橢圓-雙曲線拋物線必背的經(jīng)典結(jié)論.

1、新夢想教育輔導(dǎo)講義學(xué)員編號（卡號） ：年級：第課時學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：教師：課題授課時間：月日備課時間：月日教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求教學(xué)內(nèi)容橢圓雙曲線拋物線必背的經(jīng)典結(jié)論橢圓1. 點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1 F2 在點(diǎn) P 處的外角 .2.PT 平分 PF1 F2 在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相離 .4. 以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓 內(nèi)切 .5.x2y2x0 xy0 y1.若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓221上，則過 P0 的橢圓

2、的切線方程是22abab6.若P0 (x0 , y0 )a2b211、P2 ，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是a2b21x2y2外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為x0 xy0 y.在橢圓P7.x2y21(a b 0) 的左右焦點(diǎn)分別為F1， F 2 ，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為橢圓b2a2S F1PF2b2 tan.28.x2y21（a b 0）的焦半徑公式：橢圓b2a2|MF1 |aex0 , | MF2 |aex0 ( F1 ( c,0) , F2 (c,0) M (x0 , y0 ) ).9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F 作直線與橢圓相交P 、 Q兩點(diǎn)， A 為

3、橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的橢圓準(zhǔn)線于 M、N 兩點(diǎn)，則MF NF.10.過橢圓一個焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A 1 、A2 為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M，A2 P 和 A1 Q交于點(diǎn) N，則 MFNF.11.AB 是橢圓 x2y21的不平行于對稱軸的弦， M( x0 , y0 ) 為 AB的中點(diǎn)，則 kOMkABb2，a2b2a2b 2 x0即 KAB。a2 y012.若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓x2y21內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0x y0 y x0 2y0 2a2b2a2b2a2b2 .13.若 P

4、0 (x0 , y0 ) 在橢圓x2y21內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是x2y2x0 x y0 y.a2b2a2b2a2b2雙曲線1. 點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角 .2.PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT 上的射影H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .4.以焦點(diǎn)半徑PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切 . （內(nèi)切： P 在右支；外切：P 在左支）5.若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線x2y21x0 xy0 y1 .a2b2（ a 0,b 0）上，則過

5、P0 的雙曲線的切線方程是ba226.若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線x2y21（ a 0,b 0）外 ，則過 Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、 P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直a2b2x0 xy0 y1.線方程是a2b27.雙曲線 x2y21（ a0,b o）的左右焦點(diǎn)分別為 F1， F2 ，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)a2b2角形的面積為 S F PF2b2co t .128.雙曲線 x2y21 （a 0,b o）的焦半徑公式： ( F1 (c,0) ,F2 ( c,0)a2b2當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在右支上時， | MF1 |ex0a , |

6、MF2 |ex0 a .當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支上時， | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F 作直線與雙曲線相交P 、Q 兩點(diǎn)， A 為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M、 N 兩點(diǎn)，則 MFNF.10.過雙曲線一個焦點(diǎn)F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A2 為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1 P 和 A2 Q交于點(diǎn) M，A2P 和 A1Q交于點(diǎn)N，則 MF NF.11.AB 是雙曲線 x2y21（ a0,b 0）的不平行于對稱軸的弦， M(x0 , y0 ) 為 AB 的中點(diǎn)，則 K OMK A

7、Bb 2 x0 ，a2b2a2 y0即K ABb2 x0。a2 y012.若 P (x , y) 在雙曲線 x2y21（ a 0,b 0）內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0 xy0 yx02y02.000a2b2a2b2a2b213.若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線x2y21x2y2x0 x y0 y.a2b2（ a 0,b 0）內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2b2a2b2a橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)- （會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓1.a2b21（ a bo）的兩個頂點(diǎn)為A1 ( a,0),A2( a,0)，與 y 軸平行的直線交橢圓于P1、 P2 時 A1P1 與 A2P2 交

