(整理版)2020年中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題圖形最值問題探究(含答案)

1、專題09動(dòng)點(diǎn)類題目圖形最值問題探究題型一：矩形中的相似求解例1. (2019 紹興)如圖，矩形 ABCD中，AB=a, BC=b，點(diǎn)M、N分別在邊 AB、CD 上，點(diǎn)E、F分別在邊 BC、AD上，MN、EF交于點(diǎn)P.記k=MN:EF.(1)若a： b的值為1,當(dāng)MNEF時(shí)，求k的值.(2)若a： b的值為1,求k的最大值和最小值.2(3)若k的值為3,當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，/ MPE=60°, MP = EF=3PE時(shí)，求a： b的 值.題型二：二次函數(shù)中幾何圖形最值求解例2. (2019 衡陽)如圖，二次函數(shù) y = x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A (T, 0)和點(diǎn)B (3, 0

2、),與y軸交于點(diǎn)N,以AB為邊在x軸上方作正方形 ABCD ,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB (點(diǎn)P不與O、B重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段 OE的長(zhǎng)有最大值？ 并求出這個(gè)最大值；(3)在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MN、MB.請(qǐng)問：4MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型三：二次函數(shù)中面積最值的求解例3. (2019 自貢)如圖，已知直線 AB與拋物線C:y ax2 2x c相交于點(diǎn) A (-1,0)和點(diǎn)B (2,3)兩點(diǎn).(1)求拋物線C函數(shù)表達(dá)式；(2)

3、若點(diǎn)M是位于直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB,當(dāng)平行四邊形 MANB的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)在拋物線C的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)F,使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由15題型四：反比例函數(shù)中面積最值的求解 例4. (2018 揚(yáng)州一模)如圖1,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (2，3, 1),射 線AB與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn) B (1, a),射線AC與y軸交于點(diǎn)C, / BAC=75° , AD±y 軸，垂足為D.(1)求k的值；(2)求

4、tan / DAC的值及直線 AC的解析式；(3)如圖2, M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過 M作直線lx軸，與AC相交于點(diǎn)N,連接CM,求ACMN面積的最大值.國(guó)1圄2題型五：反比例函數(shù)中面積最值的求解 例5. (2019 達(dá)州)如圖1,已知拋物線 y=x2+bx+c過點(diǎn)A(1,0), B(3,0).(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)tan (/CAO+/CDO) =4時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo)；(3)如圖2,拋物線與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段 PA交BE于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N, 4BMP和4EMN的面積分別為 m、n,求m n的最

5、大值.題型六：二次函數(shù)中最值及最短路徑題型例6. (2019 綿陽)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù) y=ax2 (a>0)的圖象向右平移 1個(gè) 單位，再向下平移 2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與 x軸交于點(diǎn)A、B (點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè))，OA=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b (kwQ的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn) C, 且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 D, 4ABD的面積為5.(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn) E在一次函數(shù)的圖象下方，求 4ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求PE+gPA的最小值.5備用圖例7

6、. (2019 濰坊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A (4, 0),點(diǎn)B(0, 4), ABO的中線 AC與y軸交于點(diǎn) C,且。M經(jīng)過O, A, C三點(diǎn).(1)求圓心M的坐標(biāo)；(2)若直線AD與。M相切于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)D,求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；(3)在過點(diǎn)B且以圓心M為頂點(diǎn)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PE/y軸，交直線 AD于點(diǎn)E.若以PE為半徑的OP與直線AD相交于另一點(diǎn)F.當(dāng)EF = 4J5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).答案與解析題型一：矩形中的相似求解例1. (2019 紹興)如圖，矩形 ABCD中，AB=a, BC=b，點(diǎn)M、N分別在邊 AB、CD 上，點(diǎn)E、F分別在

