時(shí)間序列模型

1、.時(shí)間序列模型一、分類按所研究的對(duì)象的多少分，有一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列兩種。按序列的統(tǒng)計(jì)特性分，有平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。狹義時(shí)間序列：如果一個(gè)時(shí)間序列的概率分布與時(shí)間t 無關(guān)。廣義時(shí)間序列： 如果序列的一、 二階矩存在， 而且對(duì)任意時(shí)刻 t 滿足均值為常數(shù)和協(xié)方差為時(shí)間間隔 的函數(shù)。（下文主要研究的是廣義時(shí)間序列）。按時(shí)間序列的分布規(guī)律來分，有高斯型時(shí)間序列和非高斯型時(shí)間序列。二、確定性時(shí)間序列分析方法概述時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)就是通過對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理，來研究其變化趨勢(shì)的。一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合

2、。長期趨勢(shì)變動(dòng)： 它是指時(shí)間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢(shì)。通常用Tt 表示。季節(jié)變動(dòng)：通常用St 表示。循環(huán)變動(dòng)： 通常是指周期為一年以上， 由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動(dòng)。通常用 Ct 表示。不規(guī)則變動(dòng)。通常它分為突然變動(dòng)和隨機(jī)變動(dòng)。通常用Rt 表示。也稱隨機(jī)干擾項(xiàng)。常見的時(shí)間序列模型：加法模型： yt= S+T+C+R；tttt乘法模型： yt= St·Tt ·Ct ·Rt ；2混合模型： yt= St·Tt + Rt ； yt= St + Tt·Ct·Rt

3、； Rt這三個(gè)模型中 yt 表示觀測(cè)目標(biāo)的觀測(cè)記錄，2) =2E( Rt ) = 0, E(R t如果在預(yù)測(cè)時(shí)間范圍以內(nèi)，無突然變動(dòng)且隨機(jī)變動(dòng)的方差2 較小，并且有理由認(rèn)為過去和現(xiàn)在的演變趨勢(shì)將繼續(xù)發(fā)展到未來時(shí)，可用一些經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。三、移動(dòng)平均法當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)值由于受周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響， 起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，可用移動(dòng)平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測(cè)序列的長期趨勢(shì)。移動(dòng)平均法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，加權(quán)移動(dòng)平均法，趨勢(shì)移動(dòng)平均法等。3.1 、簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)是在某一水平上下波動(dòng)時(shí)，可用一次簡(jiǎn)單移動(dòng)平均方法建立預(yù)測(cè)模型：.其預(yù)測(cè)目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為：當(dāng)然我們還

4、可以得到如下遞推關(guān)系：N的選取方式 :一般 N 取值范圍： 5 N 200。當(dāng)歷史序列的基本趨勢(shì)變化不大且序列中隨機(jī)變動(dòng)成分較多時(shí)， N 的取值應(yīng)較大一些。否則 N 的取值應(yīng)小一些。選擇不同的 N比較若干模型的預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差最小者為最好。3.2 、加權(quán)移動(dòng)平均法在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均公式中，每期數(shù)據(jù)在求平均時(shí)的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信息量不一樣， 近期數(shù)據(jù)包含著更多關(guān)于未來情況的信心。 因此，把各期數(shù)據(jù)等同看待是不盡合理的， 應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性， 對(duì)近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重， 這就是加權(quán)移動(dòng)平均法的基本思想。其中 wi 為yt-i+1權(quán)數(shù)，體現(xiàn)了相應(yīng)的yt 在加權(quán)平均數(shù)中的重要

5、性。在加權(quán)移動(dòng)平均法中，的選擇， ?同樣具有一定的經(jīng)驗(yàn)性。一般的原則是：近期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)?大，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)小。 至于大到什么程度和小到什么程度， 則需要按照預(yù)測(cè)者對(duì)序列的了解和分析來確定。3.3 、趨勢(shì)移動(dòng)平均法簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法，在時(shí)間序列沒有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際情況。但當(dāng)時(shí)間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法來預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)滯后偏差。因此， 需要進(jìn)行修正， 修正的方法是作二次移動(dòng)平均， 利用移動(dòng)平均滯后偏差的規(guī)律來建立直線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。這就是趨勢(shì)移動(dòng)平均法。一次移動(dòng)的平均數(shù)為二次移動(dòng)的平均數(shù)為.下面討論如何利用移動(dòng)平均的滯后偏差建

