著地后，物體B沿斜面上滑的最大距離。 17如圖2-8-25所示，重物A、B、C質(zhì)量相等，A、B用細(xì)繩繞過輕小滑輪相連接，開始時(shí)A、B靜止，滑輪間細(xì)繩長0.6m，現(xiàn)將C物體輕輕掛在MN繩的中點(diǎn)，求：2-8-25(1)C下落多大高度時(shí)速度最大?(2)C下落的最大距離多大?2-8-2618如圖2-8-26所示，跨過同一高度處的光滑滑輪的細(xì)線連接著質(zhì)量相同的物體A和B.A套在光滑的水平桿上，定滑輪離水平桿高度為h=0.2 m.開始讓連A的細(xì)線與水平桿夾角=53，由靜止釋放，在以后的過程中A所能獲得的最大速度為_.(sin53=0.8，cos53=0.6)第八節(jié) 機(jī)械能守恒定律知能準(zhǔn)備答案1、運(yùn)動(dòng) 、 質(zhì)量、速度，舉高、重力勢(shì)能、質(zhì)量、高度，彈性形變、程度2、機(jī)械能3、標(biāo)量、相對(duì)性4、重力、彈力5、重力做功、彈性勢(shì)能6、機(jī)械能、動(dòng)能、重力勢(shì)能、物體1、減小量第八節(jié) 機(jī)