第四篇 振動及波復習

1、振動、波動復習振動、波動復習一、振動一、振動1.簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程特征：特征： kxF0222 xtx dd動力學方程動力學方程mk運動學方程運動學方程（振動方程）（振動方程）)cos( tAxPkEEa,v 002020arctan)(xxA vv特征量特征量常見題：常見題：（1）證明某質點的運動是簡諧振動）證明某質點的運動是簡諧振動（2）求運動方程及各特征量）求運動方程及各特征量例例1 1 見習題見習題11-T3v0lkMgx 1kmgx 2 O OOOx解解： （1）以新平衡點為坐標原點，坐標方向向上為正。以新平衡點為坐標原點，坐標方向向上為正。在任一點在任一點 處

2、，彈簧的形變?yōu)椋禾帲瑥椈傻男巫優(yōu)椋簒xxx21又分析可知：又分析可知：如如 ，則彈簧為伸長，彈力向上為正，則彈簧為伸長，彈力向上為正，表示為：表示為： 021xxx)(21xxxkf彈如如 ，則彈簧為壓縮，彈力向下為負，則彈簧為壓縮，彈力向下為負，表示任為：表示任為： 021xxx)(21xxxkf彈則，合力為則，合力為gmMxxxkfff)()(21重彈合kxf合mMk（2）既然運動是簡諧振動，則此方程的通解為：）既然運動是簡諧振動，則此方程的通解為：)cos(tAx其中其中 由初始條件決定：由初始條件決定：、A 00vxv0lkMgx 1kmgx 2 O OOOx由題意可知：由題意可知：k

3、mgxt0 0而而 待求待求0vv0lkMgx 1kmgx 2 O OOOx油灰團上升，機械能守恒油灰團上升，機械能守恒gh2201202 vv02v碰撞，動量守恒碰撞，動量守恒020)vvmmM （0v0 x 002020arctan)(xxA vvNote:0, 000 vx因為因為，則，則為第四象限的角。為第四象限的角。勢能：勢能：221)xkgxmMEP （而而x xxx 21222121)(21kxxxkEP 勢能只是位置坐標的函數(shù)，如以新的平衡點為原點，則：勢能只是位置坐標的函數(shù)，如以新的平衡點為原點，則：221kxEP （3）求最大拉力）求最大拉力彈簧最大伸長出現(xiàn)在負的最大位移處

4、彈簧最大伸長出現(xiàn)在負的最大位移處Axxx 21maxOxv0lkMgx 1kmgx 2 O OOA2. 簡諧振動的三種表示方法簡諧振動的三種表示方法（1）解析法）解析法)cos( tAx（2）振動曲線）振動曲線txo（3）旋轉矢量法）旋轉矢量法Ao)cos( tAx)sin( tAv)cos(2 tAa速度比位移超前速度比位移超前2/ 加速度與位移反向加速度與位移反向常見習題：常見習題：（1）已知位相求狀態(tài)）已知位相求狀態(tài)（2）已知狀態(tài)求位相）已知狀態(tài)求位相（3）已知曲線求振動）已知曲線求振動例例2 見習題見習題11-T7解：解： （1）由狀態(tài)求位相）由狀態(tài)求位相 34 各象限位移、速度及加速

5、度的符號各象限位移、速度及加速度的符號m/s32)3/4sin(0 Av220m/s20)3/4cos( Aa 又由：又由： A則寫出運動方程：則寫出運動方程：)cos( tAx（2）重要概念）重要概念位相差的計算位相差的計算)()()(1212tttt 例例3 見習題見習題11-T6解：解：設：設：)cos( tAx又：又：s8 T則：則：4 當當 時時s 1 t0)4cos( A4 43 或或 （1）當當 時時s 0 tm106 . 5cos2 Am106 . 5)43cos(2 Am2106 . 5)4cos( A則：則：m1026 . 52 Amtx)44cos(1026 . 52 （