6、立直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型:設(shè)時(shí)間序列 yt 從某時(shí)期開始具有直線趨勢(shì)，且認(rèn)為未來時(shí)期也按此直線趨勢(shì)變化，則可設(shè)此直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為其中 t 為當(dāng)前時(shí)期數(shù)； T 為由 t 至預(yù)測(cè)期的時(shí)期數(shù)； at 為截距， bt 為系數(shù)，兩者均稱為平滑系數(shù)?？梢酝扑愠觯黑厔?shì)移動(dòng)平均法對(duì)于同時(shí)存在直線趨勢(shì)與周期波動(dòng)的序列，是一種既能反映趨勢(shì)變化，又可以有效地分離出來周期變動(dòng)的方法。四、指數(shù)平滑法一次移動(dòng)平均實(shí)際上認(rèn)為最近N 期數(shù)據(jù)對(duì)未來值影響相同，都加權(quán)1 ；而 N 期以前的?數(shù)據(jù)對(duì)未來值沒有影響，加權(quán)為0。但是，二次及更高次移動(dòng)平均數(shù)的權(quán)數(shù)卻不是1 ，且次?數(shù)越高，權(quán)數(shù)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，但永遠(yuǎn)保持對(duì)稱的權(quán)數(shù)，即兩端項(xiàng)權(quán)數(shù)

7、小，中間項(xiàng)權(quán)數(shù)大，不符合一般系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性。一般說來歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來值的影響是隨時(shí)間間隔的增長而遞減的。所以，更切合實(shí)際的方法應(yīng)是對(duì)各期觀測(cè)值依時(shí)間順序進(jìn)行加權(quán)平均作為預(yù)測(cè)值。 指數(shù)平滑法可滿足這一要求，而且具有簡(jiǎn)單的遞推形式。指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同， 又分為一次指數(shù)平滑法、 二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等，分別介紹如下：4.1 、一次指數(shù)平滑法其中 為加權(quán)系數(shù)。預(yù)測(cè)模型為：即.也就是以第 t期指數(shù)平滑值作為t +1期預(yù)測(cè)值。如何選擇加權(quán)系數(shù)?具體如何選擇一般可遵循下列原則：如果時(shí)間序列波動(dòng)不大，比較平穩(wěn)，則 應(yīng)取小一點(diǎn)，如（0.1 0.5）。以減少修正幅度，使預(yù)測(cè)模型能包含較長時(shí)間序列的

8、信息；如果時(shí)間序列具有迅速且明顯的變動(dòng)傾向，則 應(yīng)取大一點(diǎn)，如（0.6 0.8）。使預(yù)測(cè)模型靈敏度高一些，以便迅速跟上數(shù)據(jù)的變化。在實(shí)用上， 類似移動(dòng)平均法， 多取幾個(gè) 值進(jìn)行試算， 看哪個(gè)預(yù)測(cè)誤差小， 就采用哪個(gè)。如何確定初值 S0(1) ？具體如何選擇一般可遵循下列原則：當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在 20 個(gè)以上時(shí)，初始值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響很少，可選用第一期數(shù)據(jù)為初始值。如果時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較少，在 20個(gè)以下時(shí)， 初始值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響很大，這時(shí)， 就必須認(rèn)真研究如何正確確定初始值。一般以最初幾期實(shí)際值的平均值作為初始值。4.2 、二次指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢(shì)時(shí)，采用二次指

9、數(shù)平滑法其中 St(1) 為一次指數(shù)的平滑值； St(2) 為二次指數(shù)的平滑值。當(dāng)時(shí)間序列 yt ,從某時(shí)期開始具有直線趨勢(shì)時(shí)，類似趨勢(shì)移動(dòng)平均法，可用直線趨勢(shì)模型:進(jìn)行預(yù)測(cè)。4.3、三次指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)表現(xiàn)為二次曲線趨勢(shì)時(shí)， 則需要用三次指數(shù)平滑法。 三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次平滑，其計(jì)算公式為.式中 St (3) 為三次指數(shù)平滑值三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為：其中：選擇值的一些基本準(zhǔn)則:指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型是以時(shí)刻t為起點(diǎn)，綜合歷史序列的信息，對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測(cè)的。選擇合適的加權(quán)系數(shù)是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，的取值范圍一般以0.1 0.3為宜。值愈大，

