大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽5

1、大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽5上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)2例例1 1 設(shè)設(shè)解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)( )(1)(2)(100),(0).f xx xxxf 求求上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)3解解,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf0,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 0)0()0( ff; 0)0( f02,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí);43)(2xxxf 20,xx 當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí);43)(2xxxf 二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)

2、性二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性例例1 設(shè)設(shè)( )(2) ,( ).f xx x xfx 求求先去掉絕對(duì)值先去掉絕對(duì)值上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)42,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff( )2.f xx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo) , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)5例例2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)2,1( ),1xxf xaxbx 試

3、確定試確定a、b的值，使的值，使f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。解解 可導(dǎo)一定連續(xù)，可導(dǎo)一定連續(xù)，f(x)在在x=1處也是連續(xù)的。處也是連續(xù)的。由由 211(10)lim( )lim1xxff xx 11(10)lim( )lim().xxff xaxbab 要使要使f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，必須有處連續(xù)，必須有 a+b=1.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)6又又 1( )(1)(1)lim1xf xffx 211lim1xxx 1lim(1)2xx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 11lim1xaxbx 1(1)lim1xa xax a+b=1

4、.要使要使f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，必須處可導(dǎo)，必須 (1)(1).ff 即即 a=2.故當(dāng)故當(dāng)a=2, b=- -1時(shí)時(shí), f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)處可導(dǎo).上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)7三、運(yùn)用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)或微分三、運(yùn)用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)或微分 ( )(ln ),f xyfxe例例1 設(shè)設(shè)f(x)可微，可微， 求求dy. 解解()()(ln )(ln )f xf xdyfx deedfx ( )( )(ln )f xfx efx dx ()1(ln )f xfx edxx ( )1( ) (ln )(ln )f xefx fxfx dxx(要求要求

5、非常熟練非常熟練地運(yùn)用地運(yùn)用) 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)8例例22221111arctan 1ln,.2411xyxyx 設(shè)設(shè)求求解解21,ux設(shè)設(shè)111arctanln,241uyuu 則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)9例例3022,.54txttdydxytt t 設(shè)設(shè)求求解解分析分析: :0,tt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在0,dx dytdtdt當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)不不存存在在不能用公式求導(dǎo)不能用公式求導(dǎo). .t

6、ttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt . 0 00.tdydx 故故上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)10cos(sin ),.xyxxy 設(shè)設(shè)求求例例4解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)11四、求切線方程和法線方程四、求切線方程和法線方程解解 由已知條件可知由已知條件可知 (0)0,f 2(arctan)02(0)1.1xxefx 故所求切線方程為故所求切線方程為 .yx

7、 2lim( )nnfn 2( )(0)lim22nffnn 2(0)2f 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)12解解 曲線的參數(shù)方程為曲線的參數(shù)方程為 2(1cos )coscoscos,(1cos )sinsinsin cos .xy 66dydyddxdxd 226coscossinsin2cos sin 1.因此因此上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)13故切線方程故切線方程 13331 ().2424yx即即 3530.44xy 法線方程法線方程 1333(),2424yx 即即 1130.44xy 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與

8、計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)14解解 由題設(shè)可知由題設(shè)可知 (6)(1),ff (6)(1).ff 故切線方程為故切線方程為 (1)(1)(6).yffx 由由f(x)連續(xù)性連續(xù)性 0lim(1sin)3(1sin)2(1).xfxfxf 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)15由所給條件可知由所給條件可知 0lim(1sin)3(1sin)2(1).xfxfxf 2 (1)0,f (1)0.f 即即再由條件可知再由條件可知 0(1sin )3 (1sin )limsinxfxfxx 08( )lim()8sinsinxxxxx 令令 sin,xt 0(1)3 (1)lim8.t

9、ftftt 可得可得 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)160(1)3 (1)lim8.tftftt (1)0.f 又又0(1)3 (1) limtftftt00 (1)(1)(1)(1)lim3lim()ttftfftftt (1)3(1)ff 4(1)f . 8 則則 (1)2.f 所求切線方程為所求切線方程為 02(6),yx 即即 2120.xy 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)171、求二階導(dǎo)數(shù)求二階導(dǎo)數(shù) 五、高階導(dǎo)數(shù)五、高階導(dǎo)數(shù)66sinc1os.yxxy 例例，求求2323(sin)(cos)yxx4224sinsincoscos

10、xxxx 222(sincos)xx231sin 24x38y 24 33ab ()ab 22()aabb 53cos488x cos(4)x 21cos2sin2 223sincosxx 解解 6cos4 . x 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)18例例2解解33cos.sinxatyat 求求由由方方程程表表示示的的函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)

11、下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)19d dyx ( )t ft ( )ft , t 22d dyx ( )ft 解解 ( ),xft ( )0,ft 22d.dyx( )( ).ytftf t 且且例例3 設(shè)設(shè)求求1上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)20例例4 4解解002000,cos ,1sin,2(1);(2).vxv tyv tgttt 不不計(jì)計(jì)空空氣氣的的阻阻力力 以以初初速速度度發(fā)發(fā)射射角角發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈 其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程為為求求炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻 的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻 的的速速度度大大小小xyovxvyv0v00(1),

12、tt在在 時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向即即軌軌跡跡在在 時(shí)時(shí)刻刻的的切切線線方方向向.可可由由切切線線的的斜斜率率來(lái)來(lái)反反映映上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)21)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt0(2),tx y炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻沿沿軸軸方方向向的的分分速速度度為為00)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 0t在在 時(shí)時(shí)刻刻炮炮彈彈的的速速度度為為22yxvvv 2020020sin2tggtv

13、v 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)22例例5 5441,(0,1).xxyyy 設(shè)設(shè)求求在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的值值解解x方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)得得)1(04433 yyyxyx0,1xy 代代入入得得;4110 yxy(1)x將將方方程程兩兩邊邊再再對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)得得04)(122123222 yyyyyxyx0114xyy 得得0,1,xy 代代入入.16110 yxy上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)232. n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) ,uvn設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 和和 具具有有 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(

14、nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)2422( )(0,0),.yxyf xyx xyd ydx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定 求求例例6解解兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln1ln1xyyx lnln ,yyxx 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy上一頁(yè)上一

15、頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)25常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)262( )241,.1nxyyx 設(shè)設(shè)求求例例1解xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()1