7、邊 BC、AD上，MN、EF交于點(diǎn)P.記k=MN:EF.(1)若a： b的值為1,當(dāng)MNEF時(shí)，求k的值.(2)若a： b的值為1,求k的最大值和最小值.2(3)若k的值為3,當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，/ MPE=60°, MP = EF=3PE時(shí)，求a： b的 值.【分析】(1)當(dāng)a： b=1時(shí)，可得四邊形 ABCD為正方形，由 MN ± EF,可證MN=EF,即k=1 ; (2)先確定MN和EF的取值范圍，當(dāng)MN取最大值，EF取最小值時(shí)，k的值最大, 否則反之；(3)根據(jù)N是矩形頂點(diǎn)，分兩種情況討論，即 N分別與D點(diǎn)和C點(diǎn)重合，依據(jù) 不同圖形求解.【答案】見解析【解析】解：(

8、1)當(dāng)a： b=1時(shí)，即AB=BC,四邊形ABCD是矩形,四邊形ABCD是正方形，過F作FGLBC于G,過M作MH XCD于H,如下圖所示,MN± EF, ./ NMH = Z EFG, . / MHN = /FGE=90° , MH=FG, . MNHA FEG ,MN=EF ,即 k=1 ;(2)由題意知：b=2a,所以得：a至FwJ5a , 2aWINwJ5a,所以當(dāng)MN取最大值，EF取最小值時(shí)，k取最大值，為 J5 ;口 2、5當(dāng)MN取最小值，EF取最大值時(shí),k取最小值，為；5(3)如下圖所示,連接FN , ME,設(shè) PE=x,貝U EF=MP=3x, PF=2x,

9、 MN=3EF=9x, PN=6x,PF PNPE PM又. / FPN = Z MPE, . FPNA EPM , ./ PFN=Z PEM,FN / ME ,當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，由FN / ME得，M點(diǎn)與B點(diǎn)重合,過F作FH，BD于H , . / MPE=60° ,PFH=30° ,，PH=x, FH= 3Xx , BH = BP+PH=4x, DH=5x,人 一 ，3在 RtADFH 中，tan/FDH = J,5即 a:b=J.當(dāng)N點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，過過點(diǎn)E作EH，MN于H,連接EM ,貝U PH=x, EH=J3x, CH = PC+PH=13x,在 RtA ECH

10、 中,tanZECH=,13 ME / FC, ./ MEB=/FCB=/CFD, . / B=Z D, . MEBA CFD ,型 FC =2=2,MB ME日“ n CD 2BM 2 3即 a:b=；BC BC 13 '綜上所述，a:b的值為近或也.513題型二：二次函數(shù)中幾何圖形最值求解例2. (2019 衡陽)如圖，二次函數(shù) y = x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A (T, 0)和點(diǎn)B (3, 0),與y軸交于點(diǎn)N,以AB為邊在x軸上方作正方形 ABCD ,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB

11、 （點(diǎn)P不與O、B重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段 OE的長(zhǎng)有最大值?并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MN、MB.請(qǐng)問：4MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求解；（2）由POEs CBP得出比例線段，可表示OE的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段OE的最大值；（3）過點(diǎn)M作MH / y軸交BN于點(diǎn)H,由S；Amnb = Szbmh + Szmnh即可求解.【答案】見解析.2.【解析】解：（1）二.拋物線y=x+bx+c經(jīng)過A （ 1, 0）, B （3, 0）,1 b c 09 3b

12、 c 0解得: 拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為 y=x2-2x-3;(2)由題意知： AB=OA+OB=4,在正方形 ABCD 中，/ABC =90°, PCX BE, ./ OPE+ZCPB=90°,ZCPB + Z PCB=90°, ./ OPE= / PCB,又. / EOP= / PBC= 90°, . POEscbp,BC OP 一 一，BP OE設(shè) OP=x,貝U PB=3-x,4 x3 x OEOE = x243x 4 x23 95216,3當(dāng)X 時(shí)，即2OP = 3時(shí)線段2OE長(zhǎng)有最大值,最大值為16(3)存在.設(shè)直線BN的解析式為y= kx+b