6、2）4 m)44sin(41026 . 5)(2 ttvm)44cos(41026 . 5)(22 tta當當 時時s 0 .10 tm1026 . 52 x方向為正方向為正m/s4106 . 52 v方向為負方向為負222m/s4106 . 5 a方向為負方向為負3. 簡諧振動系統(tǒng)的能量簡諧振動系統(tǒng)的能量221)(kxxEp )(cos21)(022 tkAtEp)(sin21)(022 tkAtEk)(21)(22xAkxEk 4. 簡諧振動的疊加（同頻率同方向）簡諧振動的疊加（同頻率同方向）)cos(111 tAx)cos(222 tAxmax ,221AAAk min ,) 12(21

7、AAAk , 2 , 1 , 0 k)cos( tAx cos2212221AAAAA22112211coscossinsintan AAAA 注意：疊加的矢量表示及應用注意：疊加的矢量表示及應用21AAA 1A2A3A常見習題：求振動的疊加，問什么情況下振動加強，什么情況常見習題：求振動的疊加，問什么情況下振動加強，什么情況下振動減弱。下振動減弱。例例4 兩個同方向同頻率的簡諧振動兩個同方向同頻率的簡諧振動)4sin()4cos(2211 tAxtAx 已知已知 A1=20cm, 合振動合振動 A = 40 cm , 則則 A2 =_。合振動與第二個諧振動的位相差為合振動與第二個諧振動的位相

8、差為_。)4cos()42sin(222 tAtAx 1AA2A分析：分析：由由知知 ：A1 比比 A2 超前超前 /2 20403206 不同頻率同方向簡諧振動的合成不同頻率同方向簡諧振動的合成 ttAtAtAxxx2cos2cos2 )cos()cos(12122121 慢變因子慢變因子快變因子快變因子兩因子合成兩因子合成慢變因子反應振幅隨時間變化。慢變因子反應振幅隨時間變化?？熳円蜃诱f明質點在做簡諧振動?？熳円蜃诱f明質點在做簡諧振動。拍頻拍頻12 振動頻率振動頻率212 x二、機械波二、機械波1. 機械波產生的條件、機制、機械波產生的條件、機制、特點特點（1）質元并未質元并未“隨波逐流隨

9、波逐流” 波的傳播不是媒質質元的傳播。波的傳播不是媒質質元的傳播。（2）后面的質點在前面的質點的作用下開始振動，但位相）后面的質點在前面的質點的作用下開始振動，但位相落后落后。 因此某一時刻各質點位置不同而形成波。因此某一時刻各質點位置不同而形成波。2. 波函數(shù)的建立波函數(shù)的建立Puxy（1）已知）已知 P 振動寫波函數(shù)振動寫波函數(shù))cos( tAyPP 點振動方程：點振動方程：沿波的傳播方向位相落后，沿波的傳播方向位相落后，寫出波函數(shù)：寫出波函數(shù)：)(cos uxxtAyP（2）已知）已知 某時刻某時刻 的波形寫波函數(shù)的波形寫波函數(shù)xyu0tt P首先由波形曲線可直首先由波形曲線可直接得到一

10、系列的特征量：接得到一系列的特征量： 、uA然后由然后由 P 點的振動位點的振動位及及速度方向速度方向可求出可求出 P 點點振動的初位相振動的初位相 并并寫出其振動方程：寫出其振動方程：P)cos(PPtAy 最后寫出波函數(shù)最后寫出波函數(shù))(cosPPuxxtAy （3）反射波波函數(shù)的建立）反射波波函數(shù)的建立振源振源 P 點的振動點的振動)cos(PPtAy P 點的振動引起一列波向點的振動引起一列波向x 軸正方向傳播，我們稱為入射波，軸正方向傳播，我們稱為入射波， 其波函數(shù)：其波函數(shù)：)(cosPPuxxtAy 入入入射波在入射波在 反射點反射點 Q 引起振動，引起振動，Q 點振動方程為：點

