圓錐曲線軌跡及方程求法大全

1、軌跡方程的若干求法求軌跡方程是高考中常見的一類問題本文對曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學們參考.一、直接法直接根據(jù)等量關系式建立方程 例 1 已知點 A(20, B(3,0)，動點 P(X, y)滿足，則點P的軌跡是()A.圓E.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析：由題知 PA=(/_x, _y) , PB=(3_X y),由=X2，得(_2 x)(3 x)y2=X2，即 y2=x 6 , P 點軌跡為拋物線故選D.二、定義法運用有關曲線的定義求軌跡方程.例 2 在厶 ABC 中，BC =24, AC, AB 上的兩條中線長度之和為39，求ABC 的重心的軌跡方程.解：以線段 BC 所在直線為 X

2、 軸，線段 BC 的中垂線為y軸建立直角坐標系，如圖 1,M2為重心，則有 BM：|CM 39 =26.3 M點的軌跡是以 B, C 為焦點的橢圓，其中 c =12, a =13 . - b =#a c =5 .2 2所求ABC 的重心的軌跡方程為 乞=1(y = 0).16925注意：求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.三、轉代法此方法適用于動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題例 3 已知 ABC 的頂點 B(70) C(10)，頂點A在拋物線重心 G 的軌跡方程.3解：設 G(x, y), A(X0, y)，由重心公式，得y y =, L32 2又 A(Xo, yo)在拋物線 y

3、= x 上，/ y=x.將，代入，得 3y=(3x 2)2(y =0)，即所求曲線方程是四、參數(shù)法如果不易直接找出動點的坐標之間的關系，可考慮借助中間變量(參數(shù)) 起來.例 4 已知線段 AA2a，直線 I 垂直平分AA于 O,在 I 上取兩點 P, P，使有向線段2上運動，求ABC 的X0= 3x +2,金二3y 24yx 4x 4(廠 0).，把X, y 聯(lián)系OP,OP 滿足 OPOP：上 4，求直線AP與AP的交點M的軌跡方程.解：如圖 2,以線段AA所在直線為 x 軸，以線段AA的中垂線 為y軸建立直角坐標系.設點 P(0, t)(t =0),則由題意，得P0,4 .由點斜式得直線 A

4、P, AP的方程分別為t4y (x a), y (x a). ata兩式相乘，消去t，得 4x2 a2y2=4a2(y =0) 這就是所求點 M 的軌跡方程.評析：參數(shù)法求軌跡方程，關鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參 的途徑靈活多變五、待定系數(shù)法當曲線的形狀已知時，一般可用待定系數(shù)法解決例 5 已知A,B,D三點不在一條直線上，且(1 )求E點軌跡方程；2)過A作直線交以 A, B 為焦點的橢圓于離為4，且直線 MN 與E點的軌跡相切，求橢圓方程.51 解：(1 )設 E(x, y)，由 AE=(AB+AD)知E為BD中點，易知 D(2x2,2y).2(2)設 M (Xi,

5、yj, N(x2, y2)，中點(心 y).2 2由題意設橢圓方程為 篤=1，直線 MN 方程為 y 二 k(x 2).a a -4直線 MN 與E點的軌跡相切，A(_2,0) , B(2,0)M , N 兩點，線段 MN 的中點到y(tǒng)軸的距又AD=2，貝 U (2x -22)2(2y)2=4 .2 2即E點軌跡方程為 x y =1(y=0)；AE (AB AD). 22klk213=1，解得k =3將 y = (x 2)代入橢圓方程并整理，得4(a2-3)x2 4a2x 16a2-3a0 ,3h X1+X2a x)一2,22(a2-3)2a2(a2-3)又由題意知 x - -4，即5彳，解得a

6、2=8 .故所求的橢圓方程為2 2x-上84殲滅難點訓練、選擇題FI、F2,是橢圓上的一個動點，如果延長 FiP 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,22T T=1的長軸兩個端點，P2是垂直于 A1A2的弦的端點，則直線 A1P1與 A2P2交點的軌跡方程為()2 2x y A.19422xy C.=194二、填空題a.a13 厶 ABC 中，A 為動點，B、C 為定點，B( ,0),C(,0)，且滿足條件 si nC sin B=si nA,222則動點 A 的軌跡方程為4.高為 5 m 和 3 m 的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為 A( 5, 0)、

