浮點(diǎn)數(shù)(單精度浮點(diǎn)數(shù)與雙精度浮點(diǎn)數(shù))在計(jì)算機(jī)中的存儲

1、浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的存儲十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)格式：浮點(diǎn)數(shù)格式使用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示實(shí)數(shù)?？茖W(xué)計(jì)數(shù)法把數(shù)字表示為系數(shù)(coefficie nt)(也稱為尾數(shù)(mantissa)，和指數(shù)(exponent)兩部分。比如3.684*10人2.在十進(jìn)制中，指數(shù)的基數(shù)為10 ,并且表示小數(shù)點(diǎn)移動多少位以生成系數(shù)。每次小數(shù)點(diǎn)向前移動時，指數(shù)就遞增；每 次小數(shù)點(diǎn)向后移動時，指數(shù)就遞減。例如，25.92 可表示為2.592 * 10A1 ，其中2.592 是系數(shù)，值10A1是指數(shù)。必須把系數(shù)和指數(shù)相乘，才能得到原始的實(shí)數(shù)。另外，女口0.00172可表示為1.72*10A-3 ，數(shù)字1.72 必須和10A-3相乘才能獲得原始

2、值。二進(jìn)制浮點(diǎn)格式：計(jì)算機(jī)系統(tǒng)使用二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)，這種格式使用二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法的格式表示數(shù)值。數(shù)字按照二進(jìn)制格式表示，那么系數(shù)和指數(shù)都是基于二進(jìn)制的，而不是十進(jìn)制，例如1.0101*2A2.在十進(jìn)制里，像 0.159 這樣的值，表示的是0 + (1/10) + (5/100) + (9/1000)。相同的原則也適用二進(jìn)制。比如， 1.0101 乘以2A2 后，生成二進(jìn)制值101.01，這個值表示二進(jìn)制整數(shù) 5，加上分?jǐn)?shù)(0/2) + (1/4)。這生成十進(jìn)制值5.25 。下表列出幾個二進(jìn)制小數(shù)以及它們對應(yīng)的十進(jìn)制值：二進(jìn)制十進(jìn)制分?jǐn)?shù)十進(jìn)制值0.11/20.50.011/40.250.0011/8

3、0.1250.00011/160.06250.000011/320.031250.0000011/640.015625幾個二進(jìn)制浮點(diǎn)例子：二進(jìn)制十進(jìn)制分?jǐn)?shù)十進(jìn)制值10.1012+1/2+1/82.62510011.00119+1/819.12510110.110122+1/2+1/4+1/1622.81251101.01113+1/4+1/813.375編寫二進(jìn)制浮點(diǎn)值時，二進(jìn)制通常被規(guī)格化了。這個操作把小數(shù)點(diǎn)移動到最左側(cè)的數(shù)位，并且修改指針進(jìn)行補(bǔ)償。例如1101.011 變成1.101011*2A3浮點(diǎn)數(shù)的存儲* IEEE標(biāo)準(zhǔn)754浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)使用3個成分把實(shí)數(shù)定義為二進(jìn)制浮點(diǎn)值:*有效數(shù)字指

4、數(shù)符號位表示值是負(fù)的還是正的。符號位中的1表示負(fù)值，0表示正值。有效數(shù)字部分表示浮點(diǎn)數(shù)的系數(shù)(coefficient)(或者說尾數(shù)(mantissa)。系數(shù)可以是規(guī)格化的(normalized)，也可以是非規(guī)格化的(denormalized)。所謂規(guī)格化，就是任何一個數(shù)的科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示都可為 1.xxx*2A n，既然小數(shù)點(diǎn)左邊的一位都是1，就可以把這一位省略。單精度浮點(diǎn)數(shù)23bit的尾數(shù)部分，可表示的精度卻為24位，道理就在這里。指數(shù)表示浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)部分，是一個無符號整數(shù)。因?yàn)橹笖?shù)值可以是正值，也可以是負(fù)值，所以通過一個偏差值對它進(jìn)行置偏，及指數(shù)的真實(shí)值=指數(shù)部分的整數(shù) 一偏差值。對于32

5、位浮點(diǎn)數(shù)，偏差值=127 ;對于64位浮點(diǎn)數(shù)，偏差值=1023.二進(jìn)制浮點(diǎn)格式符號位指數(shù)系數(shù)浮點(diǎn)數(shù)的這3個部分被包含在固定長度的數(shù)據(jù)格式之內(nèi)。IEEE標(biāo)準(zhǔn)754定義了浮點(diǎn)數(shù)的兩種長度：32位單精度和64位雙精度可以用于表示有效數(shù)字的位的數(shù)量決定精度。下圖顯示了兩種不同精度類型的位布局：31 302322指數(shù)有效數(shù)字單精度63 6252 510指數(shù)A雙精度單精度浮點(diǎn)使用 23位有效數(shù)字值。但是，浮點(diǎn)格式假設(shè)有效數(shù)字的整數(shù)部分永遠(yuǎn)為1，并且不在有效數(shù)字值中使用它。這樣實(shí)際上有效數(shù)字的精度達(dá)到了24位。指數(shù)使用8位值，它的范圍從0255 ，稱為移碼指數(shù)，意思是必須從指數(shù)中減去一個數(shù)(稱為偏移量或者是