11、振動方程為：)cos( )(cosuxxtAuxxtAyPQPPPQQ 以以Q點為反射波波源，寫出反射波波函數(shù)：點為反射波波源，寫出反射波波函數(shù)：)(cos(uxxuxxtAyPQPQ 反反 NOTE: 建立入射波和反射波的波動方程時，要用建立入射波和反射波的波動方程時，要用同同一坐標系和一坐標系和 相同相同的時間起點。的時間起點。 x 一定一定 振動方程振動方程 t 一定一定 波形方程波形方程 x 、t 變變波形傳播波形傳播意義意義：波動是振動的傳播波動是振動的傳播常見問題：常見問題：（1）由波某時刻的波形，判斷某點的振動方向及求此點振動的）由波某時刻的波形，判斷某點的振動方向及求此點振動的

12、 初位相。初位相。（2）已知振動寫出波動，反之，已知波動求某點的振動方程。）已知振動寫出波動，反之，已知波動求某點的振動方程。（3）由波形曲線，求各特征量。）由波形曲線，求各特征量。例例5 已知已知 x= /2 處質點振動方程為：處質點振動方程為： )cos(2 tAy寫出波函數(shù)？寫出波函數(shù)？)2(cos uxtAy解：解：例例5 已知已知 t=t=0 0 時刻的波形曲線，寫出波函數(shù)：時刻的波形曲線，寫出波函數(shù)：解：解：23 ,22s4T, m2,m500 TuAm)232cos(500 tyO 點振動方程：點振動方程：波函數(shù)：波函數(shù)：m23)50(2cos50 xty討論：討論：若右圖若右圖

13、為為 t=2s 時的波形，又如何？時的波形，又如何？先找出先找出 O 點的初位相點的初位相23222300 t20 波函數(shù)：波函數(shù)：2)50(2cos50 xty3. 波的疊加及干涉波的疊加及干涉S1S2P1r2r 兩波源的振動兩波源的振動 111cos tAy 222cos tAyS1:S2: 兩列波在兩列波在 P 點分別所引起的振動點分別所引起的振動 1111cos urtAy 2222cos urtAyP1:P2: 兩個分振動的位相差：兩個分振動的位相差： urr1212 P 點的合振動仍為簡諧振動點的合振動仍為簡諧振動 tAurtAurtAyyypcoscoscos22211121合合

14、其中其中： cos22122212AAAAA合合2 AI正正比比于于 cos2 2121IIIII合合 振動加強區(qū)振動加強區(qū)2, 1,0 2 kk 21AAA 合合21212IIIII 合合 振動減弱區(qū)振動減弱區(qū) 2, 1,0 12 kk 21AAA 合合21212IIIII 合合特殊情況：特殊情況：21 urr12 振動加強區(qū)振動加強區(qū)2, 1,0 12 kkrr 振動減弱區(qū)振動減弱區(qū)2, 1, 0 2112 kkrr 常見問題：求波的疊加及干涉加強區(qū)和減弱區(qū)常見問題：求波的疊加及干涉加強區(qū)和減弱區(qū)例例6 同一媒質中的兩個相干波源，分別位于同一媒質中的兩個相干波源，分別位于 x1 = 3.5

15、m 和和 x2 = 4 . 5 m 處 ， 其 振 幅 均 為處 ， 其 振 幅 均 為 A ， 頻 率 都 是， 頻 率 都 是 1 0 0 H z ， 波 速， 波 速 u=400ms1 ，媒質無吸收，當，媒質無吸收，當 x1 處的質元振動位于正最處的質元振動位于正最 大位移時，大位移時，x2 處質元恰經(jīng)過自己的平衡位置朝負方向運動。處質元恰經(jīng)過自己的平衡位置朝負方向運動。求：求： Ox 軸上因干涉保持靜止的各點位置軸上因干涉保持靜止的各點位置 1x2xo)m(xx1r2rP53 54 解：解：2)12(12 krr請問能否用公式請問能否用公式直接計算直接計算?01 2/2 應該應該用公式

