一類具免疫控制的SIR傳染病模型的穩(wěn)定性

1、 . . . 一類具免疫控制的SIR傳染病模型的穩(wěn)定性信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 學(xué)生：肖憲偉 指導(dǎo)教師：宮兆剛摘 要：利用微分方程理論研究了具有免疫控制的數(shù)學(xué)模型，考慮總?cè)丝跀?shù)是常數(shù)輸入的影響，討論了模型無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性，利用特征值方法和Jacobi矩陣得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。構(gòu)造Dulac函數(shù)的方法，得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性充分條件，利用Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬。關(guān)鍵詞：免疫控制; Jacobi；Dulac；平衡點(diǎn)；全局穩(wěn)定性1引言 面對傳染病長期嚴(yán)峻的威脅和日益出現(xiàn)的新的疫情，其嚴(yán)重的危害著人類健康與社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。又由于人們不能在人群

2、中進(jìn)行傳染病的試驗(yàn)，因此，對各類傳染病的流行趨勢、發(fā)病規(guī)律的預(yù)測以與防治策略的重要性日益突出。根據(jù)疾病的發(fā)生、發(fā)展以與與之有關(guān)的闡述流行過程的特征，利用動力學(xué)的方法來研究傳染病模型是十分重要的，目前對傳染病的研究方法主要有描述性方面的研究、理論性方面的研究、分析性方面的研究和實(shí)驗(yàn)性方面的研究。傳染病動力學(xué)1是對傳染病進(jìn)行理論性定量分析的一種非常重要的方法，通過對動力學(xué)性態(tài)的定性分析和模擬實(shí)驗(yàn)2，來顯示疾病的發(fā)展過程，揭示起流行規(guī)律，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，預(yù)測其變化發(fā)展趨勢，為預(yù)防和控制的最優(yōu)策略提供了有力的理論依據(jù)。 在早期的傳染病動力學(xué)多數(shù)傳染病模型都是假設(shè)種群的總是常數(shù)狀態(tài)而保持人

3、口數(shù)不變，而沒有考慮到其它方面的因素，但這種假設(shè)僅存在于一些環(huán)境狀態(tài)封閉，人口的生育率和自然死亡率相平衡，且不考慮其它各方面等因素的理想狀態(tài)下成立。隨著傳染病模型的不斷發(fā)展和研究的不斷深入，對各方面因素做了大量的研究，極豐富了傳染病動力學(xué)理論。程曉云，胡志興等在2007年考慮了具有階段結(jié)構(gòu)因素研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)的自治傳染病模型的穩(wěn)定性3；徐為堅(jiān)研究了一類具有種群Logistic增長飽和傳染率的SIS模型的穩(wěn)定性和Hopf；杜艷可，徐瑞，段立江在經(jīng)典的傳染病模型上考慮了標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率4-5的因素，研究了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型的全局穩(wěn)定性；健全，馬知恩研究了一類帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流

4、行病模型的全局分析；付景超等在2008年研究了一類具有垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型6-8，得出了垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的穩(wěn)定性分析；徐文雄，仲華等研究了一類具有預(yù)防接種免疫力的雙線性傳染率SIR流行病模型全局穩(wěn)定性；高淑京，滕志懂在2008年研究了一類具有飽和傳染力和常數(shù)輸入的SIRS脈沖接種模型研究9-11。2具有免疫控制的SIR模型2.1模型的建立本文將基于經(jīng)典的具有常數(shù)輸入率的SIR模型，建立一類具有免疫控制的SIR傳染病模型，將人群分為易感染者（Susceptible）、感染者（Infective）、移出者（Removed）三類，則所研究的數(shù)學(xué)模型如下：（1）其中，分別表

5、示t時刻易感染者、感染者、移出者的數(shù)量，分別表示各階段的死亡率，表示接種率，表示傳染率，r表示移出率，系統(tǒng)中的所有參數(shù)均為正值。 系統(tǒng)（1）的前兩個方程不依賴于第三個方程，因此本文中僅考慮由系統(tǒng)（1）的前兩個方程構(gòu)成的系統(tǒng)為：（2）對系統(tǒng)(2)作變換，仍記為，則(2)化為：（3）考慮到系統(tǒng)（1），（2），（3）的實(shí)際上的生物意義，其S，I只能為非負(fù)數(shù)，因此本文只在區(qū)域中討論問題。2.2平衡點(diǎn)的存在性對系統(tǒng)（3）我們令：，當(dāng)時，得出無病平衡點(diǎn)；令時，當(dāng)時，得出地方病平衡點(diǎn)，其中：， ，。2.3平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析定理2 當(dāng)時，無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。證明： 系統(tǒng)（3）在處的Jacobi矩陣為：