7、B(5, 0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是三、解答題5.已知 A、B、C 是直線 I 上的三點，且|AB|=|BC|=6,OO切直線 I 于點 A,又過 B、 C 作OO異于 I 的兩切線，設這兩切線交于點P,求點 P 的軌跡方程.2占=1 的實軸為 A1A2,點 P 是雙曲線上的一個動點，弓 IA1Q 丄 A1P , A?Qb丄 A?P, AiQ 與 A2Q 的交點為 Q,求 Q 點的軌跡方程.2 27.已知雙曲線 務-與=1(m 0,n0)的頂點為 A1、A?，與 y 軸平行的直線 I 交雙曲線于m n點 P、Q.(1)求直線 AiP 與 A2Q 交點 M 的軌跡方程;那

8、么動點 Q 的軌跡是(A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線1已知橢圓的焦點是2.設 Ai、A?是橢圓2 2y x B.19422yxD.X26.雙曲線二a當 mzn 時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率2 2X y8已知橢圓 二 牙=1(a b 0),點 P 為其上一點,a bF2為橢圓的焦點，/ F1PF2的外角平分線為 I，點 F2關于 I 的對稱點為Fi、(1)當 P 點在橢圓上運動時，求 R 形成的軌跡方程;設點 R 形成的曲線為 C,直線 I: y=k(x+、2a)與曲線C 相交于 A、B 兩點，當 AOB的面積取得最大值時，求k 的值.參考答案殲滅難點訓練一、1解析：

9、TPFi|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PFi|+|PF2|=|PFi|+|PQ|=2a,即 |F1Q|=2a, 動點 Q 到定點 F1的距離等于疋長 2a,故動 點 Q的軌跡是圓.答案：AP（x,y） ,A1（-3,0）,A2（3,0）, P1（xo,yo）,P2（xo, - yo）/A1、PP共線，y_y =yx Xox 3-A?、P2、P共線，y yoyX X。x -32222解得 xo=-,yo=3y,代入得xo-yo=1,即x-y=12解析：設交點x x9494答案：C11二、3解析：由 sinC sinB=-sinA,得 c- b= a,22a，故方程為216x216

10、y23a2a*4 八答案：16x216y2aa2-3a2=1（x4應為雙曲線一支，且實軸長為4解析：設 P(x,y),依題意有.2= j ”22，化簡得 P 點軌跡方程為(x+5) + yJ(x_5) + y4x +4y 85x+100=0.答案：4x2+4y2 85x+100=0三、5解：設過 B、C 異于 I 的兩切線分別切OO于 D、E 兩點，兩切線交于點 P.由切線的性質知：|BA|=|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC

11、|,故由橢圓定義知，點 P 的軌跡是以 B、C 為兩焦點 的橢圓，以 I 所在的直線為 x 軸，以 BC 的中點為原點，建立坐標系，可求得動點 P 的軌跡2 2方程為+ =l(y* 0)81726.解：設 P(xo,yo) (XM土 a),Q(x,y).T厲(a,0),A2(a,0).222/ 22/Xa 2即 b ( x) a () =ay化簡得 Q 點的軌跡方程為：a2x2 b2y2=a4(xMa).7解：(1)設 P 點的坐標為(xi,yi),則 Q 點坐標為(xi, yi),又有 Ai( m,0),A2(m,0),則 AiP 的方程為：y=yi(x - m)為+mA2Q 的方程為：y=

12、 一/(x-m) xi_m2x得：y2= 2y (x2_m2)xi-m22代入并整理得 %，%=i.此即為 M 的軌跡方程m n當 mMn 時，M 的軌跡方程是橢圓由條件yx -a4 X。ayo1x。- a內=-X(X0 =二a)得tX2a2y。=-y而點 P(xo,yo)在雙曲線上，2 22222b xo a y0= a b .2b2又因點 P 在雙曲線上，故2=i,即卩yi2二出匕/m2).m23：22勒 m _ne=m 2 2鳥 n -me=-nR(xo,yo),Q(xi,yi),Fi( c,0),F2(c,0).2 2 2|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(xg +y1=(2a).為+cx 二 2yo牛得 Xi=2xo c,yi=2yo.2 2 2.2 2 2-(2xo) +(2yo) =(2a),X+yo=a .故 R 的軌跡方程為：x2+y2=a2(yzo).a2如右圖， &AOB= JOA| |OB| sinAOB= sinAOB當/ AOB=90。時，AOB最大值為 丄 a22#此時弦心距|OC|=D2ak |J1 +k2在 Rt AOC 中，/ AOC=45,|OC | | 2ak|2cos45 , k =-|OA| a.223(i)當 mn時，焦點坐標