16、用公式 urr1212 其中：其中：212 22xxr 11xxr （1）考慮）考慮 x1 左邊的情形左邊的情形xxxxr 222xxxxr 111 022121212 xxuxx則：則：即即 x x2 的點振動均減弱的點振動均減弱NOTE:實現(xiàn)電磁波的定向輻射實現(xiàn)電磁波的定向輻射（3）考察兩者之間的點）考察兩者之間的點xxxxr 222111xxxxr 4282221212xuxxx 則：則：當當 )12( k 干涉靜止，干涉靜止， 于是有：于是有： ) 12(42822kx5 . 42 kx 5 . 6 5 . 4 5 . 2 、 x可見兩者之間沒振動減弱的點，也可證明兩者之間也沒加強點。

17、可見兩者之間沒振動減弱的點，也可證明兩者之間也沒加強點。4. 駐波駐波兩列振幅相同的相干波，反向傳播迭加干涉而成分段兩列振幅相同的相干波，反向傳播迭加干涉而成分段振動，波節(jié)同側位相相同，波節(jié)兩側位相相反。振動，波節(jié)同側位相相同，波節(jié)兩側位相相反。常見問題：常見問題：（1）求駐波方程。）求駐波方程。駐波是由于兩反響相干波的疊加，因此方程一定可分為兩部駐波是由于兩反響相干波的疊加，因此方程一定可分為兩部分，一部分是時間的函分，一部分是時間的函 數(shù)，另一部分是空間的函數(shù)數(shù)，另一部分是空間的函數(shù) 。形如：形如：.)cos(.)cos(.2txAy 駐駐（2）分析波節(jié)、波腹的位置）分析波節(jié)、波腹的位置例

18、例7 如圖，如圖， 已知入射波的已知入射波的 A， ， ，C 點為點為自由端自由端 t= 0 時、時、O 點點合振動經(jīng)平衡位置向負向運動合振動經(jīng)平衡位置向負向運動求：（求：（1 1）B點合振動方程？點合振動方程？ （2 2）OC 段波腹、波節(jié)的位置？段波腹、波節(jié)的位置？ oxBCxy解（解（1）22cos )(2cos00 xtAuxtAy入入2322cos)872(2cos00 xtAuxtAy反反在在 x=0 處合振動方程為處合振動方程為)432cos(200 tAy合合)4 2cos(20 tA此點合振動的初位相為此點合振動的初位相為4 2400 87 2 )43 2cos()432co

19、s(20 txAy駐駐)2cos(00 tAy?)4432cos()432cos(2 txAy 駐駐)22cos()432cos(2 txAy 駐駐B 點（點（x= /2）的合振動方程為：）的合振動方程為：)22cos(2 tAyB （2） 432 x2)12( kk波腹波腹 87 , 83 x81 , 85 x波節(jié)波節(jié))22cos()4322cos(2 tAyB 4 oxBCxy87 2 5. 多譜勒效應多譜勒效應 SRuuvv 4靠近運動，取上面符號靠近運動，取上面符號遠離運動，取下面符號遠離運動，取下面符號注意注意這里可出綜合題。寫振源的振動方程、入射波方程、求反射這里可出綜合題。寫振源

20、的振動方程、入射波方程、求反射壁測得頻率、寫反射波方程、求駐波、求探測器所測拍頻等。壁測得頻率、寫反射波方程、求駐波、求探測器所測拍頻等。6. 波的能量波的能量特點：媒質元動能、媒質的形變勢能同步變化。某點的總能量不特點：媒質元動能、媒質的形變勢能同步變化。某點的總能量不 守恒。守恒。 注意與振動能量相區(qū)別注意與振動能量相區(qū)別能流密度平均值（波的強度）能流密度平均值（波的強度）22221AuwAuwSPiI 注意行波與駐波能量的區(qū)別注意行波與駐波能量的區(qū)別 常見題目：有關能量的計算及其特點的簡單應用常見題目：有關能量的計算及其特點的簡單應用例例8 如圖所示。該時刻，如圖所示。該時刻，能 量 為 最 大 值 的能 量 為 最 大 值 的媒質元的位置是媒質元的位置是。 a a，c c，e e，g g 例例9 見習題見習題11-T18220211 AwdtTwT uAuwSPiI2221 其它題目：其它題目：例例10 已知入射波已知入射波 t 時刻的波動曲線，問：時刻的波動