10、加權(quán)系數(shù)序列衰減速度愈快， 所以實(shí)際上取值大小起著控制參加平均的歷史數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的作用。值愈大意味著采用的數(shù)據(jù)愈少。（ 1）如果序列的基本趨勢(shì)比較穩(wěn)，預(yù)測(cè)偏差由隨機(jī)因素造成，則值應(yīng)取小一些，以減少修正幅度，使預(yù)測(cè)模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息。（ 2）如果預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)已發(fā)生系統(tǒng)地變化，則值應(yīng)取得大一些。這樣，可以偏重新數(shù)據(jù)的信息對(duì)原模型進(jìn)行大幅度修正，以使預(yù)測(cè)模型適應(yīng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的新變化。如何確定初值？初始值可以取前 3 5個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為初始值。五、差分指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)具有直線趨勢(shì)時(shí)，用一次指數(shù)平滑法會(huì)出現(xiàn)滯后偏差，其原因在于數(shù)據(jù)不滿足模型要求。因此， 我們也可以從數(shù)據(jù)變換的角

11、度來考慮改進(jìn)措施，即在運(yùn)用指數(shù)平滑法以前先對(duì)數(shù)據(jù)作一些技術(shù)上的處理， 使之能適合于一次指數(shù)平滑模型， 以后再對(duì)輸出結(jié)果作技術(shù)上的返回處理， 使之恢復(fù)為原變量的形態(tài)。 差分方法是改變數(shù)據(jù)變動(dòng)趨勢(shì)的簡(jiǎn)易方法。5.1、一階差分指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列呈直線增加時(shí)，可運(yùn)用一階差分指數(shù)平滑模型來預(yù)測(cè)。.其中的 ? 為差分記號(hào)。第一個(gè)式子表示對(duì)呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構(gòu)成一個(gè)平穩(wěn)的新序列，第二個(gè)式子表示把經(jīng)過一階差分后的新序列的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值與變量當(dāng)前的實(shí)際值迭加，作為變量下一期的預(yù)測(cè)值。指數(shù)平滑值實(shí)際上是一種加權(quán)平均數(shù)。 因此把序列中逐期增量的加權(quán)平均數(shù) （指數(shù)平滑值）加上當(dāng)前值的實(shí)際數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)， 比

12、一次指數(shù)平滑法只用變量以往取值的加權(quán)平均數(shù)作為下一期的預(yù)測(cè)更合理。 從而使預(yù)測(cè)值始終圍繞實(shí)際值上下波動(dòng)， 從根本上解決了在有直線增長趨勢(shì)的情況下，用一次指數(shù)平滑法所得出的結(jié)果始終落后于實(shí)際值的問題。5.2二階差分指數(shù)平滑模型當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)二次曲線增長時(shí)，可用二階差分指數(shù)平滑模型來預(yù)測(cè)，計(jì)算公式如下：其中 ?2 表示二階差分。差分方法和指數(shù)平滑法的聯(lián)合運(yùn)用，除了能克服一次指數(shù)平滑法的滯后偏差之外，對(duì)初始值的問題也有顯著的改進(jìn)。因?yàn)閿?shù)據(jù)經(jīng)過差分處理后，所產(chǎn)生的新序列基本上是平穩(wěn)的。這時(shí)， 初始值取新序列的第一期數(shù)據(jù)對(duì)于未來預(yù)測(cè)值不會(huì)有多大影響。其次， 它拓展了指數(shù)平滑法的適用范圍， 使一些原來需要