6、，其中：， ， ，則系統(tǒng)（3）所對應(yīng)的特征方程為：，其中：當(dāng)時，有，所以其特征根為負(fù)實(shí)根，從而無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。定理3 令，當(dāng)，時，地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)（3）在地方病平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣為：，其中：，其中：，則系統(tǒng)（3）所對應(yīng)的特征方程為：，其中：，令，當(dāng)，時，有，所以其特征根為負(fù)實(shí)根，從而地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。2.4平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性分析定理4 當(dāng)時，無病平衡點(diǎn)在區(qū)域是全局漸近穩(wěn)定的。證明：當(dāng)時，系統(tǒng)（3）在區(qū)域僅存在唯一的一個無病平衡點(diǎn)，并且可以得出平衡點(diǎn)在其邊界上，所以在區(qū)域W不存在有閉軌線，而且系統(tǒng)（3）從區(qū)域W出發(fā)的軌線都不會超出W，又

7、考慮到區(qū)域W的有界性，則對任給區(qū)域W的一個初始值，系統(tǒng)（3）的滿足初始值的解（S,I）最終都將趨向于平衡點(diǎn)，又因?yàn)槠胶恻c(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，可得出是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，在所給群體中無論初始值的染病者會有多少，傳染病都將不會流行且會逐漸消失。定理5 當(dāng)且成立時，地方病平衡點(diǎn) 在區(qū)域是全局漸近穩(wěn)定的。證明： 要證明點(diǎn)在區(qū)域W是全局漸近穩(wěn)定的，只需要證明在區(qū)域W不存在系統(tǒng)（3）的閉軌線即可11，構(gòu)造Dulac函數(shù)，有，所以保持常號，且其不在區(qū)域W任何子區(qū)域恒為零，則系統(tǒng)（3）在區(qū)域W不存在閉軌線，所以地方病平衡點(diǎn)在區(qū)域W是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，一旦有患病者，疾病就會流行而最終的易感者和患病者都將

8、分別穩(wěn)定為數(shù)量，從而形成地方病。3數(shù)值模擬下面用Matlab數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，通過模擬能夠清晰了解模型軌線的走向，并驗(yàn)證定理4和定理5的正確性，進(jìn)而更好的了解無病點(diǎn)和地方病的發(fā)展趨勢。取參數(shù)，則系統(tǒng)（3）為：滿足條件，運(yùn)用Matlab軟件由定理4可知，無病平衡點(diǎn)在區(qū)域W是全局漸近穩(wěn)定的（見圖1）。圖1 無病平衡點(diǎn)的數(shù)值模擬 Fig.1 The disease-free equilibriumfound by numerical simulation取參數(shù)，則系統(tǒng)（3）為：滿足條件當(dāng)且，運(yùn)用Matlab軟件由定理5可知，地方病平衡點(diǎn)在區(qū)域W是全局漸近穩(wěn)定的（見圖2）。圖2 地方病平衡點(diǎn)的數(shù)值

9、模擬Fig.2 The endemic equilibriumfound by numerical simulation4結(jié)語傳染病動力學(xué)模型為人類的傳染病的預(yù)防控制提供了有力的理論依據(jù)和指導(dǎo)，本文在參考了一些相關(guān)的文獻(xiàn)和書籍資料，研究了一類具有免疫控制的SIR傳染病模型，運(yùn)用了特征值方法，Jacobi矩陣，Dulac函數(shù)，Matlab軟件等方法得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)所具備穩(wěn)定性的條件，根據(jù)這些條件能夠?yàn)閭魅静〉念A(yù)防和控制提供了有效的理論依據(jù)。參考文獻(xiàn)1馬知恩,周義倉,王穩(wěn)地等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究M.:科學(xué)，2004.2健,娟,馬知恩.一類帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型

10、的全局分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004,25(4):359 -367.3程曉云,胡志興.一類具有階段結(jié)構(gòu)的自治傳染病模型的穩(wěn)定性J.學(xué)院學(xué)報(bào),2007,9(3):23-27.4徐為堅(jiān).具有種群Logistic增長飽和傳染率的SIS模型的穩(wěn)定性和Hopf分支J.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2008,28:578-584.5Moghadas SM.Two core group models for sexual transmission of diseaseJ.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2009,39(10):140-144.6周天明,江宏遠(yuǎn),魯立剛.傳染病學(xué)的數(shù)學(xué)模型與其應(yīng)用J.醫(yī)學(xué)科學(xué),2002,25(3):20-

11、22.7健全,馬知恩.一類帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004,18(4):359-367.8付景超等.具有垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型的研究J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(2):273-278.9馬知恩,周義倉等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究M.:科學(xué),2004.10薛穎,熊佐亮.具有免疫控制且總?cè)丝谝?guī)模變化的SIR傳染病模型的穩(wěn)定性J.應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2007,9(2):71-76.11高淑京,滕志懂.一類具有飽和傳染力和常數(shù)輸入的SIRS脈沖接種模型研究J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(2):208-217.Stability of

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13、odel existence the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed, by using the eigenvalue method and the Jacobi matrix to get the local stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point. The method of constructing Dulac function, sufficient conditions for global st