6、偏差值)，對單精度浮點(diǎn)數(shù)而言，這個值是127。當(dāng)指數(shù)是0和255時，指數(shù)由別的含義，因此實(shí)際指數(shù)的范圍是從 -126至U +127 (二進(jìn)制指數(shù))，這樣整個浮點(diǎn)數(shù)的范圍則為：(1.18 *10A-38 1.0 X2 -126 至U 3.40 * 10A381.1 1 X2A127)。*指數(shù)0和255用于特殊用途。如果指數(shù)從 1變化到254，則由s (符號位)、e (指數(shù)) 和f (有效數(shù))來表示的數(shù)為：.( -1) SX hfx2s- -1的s次幕是數(shù)學(xué)上的一種方法，意思是如果s為0,則數(shù)是正的（因?yàn)槿魏螖?shù)的 0次幕等于1 ）；如果S為1，則數(shù)是負(fù)的（因?yàn)?-1的1次幕為-1 ） ”。表達(dá)式的

7、另一部分是1.f，意思是1后面為二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)，再后面為23位的有效小數(shù)部分。它乘以2的幕，其中指數(shù)為內(nèi)存中的 8位移碼指數(shù)減去127。注意，還有一種特殊的情況0 :如果e等于0,且f等于0,則數(shù)為0。通常，所有32位均為0貝懐示0。但是 符號位可以是1，在這種情況下，數(shù)被解釋為 -0。-0可以表示一個很小的數(shù)，小到在單精 度格式中不能用數(shù)字和指數(shù)來表示。盡管如此，它們?nèi)恍∮?。 如果e等于0,且f不等于0,則數(shù)是有效的。但是，它不是規(guī)格化的數(shù)，它等于注意，二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)左邊的有效數(shù)為0。如果e等于255，且f等于0,則數(shù)為正或負(fù)無窮大，這取決于符號s。如果e等于255，且f不等于0,該值被認(rèn)為

8、不是一個數(shù)”，簡寫為NaN。NaN可以表 示一個不知道的數(shù)或者一個無效操作的結(jié)果。Q : 3.40 * 10A38是值怎么來的？A :在單精度浮點(diǎn)格式中可以表示的最大規(guī)格化的正或負(fù)二進(jìn)制數(shù)為：1J111II11II11II1111II111X2137TWO換算成10 進(jìn)制約等于：3.402823669e+38，這里1.111.111 近似為 2，貝U 2 * 2人127=2A128 = 3.402823669e+38 .Q : 1.18 * 10A-38的值是怎么來的？A :通常，單精度浮點(diǎn)格式中可以表示的最小規(guī)格化的正或負(fù)二進(jìn)制數(shù)為：1.000000000000（）0000000000 X

9、2 必TWO換算成10 進(jìn)制就是：1.175494351e-38，也就是約等于 1.18 * 10人-38Q：單精度浮點(diǎn)24位換算為十進(jìn)制后，為什么精度是 7位？A: 10位二進(jìn)制數(shù)近似等于3位十進(jìn)制數(shù)。也就是說，若 10位都置1（即十六進(jìn)制為3FFh，十進(jìn)制為1023），則它近似等于3位十進(jìn)制都設(shè)置為9，即999?；蛘撸?i0IO,也可以2相當(dāng)于這種關(guān)系表明按單精度浮點(diǎn)格式存放的 24位二進(jìn)制數(shù)大約與7位十進(jìn)制數(shù)等效。因此, 說單精度浮點(diǎn)格式提供 24位二進(jìn)制精度，或大約7位十進(jìn)制精度?？梢赃@么設(shè)，一個10Ak 次方，即 10Ak=2 。那么 2的24 次方 2人24 = 10A24k。從1

10、0Ak=2 可以知道k = loglO（2） 0.301。所以，2的24次方換算到十進(jìn)制，相當(dāng)于有 24*log10（2） 約 等于7.2個精度。Q: 262144.00 和 262144.01是一樣的么A :當(dāng)然不是一樣的！但是在計(jì)算機(jī)里，單精度的存儲中，它們卻是一樣的！看這兩個數(shù)作為 單精度浮點(diǎn)數(shù)時在計(jì)算機(jī)里是怎么存儲的：兩者被存儲為同一個數(shù)字:1.00000000000000000000000 X 2。那這是為什么呢？原因是，規(guī)格化單精度浮點(diǎn)里，在小數(shù)點(diǎn)后有 23位數(shù)，而1.000.000 會經(jīng)過2A18次方的運(yùn)算后小數(shù)點(diǎn)會往前移動18個，那么小數(shù)點(diǎn)后面就只剩下5位，這時即使是1/05）

11、=0.03125都要比0.01大，所以沒辦法，只能存為一樣的數(shù)。那么上面的問題如何避免呢？答案是，使用雙精度浮點(diǎn)數(shù)。雙精度浮點(diǎn)數(shù) 的指數(shù)偏移量為1023，即3FFh，所以，以這種格式存放的數(shù)為：（-1） *x l.fx2心曲它具有與單精度格式中所提到適用于0、無窮大和NaN等情形相同的規(guī)則。最小的雙精度浮點(diǎn)格式的正數(shù)或負(fù)數(shù)為：最大的數(shù)為：' 用十進(jìn)制表示，它的范圍近似為10 的 3082,2250738585072014X 101.7976931348623 158X次幕是一個非常大的數(shù)，在 1后面有308個十進(jìn)制零。53位有效數(shù)（包括沒有包含在內(nèi)的那1位）的精度與16個十進(jìn)制位表示的精度十分接近。相對于單精度浮點(diǎn)數(shù)來說這種表