13、運(yùn)用配合直線趨勢(shì)模型處理的情況可用這種組合模型來取代。 但是，對(duì)于指數(shù)平滑法存在的加權(quán)系數(shù)的選擇問題，以及只能逐期預(yù)測(cè)問題，差分指數(shù)平滑模型也沒有改進(jìn)。六、自適應(yīng)濾波法6.1、自適應(yīng)濾波法的基本過程自適應(yīng)濾波法與移動(dòng)平均法、 指數(shù)平滑法一樣， 也是以時(shí)間序列的歷史觀測(cè)值進(jìn)行某種加權(quán)平均來預(yù)測(cè)的， 它要尋找一組“最佳”的權(quán)數(shù)， 其辦法是先用一組給定的權(quán)數(shù)來計(jì)算一個(gè)預(yù)測(cè)值， 然后計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，再根據(jù)預(yù)測(cè)誤差調(diào)整權(quán)數(shù)以減少誤差。這樣反進(jìn)行，直至找出一組 “最佳” 權(quán)數(shù)， 使誤差減少到最低限度。 由于這種調(diào)整權(quán)數(shù)的過程與通訊工程中的傳輸噪聲過濾過程極為接近，故稱為自適應(yīng)濾波法。自適應(yīng)濾波法的基本預(yù)測(cè)公

14、式為：.其中為第 t+1 期的預(yù)測(cè)值， w i 為第 t-i+1期的觀測(cè)值權(quán)數(shù)，yt-i+1為第期的觀測(cè)值，N為權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)。其調(diào)整權(quán)數(shù)的公式為:式中 ?= 1， 2 ， ?，t = N, N + 1, ? n,n為序列數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，w i 為調(diào)整前的第 i個(gè)權(quán)數(shù)，為調(diào)整后的第 i個(gè)權(quán)數(shù)， k為學(xué)習(xí)常數(shù)，ei+1 為第 t+1期的預(yù)測(cè)誤差。該式表明調(diào)整后的一組權(quán)數(shù)應(yīng)等于舊的一組權(quán)數(shù)加上誤差調(diào)整項(xiàng)，這個(gè)調(diào)整項(xiàng)包括預(yù)測(cè)誤差、原觀測(cè)值和學(xué)習(xí)常數(shù)等三個(gè)因素。學(xué)習(xí)常數(shù)k的大小決定權(quán)數(shù)調(diào)整的速度。6.2N, k值和初始權(quán)數(shù)的確定在開始調(diào)整權(quán)數(shù)時(shí)，首先要確定權(quán)數(shù)個(gè)數(shù)N和學(xué)習(xí)常數(shù) k。一般說來，當(dāng)時(shí)間序列的觀測(cè)值

15、呈季節(jié)變動(dòng)時(shí)，N應(yīng)取季節(jié)性長度值。如序列以一年為周期進(jìn)行季節(jié)變動(dòng)時(shí)，若數(shù)據(jù)是月度的，則取N=12，若季節(jié)是季度的，則取N=4。如果時(shí)間序列無明顯的周期變動(dòng)，則可用自相關(guān)系數(shù)法來確定，即取 N為最高自相關(guān)系數(shù)的滯后時(shí)期。 k的取值一般可定為 1/N ，也可以用不同的 k值來進(jìn)行計(jì)算，以確定一個(gè)能使 S最小的 k值。初始權(quán)數(shù)的確定也很重要，如無其它依據(jù)，也可用 1/N 作為初始權(quán)系數(shù)用。自適應(yīng)濾波法有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)： 一是技術(shù)比較簡(jiǎn)單， 可根據(jù)預(yù)測(cè)意圖來選擇權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)和學(xué)習(xí)常數(shù)， 以控制預(yù)測(cè)。 也可以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)選定。 二是它使用了全部歷史數(shù)據(jù)來尋求最佳權(quán)系數(shù)， 并隨數(shù)據(jù)軌跡的變化而不斷更新權(quán)數(shù)，

16、 從而不斷改進(jìn)預(yù)測(cè)。 由于自適應(yīng)濾波法的預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)單，又可以在計(jì)算機(jī)上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，所以這種預(yù)測(cè)方法應(yīng)用較為廣泛。七、趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法趨勢(shì)外推法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)時(shí)資料， 尋求事物發(fā)展規(guī)律， 從而推測(cè)出事物未來狀況的一種比較常用的預(yù)測(cè)方法。利用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要包括六個(gè)階段：（ a）選擇應(yīng)預(yù)測(cè)的參數(shù)； （b ）收集必要的數(shù)據(jù)； （ c）利用數(shù)據(jù)擬合曲線； （ d）趨勢(shì)外推；（ e）預(yù)測(cè)說明；（ f）研究預(yù)測(cè)結(jié)果在進(jìn)行決策中應(yīng)用的可能性。趨勢(shì)外推法常用的典型數(shù)學(xué)模型有：指數(shù)曲線、修正指數(shù)曲線、生長曲線、包絡(luò)曲線等。7.1、指數(shù)曲線一般來說， 技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)的增長， 在其未達(dá)飽和之前的

