等腰三角形三線合一

1、1、如圖，已知AC平分BAD,CEAB于E，CFAD于F，且BC="CD." （1）求證：BCEDCF（2）若AB=17，AD=9，求AE的長(zhǎng). 2、如圖，已知AB=AC,A=36°，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)M,求證：（1）BD平分ABC；（2）BCD為等腰三角形. 3、已知：如圖BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D,DEAB,DFAC,垂足分別為E，F(xiàn)試說(shuō)明：BE=CF；若AF=3，BC=4，求ABC的周長(zhǎng)4、如圖，ABC中，ACBC，ACB90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱，CE與AD、AB分別交于點(diǎn)F、G

2、，連接BE、BF、GD求證：(1) BEF為等腰直角三角形 ；（2) ADCBDG.5、如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F，CHAB于H點(diǎn)，交AE于G（1）試說(shuō)明AHBH（2）求證：BDCG（3）探索AE與EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系6、（本題14分）如圖（1），在ABC和EDC中，D為ABC邊AC上一點(diǎn)，CA平分BCE，BCCD，ACCE. （1）求證：ABCEDC；（2）如圖（2），若ACB60°，連接BE交AC于F，G為邊CE上一點(diǎn)，滿足CGCF，連接DG交BE于H.求DHF的度數(shù)；若EB平分DE

3、C，試說(shuō)明：BE平分ABC.參考答案1、（1）證明見(jiàn)解析（2）12、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析3、(1)證明詳見(jiàn)解析；(2)104、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.5、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AE=EFBF，理由見(jiàn)解析6、（1）略 （2）DHF="60°" 略【解析】1、試題分析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得出CF="CE," 在證明就可以得出DF=BE；(2)先證明，就可以得出AF=AE，設(shè)DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.試題解析：（1）AC平分BAD,CEAB于E,CFAD于FCE=CF,

4、                             在RtBCE和RtDCF中,  CE=CFBC=CD,RtBCERtDCF （HL）         （2）由（1）得，RtBCERtDCFDF=EB，

5、設(shè)DF=EB=X                   由RtAFCRtAEC（HL）  可知AF=AE  即：AD+DF=AB-BE                    

6、; AB=17，AD=9，DF=EB=x9+x=17-x      解得，x=4 AE=AB-BE=17-4=1點(diǎn)睛：本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL2、試題分析：（1）由AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于M，求得ABD是等腰三角形，即可求得ABD的度數(shù)，然后根據(jù)等邊對(duì)等角，求得DBC的度數(shù)，從而得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和外角的性質(zhì)，可得BDC=C，再根據(jù)等角對(duì)等邊得證.試題解析：（1）MN為A

7、B的中垂線，AD=BD，則A=ABD=36°，AB=AC，A=36°，ABC=C=72°，DBC=36°，因此，BD平分ABC；（2）由和2="36°" C="72°" ，BDC=180°-36°-72°=72°，C=ABD+DBC=BDC，BCD為等腰三角形.3、試題分析：（1）連接DB、DC，根據(jù)角平分線性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得：DE=DF，DB=DC，證明RtBEDRtCFD（HL），得出結(jié)論；（2）先證明AEDAFD，得AF=AE=3，再將ABC的

8、周長(zhǎng)進(jìn)行等量代換，即ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=AE+EB+AFCF+BC，代入求值即可試題解析：連接DB、DC，（1）AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，DG垂直平分BC，DB=DC，在RtBED和RtCFD中，DE=DF，BD=CD，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）DAE=DAF，AED=AFD=90°，AD=AD，AEDAFD，AF=AE=3，由（1）得：BE=CF，ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=AE+EB+AFCF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)4、試題分析：（1）連

9、接DE，根據(jù)對(duì)稱軸和線段垂直平分線的性質(zhì)，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根據(jù)直角三角形的判定推出BEF是直角三角形，求出AFC=BEC=ACD=90°，CAF=ECB，根據(jù)全等三角形的判定定理得出ACFCBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得證；（2）作ACB的平分線交AD于M，根據(jù)ASA推出ACMCBG得出ADC=M，CD=BM，根據(jù)SAS推出DCMDBG，求出M=BDG，即可得出答案.試題解析：（1）連接DE，點(diǎn)E、C關(guān)于AD對(duì)稱，AD為CE的垂直平分線，CD=DE，D為CB中點(diǎn)，CD=DE=DB，DCE=CED，DEB=DBE，DCE+CED+DEB+DBE=180&

10、#176;，CEB=90°，ECB+ACF=90°，CAF+ACF=90°，ECB=CAF，在ACF和CBE中，ACFCBE（AAS），CF=BE，右CF=EF，EF=EB，EFB為等腰直角三角形.（2）作ACB的平分線交AD于M，在ACM和CBG中，ACMCBG（ASA），CM=BG，在DCM和DBG中，DCMDBG（SAS），ADC=GDB.5、試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；（2）證明ACGCBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）證明ACECBF即可試題解析：（1）AC=BC，CHABAHBH（2）ABC為等腰直角三角形，且CHABACG45&

11、#176;CAGACE90°，BCFACE90°CAGBCF在ACG和CBD中 ACGCBD（ASA）BDCG（3）AE=EFBF理由如下：在ACE和CBF中， ACECBF，AE=CF，CE=BF，AE=CF=CE+EF=BF+EF6、（1）CA平分BCE，ACB=ACE.在ABC和EDC中BCCD，ACB=ACE，ACCEABCEDC（SAS）（2）在BCF和DCG中BC=DC,BCD=DCE,CF=CG,BCFDCG（SAS）,CBF=CDG.CBF+BCF=CDG+DHFBCF=DHF=60°.EB平分DEC，DEH=BEC.DHF=60°,HDE