不等式恒成立求參數(shù)取值范圍題的思路歸納

1、不等式恒成立求參數(shù)取值范圍題的解法探究含參函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題是高考和各地模擬試題中一類常見(jiàn)的壓軸 題，常見(jiàn)解題思路如下：1. 分離出動(dòng)直線，數(shù)形結(jié)合.其中a 1 ,若存在唯一的整數(shù)Xo ,使得設(shè)函數(shù) f (x) ex(2 1) ax a ,f (Xo) 0,則a的取值范圍是()3(A)亦)(B)3 32e,43 3(C) 2?4)3(D)悅，"解析設(shè)g(X) ex(2 I),由題意，存在唯一的整數(shù) Xo,使得點(diǎn)(xo,g(xo)在 直線y ax a的下方.動(dòng)直線 y ax 數(shù)g(x) ex(2x 1)的圖像.g (x) ex(2x 1),當(dāng) X (1X (-,)時(shí)，g

2、(x)單調(diào)遞增.2同時(shí)也是最小值點(diǎn).由于只有唯一的整數(shù)Xo滿足題意，且a 1 ,結(jié)合圖形，拿關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)考慮,須讓Xo4 -3符合題意且 xo1不符合題意，即g(O) 1 a且g( 1)1 a a ,解得3,a 1 ,選(D).2e2. 分類討論得出最值和O比較a 1設(shè)g(x) axInX 1 ,若g(x)O對(duì)任意的X O恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.X解析 g(x) (XI)(篤 a 1, X O.X(1)當(dāng)a O時(shí)，ax a 1 O ,當(dāng)X 1時(shí)，g (x) O , g(x)單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)g(1) 2a 2O,不符合題意.當(dāng)aO時(shí)，令g (x)O ,得 X11 , x21 a若,O ,即

3、卩a1,此時(shí)ax a 1 O,當(dāng) X (O,1)時(shí),g (x) O , g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)X (1,)時(shí)，g (X) O, g(x)單調(diào)遞增于是g(x)厖g(1)2(a1) 0 ,符合題意.Ia1 若01,即 a 1 ,注意到g(1) 2(a 1) 0 ,不符合題意.a21 a1 若1,即0 a,當(dāng)X (0,1)時(shí)，g (x) 0 , g(x)單調(diào)遞增，此時(shí)a2g(x) g(1)2(a1)0,不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是1,).3. 代特殊值分析得出必要的參數(shù)范圍，再證充分性回顧例題都是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將參數(shù)的范圍分成若干段，然后逐段篩選出符合題意的參數(shù)這種解法比較好想，但是具體操作上

4、可能顯得繁瑣如果能注意一些特殊點(diǎn)，解法將得 到優(yōu)化.已知函數(shù)f(x) InX x2 X ,若對(duì)于任意的X 0,不等式f(x), ( 1)x2 ax 1恒成立，求整數(shù)a的最小值.解析由題意，In12a12 1(?1) 12 a11成立，4 即 a-3又a是整數(shù)，則a2下證：當(dāng)a2時(shí)，f(x),(|1)x2 ax1在 (0,)上恒成立.設(shè) g(x) f (x)(a2J)Xax 1 Inxa 2 ZdX(12a) x 1,X 0,則 1a11a1g (x) ax 1 a (X 1)(x).XXa由于a2，于是當(dāng)X (0,1)時(shí)，g (x) 0 , g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X (丄，)時(shí),aag (x)0

5、 , g(x)單調(diào)遞減.1IIIa11故 g(x)剟g() In- 1 一 Ina In 2 0,符合題意.a a 2a a 2a2 2綜上所述，整數(shù)a的最小值為2.4分離參數(shù)法為了擺脫參數(shù)帶來(lái)的不確定性，將參數(shù)分離到不等式的一邊，只需求另一邊具體函數(shù)的最值與參數(shù)比較即可，是解決這類問(wèn)題常用的策略.mx若對(duì)任意X 0,),不等式，n(x 1)恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.X 1mx解析 當(dāng)X 0時(shí)，不等式，In (X 1)恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.X 1當(dāng) X (O,),只需保證m, (X I)In(X I)恒成立.設(shè) g(x)(X I)In(X I), X 0,則 g(x)令 h(x)X

6、ln(x 1), X 0 ,則 h (x)1X In(X 1)2X1XX 1 X 1O ,故 h(x) h(O) O ,于是g (x)0 , g (x)單調(diào)遞增.X又由洛必達(dá)法則，Iim (X I)In(X I) Iim In(X I) 1 1,X 0XX 01故當(dāng)X O時(shí)，g(x)的值域?yàn)?1,),從而m, 1.綜上所述，m的取值范圍為(,1 5 先探尋充分的參數(shù)范圍，再說(shuō)明其必要性當(dāng)0時(shí)，不等式In(X 1) ax ex 10恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.設(shè) f(x) In(x 1) ax ex 1 ,0 .則f (X) exf (X) ex1 ex(x 1)2 1 (X 1)2(X 1)20 ,從而f (X)在0,)上單調(diào)遞增.(注意到f(0)0,使f(x)O在0,)上恒成立的一個(gè)充分條件是f (x)-O恒成1立.由 f (x) exaf (0)1不能滿足題意，即可完成解答.)2 a ,令2 aO可得a, 2 如果能證明a 2時(shí),X(1)當(dāng) a, 2 時(shí)，f(X) e - Xaffif (0)2 a 0,于是f(x)在0,)上單調(diào) 遞增，f(x)f(O) O,符合題意.(2)當(dāng)a 2時(shí)，由于 f (O)0 和