17、新生時(shí)期是遵循指數(shù)曲線增長規(guī)律的，因此可以用指數(shù)曲線對(duì)發(fā)展中的事物進(jìn)行預(yù)測(cè)。指數(shù)曲線的數(shù)學(xué)模型為：y = y0 eKt其中系數(shù) y0 和K值由歷史數(shù)據(jù)利用回歸方法求得。對(duì)該式取對(duì)數(shù)得ln y = ln y0 + Kt，令Y = ln y ， A = ln y0 ，則 Y = A + Kt 。可利用最小二乘法求得 A和 K。7.2、修正指數(shù)曲線法利用指數(shù)曲線外推來進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，存在著預(yù)測(cè)值隨著時(shí)間的推移會(huì)無限增大的情況。這是不符合客觀規(guī)律的。因?yàn)槿魏问挛锏陌l(fā)展都是有一定限度的。例如某種暢銷產(chǎn)品，在其占有市場(chǎng)的初期是呈指數(shù)曲線增長的， 但隨著產(chǎn)品銷售量的增加， 產(chǎn)品總量接近于社會(huì)飽和量時(shí)。這時(shí)的預(yù)測(cè)

18、模型應(yīng)改用修正指數(shù)曲線。在此數(shù)學(xué)模型中有三個(gè)參數(shù)a， b， K要用歷史數(shù)據(jù)來確定。修正指數(shù)曲線用于描述這樣一類現(xiàn)象：.（ 1）、初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低。（ 2）、當(dāng) K > 0, ?< 0,0 < ?< 1 時(shí) ,t ,abt 0, 即當(dāng) K值可預(yù)先確定時(shí)， 采用最小二乘法確定模型中的參數(shù)。 而當(dāng) K值不能預(yù)先確定時(shí)， 應(yīng)采用三和法。把時(shí)間序列的n個(gè)觀察值等分為三部分，每部分有m期，即m = 3n第一部分： y1， y2， ? ， ym ；第二部分： ym+1 ， ym+2 ， ? ， y2m ；第三部分： y2m+1 ，y2m+2 ， ? ， y3m ；則：

19、是否適應(yīng)修正指數(shù)曲線？檢驗(yàn)方法是看給定數(shù)據(jù)的逐期增長量的比率是否接近某一常數(shù)b。即yt+1- yt byt -yt-17.3、Compertz 曲線.曲線的一般形式Compertz 曲線用于描述這樣一類現(xiàn)象：初期增長緩慢，以后逐漸加快。當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長率又逐漸下降。參數(shù)估計(jì)方法如下：對(duì)上式取對(duì)數(shù)得：記則仿照修正指數(shù)曲線的三和法估計(jì)參數(shù)，令其中則系數(shù)為是否適應(yīng) Compertz曲線？檢驗(yàn)方法是看給定數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)逐期增長量的比率是否接近某一常數(shù)bln yt+1- ln yt bln yt -ln yt-17.4、Logistic曲線（生長曲線）生物的生長過程經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展到成熟三個(gè)階段，在三個(gè)

20、階段生物的生長速度是不一樣的，例如南瓜的重量增長速度，在第一階段增長的較慢，在發(fā)展時(shí)期則突然加快，而到了成熟期又趨減慢，形成一條S形曲線，這就是有名的Logistic曲線（生長曲線） ，很多事物，如技.術(shù)和產(chǎn)品發(fā)展進(jìn)程都有類似的發(fā)展過程，因此Logistic曲線在預(yù)測(cè)中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。Logistic曲線的一般數(shù)學(xué)模型是式中 y為預(yù)測(cè)值， L為y的極限值， r為增長率常數(shù)，r>0Logistic曲線的一般形式為對(duì)上式做變換得仿照修正指數(shù)曲線的三和法估計(jì)參數(shù)，令則各個(gè)系數(shù)為：7.5趨勢(shì)線的選擇趨勢(shì)線的選擇有以下幾種方式。1由散點(diǎn)圖選擇趨勢(shì)線。2由數(shù)據(jù)本身的取值規(guī)律選擇趨勢(shì)線。3比較預(yù)測(cè)標(biāo)