13、,H,3k b 0b 3直線BN的解析式為 設(shè) M (m, m22m3),貝U H (m, m3),.MH=m-3 - ( m2 - 2m - 3) =- m2+3m,3m27,8 Qo12 1 sa mnb = Sa bmh+Sa mnh= m2.a= 3時(shí)，4MBN的面積有最大值,2最大值是M點(diǎn)的坐標(biāo)為(32，題型三：二次函數(shù)中面積最值的求解例3. (2019 自貢)如圖，已知直線AB與拋物線C : y2ax 2x c相父于點(diǎn)A (-1,0)和點(diǎn)B (2,3)兩點(diǎn).(1)求拋物線C函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)M是位于直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB,當(dāng)平

14、行四邊形 MANB的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)在拋物線C的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn) F,使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】解：(1)把A (-1,0), B (2,3)代入拋物線得:a 2 c 04a 4 c 3解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y= x2+2x+3(2) . A (-1,0), B (2,3),，直線AB的解析式為：y=x+1,如下圖所示，過 M作MN / y軸交AB于N,設(shè) M(m,m，2m+3), N(m,m+1), (-1vmv2) .MN = -m2+m+2,1 Sa abm=Saamn+Sa bmn

15、= (xB xA) MN 2,o 1231 2 Saabm= -( m m 2) 3-(m -)-1 . 一 , 一，當(dāng)m -時(shí)，4ABM的面積有最大值227827H c271 7,而 Scmanb=2Saabm=,此時(shí) M ()42, 2(3)存在，點(diǎn)F(115)4理由如下：拋物線頂點(diǎn)為D,則D (1,4),則頂點(diǎn)設(shè) F (1, n)、P(x, x2 2x 3),設(shè) P 到直線 y一 17225貝U pg= ( x 2x 3) x 2x 44P為拋物線上任意一點(diǎn)都有 PG = PF,_171D到直線y 一的距離為一，4417一的距離為PG.4，當(dāng)P與頂點(diǎn)D重合時(shí)，也有 PG=PF.一 117

16、1此時(shí)PG=即頂點(diǎn)D到直線y 一 的距離為一，4441.PF=DF= -,4- F(1,15)，4.PG = PF, . PG2=PF2,22152_2 PF (x 1)( x 2x 3)PG2 (x2 2x4)222_3 2(x 1) (x 2x 4)4(x2 2x )42152_ 222_32 (x 1)2 ( x2 2x 3)2 (x 1)2 (x2 2x )2 44整理化簡(jiǎn)可得0x=0,，當(dāng)F(1,15)時(shí)，無論x取任何實(shí)數(shù)，均有 PG=PF. 4題型四：反比例函數(shù)中面積最值的求解例4. (2018 揚(yáng)州一模) 如圖1,反比例函數(shù)y= - (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (2/3,

17、1), x射線AB與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)B (1, a),射線AC與y軸交于點(diǎn)C, / BAC=75° ,ADy軸，垂足為D.(1)求k的值；(2)求tan / DAC的值及直線 AC的解析式;(3)如圖2, M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過 M作直線lx軸，與AC相交于點(diǎn)N,連接CM,求ACMN面積的最大值.【解析】解：(1) :將A (2J3, 1)代入反比例函數(shù) k=2 J3;(2)由(1)知，反比例函數(shù)解析式為v=空,x點(diǎn)B (1, a)在反比例函數(shù)y=R3的圖象上, x點(diǎn) B (1, 2 串)過B作BE，AD于E,如下圖所示,? 貝U AE = BE = 2

18、點(diǎn)-1.ABE= / BAE=45又. / BAC = 75°, ./ DAC = 30°.DC = tan30° AD= 3 273 =2 3 .OC = 1 ,即 C (0, T)設(shè)直線AC的解析式為y= kx+b.2 3k b 1一 ， b 1k B解得k至b 1，直線AC的解析式為y= Y3x - 13(3)設(shè) M (m,學(xué))，N (m, 31m- 1)則MN= 逑(卷m-1)=蜜-理m+1, m3八m2"mm=-61 z 2,3 _ .3 / S*A cmn =2 ( m+1)=-今(m-乎)2+乎當(dāng)m=#時(shí)，4CMN的面積有最大值，最大值為

