四節(jié)平面方程ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 平面方程平面方程一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的普通式方程二、平面的普通式方程三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程四、兩平面間的關(guān)系四、兩平面間的關(guān)系一 、平面的點(diǎn)法式方程 假設(shè)向量n垂直于知平面，那么稱向量n為平面 的法線向量. 假設(shè)知平面過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，且向量n=(A,B,C)為法線向量.可用向量運(yùn)算建立平面的方程.nM0M=0. 設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)為平面 上的恣意一點(diǎn)，那么M0M=(xx0,yy0,zz0)必定位于平面上.由于向量n垂直于平面，因此n必垂直于平面上的任一向量，從而有nM0M，那么由兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示法可得(1) 0)

2、()()(000，zzCyyBxxA方程(1)即為過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)為法線向量的平面方程.稱為點(diǎn)法式方程.例1 求過(guò)點(diǎn)(1,2,1)，且以n=(2,1,1)為法線向量的平面方程.解 由平面的點(diǎn)法式方程可知，過(guò)點(diǎn)(1,2,1)，且以n=(2,1,1)為法線向量的平面方程為2(x1)+(y2)(z+1)=0.二 、平面的普通式方程 假設(shè)將平面的點(diǎn)法式方程變形并記 那么可化為方程,000CzByAxDAx+By+Cz+D=0， (2)這闡明過(guò)點(diǎn)M0且垂直于一知向量的平面總可以表示為x，y，z的一次方程.0)()()(000zzCyyBxxA 反過(guò)來(lái)，對(duì)于任給三元一次方

3、程(2)，總有解x0，y0，z0，即有Ax0+By0+Cz0+D=0. (3)式(2)減去式(3)，可得，0)()()(000zzCyyBxxA即闡明任何一個(gè)三元一次方程總表示平面.因此稱式(2)為平面的普通式方程.例2 研討平面Ax+By+Cz=0的幾何特性.解 留意到原方程等價(jià)于 A(x0)+B(y0)+C(z0)=0,這表示所給平面為過(guò)原點(diǎn)O(0,0,0)，且以n=(A,B,C)為法線向量的平面.即Ax+By+Cz=0表示過(guò)原點(diǎn)的平面.例3 研討Ax+By+D=0所表示平面的幾何特性.解 所給平面的法線向量n=(A,B,0). 而z軸的方向向量為(0,0,1).由兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示法

4、可得 (A,B,0)(0,0,1)=A0+B0+01=0,可知n與z軸垂直.因此平面Ax+By+D=0平行于z軸.特別當(dāng)C=D=0時(shí)，平面Ax+By=0過(guò)z軸. 同理可知Ax+Cz+D=0和By+Cz+D=0分別表示平行于y軸和x軸的平面.例4 研討平面Cz+D=0的幾何特性.解 易知所給平面法線向量n=(0,0,C)與z軸的方向平行.同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐標(biāo)面；By+D=0表示平行于Oxz坐標(biāo)面的平面.因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐標(biāo)平面的平面.例5 求過(guò)x軸，且過(guò)點(diǎn)(1,1,1)的平面方程.解 設(shè)過(guò)x軸的平面方程為By+Cz=0.由于平面過(guò)點(diǎn)(1,1,1)，因此有BC=

5、0，即B=C.將其代入所設(shè)方程并化簡(jiǎn)可得y+z=0為所求平面方程.例6 知空間中的點(diǎn)M1(2,0,1)，M2(1,1,1)，M3(3,2,1)，求過(guò)這三點(diǎn)的平面方程.解法1 設(shè)n為所求平面的法線向量.由于M1，M2，M3在 所求平面上，因此M1M2=(12,10,1(1)=(3,1,2),M1M3=(32,20,1(1)=(5,2,2),M1M2， M1M3在所求平面上.即有nM1M2，且nM1M3.由平面的點(diǎn)法式方程，可得2(x2)4(y0)+(z(1)=0,即 2(x2)4y+(z+1)=0 為所求平面方程.42225213 kjikji3121MMMM n可取解法2 可以利用平面的普通式

6、方程，設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0.由于平面過(guò)點(diǎn)M1，M2，M3.因此這三點(diǎn)的坐標(biāo)必定滿足平面方程，即有，023, 0 , 0 2DCBADCBADCA,33432DCDBDA，代入所設(shè)平面方程并化簡(jiǎn)可得2x4y+z3=0. 三、平面的截距式方程 設(shè)平面過(guò)點(diǎn)M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三點(diǎn)，下面研討平面的方程(其中a，b，c皆不等于0).設(shè)平面的方程為 Ax+By+Cz+D=0.由于M1(a,0,0)在平面上，. aDA即., cDCbDB同理有因此 Aa+D=0,1czbyax將A，B，C代入所設(shè)的平面方程并化簡(jiǎn)可得即為所求方程.稱為平面的截距式方程

7、.稱a，b，c為平面在x軸，y軸，z軸上的截距.例7 假設(shè)知某平面在x，y，z軸上的截距分別為1,2,1，求這個(gè)平面的方程.解 由平面的截距式方程，可知所求平面方程為, 1121zyx即 2x+y2z2=0.截距式方程給出了平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，因此，為了畫出平面圖形，將平面的普通式方程化為截距式方程，然后利用平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定該平面的圖形.例8 試畫出平面3x+2y+6z12=0的圖形.解 先將所給平面的普通式方程化為截距式方程：. 1264zyx可知該平面與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為(4,0,0)，(0,6,0)，(0,0,2).所求平面即以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形所在平面.四、兩

8、平面間的關(guān)系 兩平面的法線向量之間的夾角為這兩個(gè)平面間的夾角.設(shè)兩平面1，2的方程分別為 A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0.它們的法線向量分別為 n1=(A1,B1,C1)， n2=(A2,B2,C2) ，設(shè)這兩個(gè)法線向量間的夾為 ，那么由兩向量的夾角余弦公式可知1212121222222212111222cos,|n nA AB BCCnnABCABC這也是兩平面夾角的余弦公式. 由兩平面的夾角公式可知，平面1和2垂直的充分必要條件為A1A2+B1B2+C1C2=0，兩平面平行的充分必要條件為.212121CCBBAA例9 設(shè)平面1，2的方程分別為 2xy+z7=0, x+y+2z11=