21、準(zhǔn)誤差大小.當(dāng)有幾種趨勢(shì)線可供選擇時(shí)，應(yīng)選擇S最小的趨勢(shì)線。八、平穩(wěn)時(shí)間序列模型這里的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，其特性是序列的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化，即均值和協(xié)方差不隨時(shí)間的平移而變化。8.1、一般自回歸模型 AR(n)假設(shè)時(shí)間序列 Xt 僅與 Xt-1,Xt-2,? , Xt-n有線性關(guān)系， 而在 Xt-1,Xt-2 ,? ,Xt-n已知條件下，Xt 與 Xt-i 無關(guān)， ( i = n + 1, n + 2, ?) 。 at 是一個(gè)獨(dú)立于 Xt-1,Xt-2,? ,Xt-n的白噪聲序列，2at N(0, )。Xt = 1Xt-1 + 2 Xt-2 + ? + n Xt-n + at上式也可以表

22、示為：at = Xt - 1 Xt-1 -2Xt-2 - ?-n Xt-n可見 AR(n) 系統(tǒng)響應(yīng) Xt 具有 n階動(dòng)態(tài)性。 AR( n) 通過把 Xt 中依賴于 Xt-1、 Xt-2、 Xt-n 的部分消除掉之后，使得具有n階動(dòng)態(tài)性的序列 Xt 轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的序列at 。因此， AR(n) 擬合模型的過程也就是使相關(guān)序列獨(dú)立化的過程。8.2、移動(dòng)平均模型 MA(m)AR(n) 系統(tǒng)的特征是系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng) Xt 僅與其以前時(shí)刻的響應(yīng)Xt-1 ,Xt-2 ,? ,Xt-n 有關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)無關(guān)。如果一個(gè)系統(tǒng)在 t 時(shí)刻的響應(yīng)t X，與其以前時(shí)刻的響應(yīng)Xt-1 , Xt-2

23、,? ,Xt-n 無關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)at-1 ,at-2,? ,a t-m 存在著一定的相關(guān)關(guān)系，那么，這一類系統(tǒng)為系統(tǒng)MA(m) 。Xt = at - 1at-1 - 2 at-2 - ? - n at-m8.3、自回歸移動(dòng)平均模型一個(gè)系統(tǒng)，如果它在時(shí)刻t 的響應(yīng) Xt ，不僅與其以前時(shí)刻的自身值有關(guān)，而且還與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)存在一定的依存關(guān)系，那么，這個(gè)系統(tǒng)就是自回歸移動(dòng)平均系統(tǒng)。ARMA(n, m) 模型為X - Xt-1- X- ? - X= a - at-1- a- ? - at12 t-2n t-nt12 t-2n t-m對(duì)于平穩(wěn)系統(tǒng)來說，由于AR(n) 、

24、 MA(m) 、 ARMA ( n, m) 模型都是 ARMA(n, n - 1) 模型的特例，我們以ARMA(n, n - 1) 模型為一般形式來建立時(shí)序模型。九、 ARMA 模型的特征在時(shí)間序列的時(shí)域分析中，線性差分方程是極為有效的工具。事實(shí)上，任何一個(gè)ARMA模型都是一個(gè)線性差分方程。9.1、AR(1) 系統(tǒng)的格林函數(shù)格林函數(shù)就是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。AR(1) 模型為： Xt - 1 Xt-n= at設(shè)Xt-1= y( t ) ，則有y( t + 1) - 1 y(t) = at顯然這是一個(gè)一階非齊次差分方程，依次遞推下去得：Xt = 1 j at-jj=0.上式就是格林函數(shù)的解。方程解的系數(shù)函數(shù)1j 客觀地描述了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性，故這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)就叫做記憶函數(shù)，也叫格林函數(shù)。不妨另Gj ，顯然 G= 10= 1。j = 10定義后移算子 B，BXt = Xt-1 ， B2 Xt = Xt-2 ， ? ，這樣 AR(1) 可寫成(1 - 1 B) Xt = at解為：Xt = Gj at-jj=0由于格林函數(shù)就是差分方程解的系數(shù)函數(shù)，格林函數(shù)的意義可概括