19、誓.題型五：反比例函數(shù)中面積最值的求解 例5. (2019 達(dá)州)如圖1,已知拋物線 y=x2+bx+c過點(diǎn)A(1,0), B(3,0).(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)tan (/CAO+/CDO) =4時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo)；(3)如圖2,拋物線與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段 PA交m、n,求m n的最大值.BE于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N, 4BMP和4EMN的面積分別為【答案】見解析【解析】解：(1)把點(diǎn)(1, 0), ( 3, 0)代入y= x2+bx+c,得,1 b c9 3b cy = - x2 - 2x+3 = ( x+1) 2+

20、4 ,此拋物線解析式為：y= - x2 - 2x+3,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1, 4);(2)由(1)知：拋物線對(duì)稱軸為 x= - 1,設(shè)拋物線對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)H, H ( - 1, 0),在 RtCHO 中，CH=4, OH = 1,CH tanZCOH= CH =4, OH . / COH= ZCAO + ZACO, 當(dāng) /ACO= Z CDO 時(shí)，tan (/CAO+/CDO) =tanZCOH = 4,如下圖所示，當(dāng)點(diǎn) D在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)， / ACO = / CDO , / CAO = / CAO ,AOCAACD ,.AC AO"AD AC'- AC= 2V5 ,

21、AO= 1 ,.AD = 20, OD=19,.D (- 19, 0);當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn) D關(guān)于直線x= 1的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(17, 0), .點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-19, 0)或(17, 0);(3)設(shè)P (a, - a2 - 2a+3),設(shè)直線PA的解析式為：y=kx+b,將 P (a, - a2 - 2a+3), A (1, 0)代入 y= kx+b,ak b a2 2a 3k b 0解得，k= - a 3, b= a+3 ,y = ( a3) x+a+3,當(dāng) x= 0 時(shí)，y= a+3, .N (0, a+3),如下圖所示,< m = S>A BPM= S/X

22、BPA S 四邊形 BMNO SAAON, n=SAEMN= SAEBO - S 四邊形 BMNO， - m- n= Sabpa- Saebo- Saaon=1 >4X ( -a2- 2a+3) - 1 >3 >3 - 1 X1 x (a+3)222=-2 (a+9) 2+ 81, 832.當(dāng)a= - 9時(shí)，m n有最大值81.題型六：二次函數(shù)中最值及最短路徑題型例6. (2019 綿陽)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù) y=ax2 (a>0)的圖象向右平移 1個(gè) 單位，再向下平移 2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B (點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，OA=1

23、,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b (kwQ的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn) C, 且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 D, 4ABD的面積為5.(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn) E在一次函數(shù)的圖象下方，求4ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求PE+PA的最小值.5備用圖【答案】見解析.【解析】解：(1)由平移知，平移后得到的拋物線解析式為y=a (x-1) 2-2,.OA=1 ,16.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1, 0),代入拋物線的解析式得，4a-2=0,22，拋物線的解析式為21 * 2,即 y2x2令y=0,解得xi=-iX2=3,B (

24、3, 0), .AB=OA+OB=4,.ABD的面積為5,1.L Sa abd= 2AB yD=5I，解得xi=-2,X2=4,.D (4,設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,4k直線AD的解析式為:(2)過點(diǎn)E作EM / y軸交AD于M,如下圖所示,2a+ 2MBE(a-)2+工, 216ME= - 42+ 3 a+222'c1,2c,、 Saace=Saame Szcme =(a23a4)4當(dāng)a= 3時(shí)， ACE的面積有最大值，最大值是 25 ,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0， )21628(3)作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FHLAE于點(diǎn)H,交軸于點(diǎn)P,315萬，一 5 一 .AG= . .sin/AEG=sin/ HEF=AG FH AE AE .FH=3.3即PE+-PA的最小值是3.5例7. (2019 濰坊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A (4, 0),點(diǎn)B4), ABO的中線AC