因數(shù)和倍數(shù)的應(yīng)用

1、第二講 因數(shù)和倍數(shù)的應(yīng)用（一）知識要點基本概念：1、公約數(shù)和最大公因數(shù)幾個數(shù)公有的因數(shù)， 叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)； 其中最大的一個，叫做 這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。例如： 12 的約數(shù)有 1，2，3，4，6，12；30 的因數(shù)有 1，2，3，5，6，10，15，30。12 和 30 的公因數(shù)有 1，2，3，6，其中 6 是 12 和 30 的最 大公因數(shù)。一般地我們用（ a,b ）表示 a,b 這兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)，如（ 12， 30）=6。如果（ a,b ）=1, 則 a,b 兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。2、公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做 這幾個數(shù)的最小公

2、倍數(shù)。例如：12 的倍數(shù)有 12, 24, 36, 48, 60, 72,18 的倍數(shù)有 18, 36, 72, 90,12 和 18 的公倍數(shù)有：36, 72其中 36 是 12 和18 的最小公倍數(shù)。一般地，我們用a,b表示自然數(shù)，a,b 的最小公倍數(shù)，女如12 , 18=36。3、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的求法A. 最大公因數(shù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù)一般有以下幾種方法（1） 分解質(zhì)因數(shù)法（2） 短除法（3） 輾轉(zhuǎn)相除法（4） 小數(shù)縮倍法（5） 公式法 前兩種方法在數(shù)學(xué)課本中已經(jīng)學(xué)過,在這里我們主要介紹輾轉(zhuǎn)相除法。當(dāng)兩個整數(shù)不容易看出公約數(shù)時（一般是數(shù)字比較大） ,我們可以合 用輾轉(zhuǎn)相除法。B.

3、 最小公倍數(shù) 求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法也有以下幾種方法：（1） 分解質(zhì)因數(shù)法（2） 短除法（3）大數(shù)翻倍法（4）axb=（a,b） xa,b上面的公式表示：兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍 數(shù)的乘積。( 二) 例題選講例題 1：用一個數(shù)去除 30、 60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少精彩思路 T要求的數(shù)去除 30、60、75 都能整除，二要求的數(shù)是 30、60、75的公約數(shù)。又T要求符合條件的最大的數(shù)，二就是求 30、60、75 的最大公約數(shù)。 精妙解答 (30, 60, 75) =5X3=15這個數(shù)最大是 15。例題 2：有三根鐵絲， 長度分別是 120 厘米、 180

4、厘米和 300 厘米 .現(xiàn)在要把它們截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最長多少厘米 一共可以截成多少段精彩思路 T要截成相等的小段，且無剩余，二每段長度必是 120、180 和 300的公因數(shù)。又T每段要盡可能長，二要求的每段長度就是 120、180 和 300的最大公因數(shù)。精妙解答 (120, 180, 300) =30X2=60二每小段最長 60 厘米。120-60+180- 60+300-60=2 + 3+ 5=10 (段)例題 3：一次會餐供有三種飲料 .餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了 65 瓶；平均 每 2個人飲用一瓶 A 飲料，每 3 人飲用一瓶 B 飲料，每 4 人飲用一 瓶 C

5、 飲料 .問參加會餐的人數(shù)是多少人精彩思路 :由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是 2、3、4 的公倍數(shù)。 精妙解答 T2 , 3, 4=12二參加會餐人數(shù)應(yīng)是 12 的倍數(shù)。 又v12-2+12-3+12-4=6+4+3=13 （瓶）可見 12 個人要用 6 瓶 A 飲料，4 瓶 B 飲料，3 瓶 C 飲料，共用 13瓶飲料。又v65- 13=5參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是 12 的 5 倍，12X5=60（人）。例題 4：兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 252，其中一個數(shù)是 28，另一個數(shù)是多少精妙解答 設(shè)要求的數(shù)為 x,則除以 4 后的余數(shù)為 y x=4Xy 28=4x728x=4Xyx4X7

6、又v4 是 x 和 28 的最大公約數(shù)，（y, 7） =14XyX7 是 x 和 28 的最小公倍數(shù)。xX28=4X252x=4X252-28=36總結(jié)：通過例 4 的解答答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用 a 和 b 表示兩個自然 數(shù),那么這兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a,b)Xa,b=aXb。這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最 大公因數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小 公倍數(shù)。例題 5：用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公約數(shù)。解答：V4811=2X1981+849,1981=2X849+283,849=3X283,（4811

7、， 1981）=283。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公因數(shù),可以先求其中 任意兩個數(shù)的最大公因數(shù),再求這個公因數(shù)與另外一個數(shù)的最大公因數(shù), 這樣求下去,直至求得最后結(jié)果 .也可以直接觀察, 依次試公有的質(zhì)因數(shù)。 練習(xí) 初試牛刀 1 、 甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一,甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是 54,甲數(shù)是 多少乙數(shù)是多少2、已知兩個自然數(shù)的積是 5766,它們的最大公約數(shù)是 31.求這兩個自 然數(shù)。3、一塊長方形地面, 長 120 米,寬 60 米,要在它的四周和四角種樹, 每兩棵之間的距離相等,最少要種樹苗多少棵每相鄰兩棵之間的距離 是多少米4、兄弟三人在外工作, 大哥6天回家一次, 二哥8天回家一次,小弟12天回家 一次.兄弟三人同時在十月一日回家,下一次三人再見面是哪一天 挑戰(zhàn)自我 1、將長 25 分米，寬 20 分米，高 15 分米的長方體木塊鋸成完全一樣的 盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少一共可鋸多 少塊2、一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過 1 的整千克數(shù)，去掉箱子后地雷凈重 201 千克，拿出若干個地雷后，凈重 183 千克。求 一個地雷的重量 參考答案 初試牛刀 1、甲數(shù)是 18，乙數(shù)是 54。2、 解答：設(shè)這兩個自然數(shù)為 A 和 B。A , B=5766 - 31 = 186。v18