正弦定理與余弦定理

1、正弦定理與余弦定理一、三角形中的各種關(guān)系設(shè)ABC的三邊分別是a,b,c，與之對應(yīng)的三個角分別是 A,B,C.那么有如下關(guān)系：1、三角關(guān)系三角形中三角之和為三角形角和定理，即 ABC ，；2、邊與邊的關(guān)系三角形中任意兩條邊的和都大于第三邊，任意兩條邊的差都小于第三邊，即a b c, a c b,b c a ； a b c,a c b, b c a ；3、邊與角的關(guān)系1正弦定理三角形中任意一條邊與它所對應(yīng)的角的正弦之比都相等，即a bsin Asin Bcsin C2R這里，R為ABC外接圓的半徑注1：I丨正弦定理的證明:在 ABC 中，設(shè) BC a, AC b, AB c里，R為ABC外接圓的半

2、徑證：法一平面幾何法：在 ABC中，作CH AB，垂足為H證明:sin Absin Bcsin C2R這那么在Rt AHC中，si nACHAC；在 Rt BHC 中,sin BCHBCCH bsi nA,CH asi nBbsi n A a sin B即sin A sin B同理可證:bsin Bcsin C于是有asin Absin Bcsi nC作ABC的外接圓。O,設(shè)其半徑為R連接BO并延長，那么可得到。O的直徑BD，連接DA因為在圓中，直徑所對的圓周角是直角所以 DAB 90°于是在Rt DAB中，sin DABBDc2R又因為在同一圓中，同弧所對的圓周角相等所以DCccc

3、2Rsi nCsin Dc2R故abc2R這里，R為ABC外接圓的半徑sin Asin Bsin C法二平面向量法U正弦定理的意義：正弦定理指出了任意三角形中三邊與其對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式,也就是任意三角形的邊角關(guān)系川正弦定理適用的圍：i三角形的兩角與一邊，解三角形；ii三角形的兩邊與其中一邊所對應(yīng)的角，解三角形;iii丨運用a : b : c si nA: si n B : si nC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系注2:正弦定理的一些變式：ia : b: c sin A: sin B : sin C ；iiabsin A,sin B,sin Cc2R2R2R ；iiia 2Rsin A,b 2

4、Rsin B,c2Rsin C .注3：三角形是確定的，那么在運用正弦定理解該三角形時，其解是唯一的;三角形的兩條邊和其中一條邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其 解是不確定的，此時可結(jié)合平面幾何作圖的方法、“大邊對大角，大角對大 邊'定理與三角形角和定理解決問題 .例1.ABC中，a,b分別為角A,B的對邊，假設(shè)B 60°,C 75°,a 8，那么b例2.ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c, A ,a3,b 1，那么c3例 3.在 ABC 中，b ，3,B 60o,c 1，求 a和 A,C.例 4.在 ABC 中， B 2 A,BC 2,AB 2

5、 2爲(wèi)，那么 A .例5. ABC中，角A,B所對的邊分別是a,b，假設(shè)acosB bcosA,那么ABC定是A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2余弦定理 三角形中任意一條邊的平方等于其他兩條邊平方的和減去這兩條邊與它們夾角的余弦的乘積的2倍，即2 2 2 2 2 a b c 2bccos A， b c2 2 22cacosB， cab 2abcosC .注1：I丨余弦定理的證明: 法一平面幾何法在 ABC中，作CH AB，垂足為那么在Rt ahc中，叫CC chcos AAH AHAC bCH bsin A, AH bcosABHABAHc b cos A在Rt C

6、HB中，由勾股定理有BC2CH 2BH 2于是有a2 (bsi nA)2 (c b cos A)22 2 2 2b (sin A cos A) c.2 . 2 A b sin A22bccos A b2c2c2bccos A b2 cos2 A2bccos A2b 2abcosC .同理可證：b2 c2 a2 2cacosB， c2法二平面向量法U余弦定理的意義:余弦定理是提醒三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類三角形 兩邊與夾角求第三邊或者是三個邊求角的問題，假設(shè)對余弦定理加以變形并 適當(dāng)結(jié)合其它知識，那么使用起來更為方便、靈活。川余弦定理適用的圍:i三角形的三條邊，可求出其三個角

7、；ii三角形的兩條邊與它們之間的夾角，可求出其第三條邊；iii三角形的兩條邊與其中一條邊所對應(yīng)的角，可求出其另兩個角與第三 條邊.注2:余弦定理的變式:,222b c acos A ; cos B2bcc2a2 b22cacosC2 , 2 2 a b c2ab注3:常選用余弦定理判定三角形的形狀;注4:求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理 實現(xiàn)邊角互化.例1.在ABC中，三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長例2.如以下圖所示，在四邊形 ABCD中, ADCD, AD 10, AB 14，BDA 60°， BCD 135°

8、;,求 BC 的長.例 3.在 ABC 中，BC 5,AC 4,cos( A B)7，那么 cosCAB.C.16D.3165 / 133面積公式:1i丨常規(guī)方法：S ABC -a ha ；111ii三角函數(shù)法：S abcabsinCacsinBbcsin A ；2 2 2iii 丨海倫公式：Sabc 一 P(P a)(p b)(p c) r p.ABC切參這里，ha為邊a的高線；p為ABC周長的一半，即p a 2 ° ； r為圓的半徑例1.在ABC中，假設(shè)三邊為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角為鈍角.1求該最大角；2求以此最大角為角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積考數(shù)據(jù)：cos71