8、點(diǎn)橢圓 x2y2的軌跡方程是 x2y21.a2b22.過橢圓 x2y21(a 0, b 0) 上任一點(diǎn) A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，則直線 BC有定a2b2向且 kBCb2 x0（常數(shù)） .a2 y03.x2y21（ a b 0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F 2 是焦點(diǎn) ,PF1F2,PF2 F1，則若P為橢圓b2a2actanco t.ac224.設(shè)橢圓x2y21F1PF2,a2b2（ ab0）的兩個焦點(diǎn)為F1 、F2 ,P（異于長軸端點(diǎn)） 為橢圓上任意一點(diǎn)， 在 PF1F2 中，記PF1 F2,F1F2 P，則有since .sinasin5

9、.若橢圓 x2y21（a b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 0e21 時，可在橢圓上求一點(diǎn)P，a2b2使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 PF2 的比例中項(xiàng) .6.P 為 橢 圓 x2y 21 （ a b 0 ） 上 任 一 點(diǎn) ,F 1,F 2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a2b22a| AF2 | |PA|PF1|2a | AF1 |, 當(dāng)且僅當(dāng) A, F2, P 三點(diǎn)共線時，等號成立 .7.橢 圓(x x0 )2( y y0 ) 2Ax By C 0 有 公 共 點(diǎn) 的 充 要 條 件 是a2b21與直線A2a2B2b2( Ax0By0C)2 .8.已

10、知 橢 圓 x2y21 （ a b 0 ）， O 為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， P 、 Q 為 橢 圓 上 兩 動 點(diǎn) ， 且 OPOQ . （1）a2b24a2b2a2 b21111; （2）|OP|2 +|OQ|2 的最大值為; （ 3） S OPQ 的最小值是.|OP |2|OQ |2a2b2a2b2a2b29.過橢圓x2y21 （a b 0）的右焦點(diǎn)F 作直線交該橢圓右支于M,N 兩點(diǎn)，弦MN 的垂直平分線交x 軸于 P，則a2b2|PF |e|MN |.210.已知橢圓 x2y21（ a b0）,A 、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線與x 軸相交于點(diǎn) P( x0 ,0) ,則a2

11、b2a2b2x0a2b2.aa11.設(shè) P點(diǎn) 是 橢 圓 x2y21 （a b 0 ） 上 異于 長 軸 端 點(diǎn) 的 任 一 點(diǎn) ,F 1、F2 為其焦點(diǎn)記F1PF2， 則a2b2(1) |PF |PF |2b2.(2)S PFFb2 tan .121cos12212.設(shè) A、B 是橢圓x2y21PAB,PBA,BPA，a2b2（ a b0）的長軸兩端點(diǎn)， P 是橢圓上的一點(diǎn)，2ab2 | cosc 、 e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) |PA|.(2)tantan1 e2.(3)a2c2 cos2S PAB2a2b2b2a2 cot.13.已知橢圓 x2y21（ a b0）的右準(zhǔn)線 l

12、 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過橢圓右焦點(diǎn) F 的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn), 點(diǎn)Ca2b2在右準(zhǔn)線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC經(jīng)過線段 EF 的中點(diǎn) .14.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦三角形中, 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn). ）17. 橢圓焦三角形中 , 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比

13、e.18. 橢圓焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)- （會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）雙曲線1.雙曲線 x2y21 0）的兩個頂點(diǎn)為A1(a,0),A2 (a,0)，與 y 軸平行的直線交雙曲線于P1、 P2 時 A1P1（ a0,ba2b2x2y21 .與 A2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是2b2過雙曲線 x2y2a2.1（a 0,b o）上任一點(diǎn) A( x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C 兩點(diǎn)，則直a2b2線 BC有定向且 kBCb2 x0（常數(shù)） .a2 y03.若 P 為雙曲線 x2y21 （ a 0,b 0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的

14、任一點(diǎn),F1, F 2 是焦點(diǎn) ,PF1 F2,a2b2PF2 F1，則 catanco t（或 catanco t）.ca22ca224.設(shè)雙曲線x2y21 （a 0,b 0）的兩個焦點(diǎn)為F1 、F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1 F2 中，a2b2記 F1PF2,PF1 F2, F1F2 P，則有since .(sinsin) a5.若雙曲線 x2y21（a 0,b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 1 e21時，可在雙曲線a2b2上求一點(diǎn) P，使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d 與 PF2 的比例中項(xiàng) .6.P 為 雙 曲 線 x2y21 （