9、o 0.25例2.在ABC中，角代B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c，a2 c2 2b2.(1)假設(shè)B ，且A為鈍角，求角A與C的大小;42假設(shè)b 2，求 ABC面積的最大值.二、關(guān)于三角形角的常用三角恒等式由三角形角和定理：ABC ，有A (B C)由此可得到：si nA si n(B C), cos A cos(B C)；于是得到:.A B C A . B C sin cos , cos sin2 2 2 2三、三角形的度量問題：即所謂的求邊、角、周長、面積、圓半徑等問題1求角角邊的適用定理是正弦定理；2求邊邊角的適用定理是正弦定理或余弦定理；3求邊邊邊、邊角邊的適用定理是余弦定理.注：在解決

10、“邊邊角 a,b,A類型的題目時，假設(shè)利用正弦定理求角，那么應(yīng)判定三角形的個數(shù)：假定：A 90o , 假設(shè)a b，那么有一解； 假設(shè)a b，那么當(dāng)a bsi nA時，有兩解；當(dāng)a bs in A時，有一解；當(dāng)a bsi nA時，無解；假定：A 90o， 假設(shè)a b，那么有一解； a b，那么無解.四、三角形形狀的判定方法1角的判定；3綜合判定;4余弦定理判定.注：余弦定理判定法：假設(shè)c是ABC的最大邊，那么： a2 b2 c2ABC是銳角三角形； a2 b2 c2ABC是鈍角三角形； a2 b2 c2ABC是直角三角形.注：關(guān)于銳角三角形有以下等價結(jié)論：三角形是銳角三角形三角都是銳角任意兩角和

11、都是鈍角三角的余弦值均為正值 任意兩條邊的平方和都大于第三邊的平方五、高考真題整理/6，B 120°，1. 設(shè)ABC的三角A,B,C的對邊分別為a,b,c，假設(shè)c 、2，b那么a A.、6B.2C.3D.,22. 如果等腰三角形的周長是底邊邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值是A.A18B.C.D.3. 在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，假設(shè)、3b ccos A acosC，那E么 cos A .14、在 ABC中，B -，BC邊上的高等于BC，那么cos A.436 ABC的三邊長分別為3 , 5 , 7，那么該三角形的外接圓半徑等于 .7、在厶 ABC中, B=45

12、,D 是 BC邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=,求 AB的長.8、在 ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c，c 2,C-.1假設(shè) ABC的面積等于，求a,b ；2假設(shè) sin C sin(B A) 2s in 2 A，求 ABC 的面積.9、設(shè)函數(shù) f(x) sinxcosx sin2(x ) x R.41求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；2在銳角 ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c.假設(shè)Cf(2)0，c 2，求ABC面積的最大值.10、向量 m (?,sin x)， n (1,sinx 、3cosx)，函數(shù) f(x) m n.1試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；2假設(shè)

13、ABC的三個角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，角B滿足f(B) 3，且b 3，試求 ABC面積的最大值.11、在ABC中，角A , B , C所對應(yīng)的邊分別為a , b , c，且a 4 ,cosA 4 , sinB5-7164.1求 b ；2求ABC的周長.12、設(shè)ABC三個角A , B , C所對的邊分別為a , b , c. c3a cosA bcosB .(1)求角A的大小;PC 2.過點P分別作直與此時的取值.(2)如以下圖，在 ABC的外角 ACD取一點P，使得 線CA、CD的垂線，垂足分別是M、N.設(shè)13、ABC 的角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c. 2cosC(

14、acosB b cos A) c .1求 C ；假設(shè)c 7 , ABC的面積為；、3，求 ABC的周長.14、在 ABC 中，a2 c2 b2、2ac.1求B的大小;2求 2 cosA cosC的最大值.15、ABC的角A , B , C所對的邊分別為a , b , c.向量m (a,、3b)與n (cos A,sin B)平行.1求 A ;2假設(shè)a ,7 , b 2，求ABC的面積.16、如圖，扇形的圓心角 AOB -，半徑為4 2，假設(shè)點C是AB上一動點3不與點A，B重合.1假設(shè)弦BC 4(.3 1)，求BC的長;2求四邊形OACB面積的最大值.【解析】1在 OBC 中，BC 4( . 3

15、 1)，OB OC 4、2OB2 OC2 BC23232 16(423)COS BOC2OB OC2 32由余弦定理，有32.3、3642BOC 6于是的長為6 42手2設(shè) AOC(03那么 BOC -3于是四邊形OACB的面積S四邊形oacb S AOC S BOC11-OA OC sin AOC -OB OC sin BOC -1i-42 4、. - sin - 4、2 4 - sin()-3罷116sin 16 cos ( )sin -4sin8,3cos16、.3si n()6- 又(0，-)3故當(dāng)63時'四邊形OACB的面積最大'且最大值為儂317、在厶ABC中，假設(shè)AB - , AC 、-BC，求S ABC的最大值.【解析】法一由余弦定理，有cosB- -,-a c b-ac- 2,2a 4 -a 4 a4a4aS ABCacsin B-2a - 1-cOs-"16 8a- a416a-4a- 16(a- 1-)-1-816161- / 13故當(dāng)a212，即 a 2.3 時,S abc最大，且SABC max.8 22又由三角形三邊關(guān)系，有：abC，即 ax2a ,2a a 2 ,2a a 2 a .2a 2 a 、2a 2 2a a 2 2a a 2 a . 2a 2 a 2a 2