15、 a 0,b 0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則a2b2|AF2|2a|PA| PF1 |, 當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點(diǎn)共線且 P 和 A, F2 在 y 軸同側(cè)時，等號成立 .7.雙曲線 x2y21（ a0,b 0）與直線 AxByC0 有公共點(diǎn)的充要條件是A2 a2B2 b2C 2 .a2b28.x2y21（ ba0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q 為雙曲線上兩動點(diǎn)，且 OPOQ .已知雙曲線b2a24a2b2a2b2111122; （3） S OPQ（1）|OQ |2a2b2; （ 2）|OP| +|OQ|的最小值為a 2的最小值是b2.|OP |2b2a29.過

16、雙曲線 x2y21（a 0,b 0）的右焦點(diǎn)F 作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交x 軸a2b2于P，則 |PF|e .|MN |210.已知雙曲線 x2y21（ a 0,b 0）,A 、B 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x 軸相交于點(diǎn) P(x0 ,0) ,a2b2a2b2或 x0a2b2則 x0aa.11.設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線x2y21 （ a 0,b 0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1 、 F2 為其焦點(diǎn)記F1PF2，則a2b2(1) | PF1 | PF2 |12b2.(2)S PF1F2b2 cot.cos212.設(shè) A、B是雙曲線x2y21 （ a 0

17、,b0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，PAB,a2b2PBA,BPA， c、 e 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)|PA|2ab2 | cos| .| a2c2cos2|(2) tantan1e2 .(3)S PAB2a2 b2cot.b2a213.已知雙曲線 x2y210）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過雙曲線右焦點(diǎn)F 的直線與雙曲線相交于A、a2b2（ a0,bB 兩點(diǎn) , 點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點(diǎn) .14.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15.過雙

18、曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16.雙曲線焦三角形中 , 外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e( 離心率 ).( 注 : 在雙曲線焦三角形中, 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17. 雙曲線焦三角形中 , 其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).拋物線結(jié)論一：若 AB是拋物線 y2 2px( p 0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦） ，且 A(x , y ) ， B(x, y )，則： xxp2，y1y22 。1 12 21 2

19、4p結(jié)論二：（1）若 AB是拋物線 y22px( p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線 AB的傾斜角為 ，則AB2 P（ 0）。（ 2）焦點(diǎn)弦中通徑sin 2（過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。結(jié)論三：兩個相切： （1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。（2）過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。22 p結(jié)論四：若拋物線方程為y 2pxp( 0)， 0）的直線與之交于 A、 B 兩點(diǎn)，則 OA OB。反之也成立。，過（x，結(jié)論五： 對于拋物線 x22 py( p2 pt2 py 上動點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (2 pt，2 pt2) ， O 為拋物線的0) ，其參數(shù)方程為設(shè)拋

20、物線 x2y2 pt2，2 pt2t ，即 t的幾何意義為過拋物線頂點(diǎn)O 的動弦 OP 的斜率頂點(diǎn)，顯然 kOP2 ptA'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aO FB'B(X2,Y2)基礎(chǔ)回顧1. 以 AB為直徑的圓與準(zhǔn)線 L 相切；2.x1x2p2;43.y1y2p2 ;4. AC'B 90 ;5. A'FB ' 90 ;6.AB x1 x2p 2( x3p )2 p;2sin27.112AFBF;P8. A、 O、 B' 三點(diǎn)共線；9. B、 O、 A ' 三點(diǎn)共線；10.S AOBP2；2sin11.S 2AOBP3（定值）；AB( )212.AFP； BFPcos；11cos13. BC '垂直平分 B'F ；14. AC '垂直平分 A 'F；15. C'F AB ；16. AB 2P；17.CC '1 AB1( AA' BB') ；2218.K AB=P；y319.tany2;=x 2 - 2p20.A'B'2BF ;4 AF21.C'F1 A'B