七年級上學期數(shù)學絕對值的幾何意義題型訓練帶答案

1、絕對值的幾何意義訓練1、借助數(shù)軸理解絕對值的意義，會求實數(shù)的絕對值2、會利用絕對值的知識解決簡單的化簡問題板塊一：絕對值幾何意義當時小-3 = 0，此時a是k-4的零點值.零點分段討論的一般步驟：找零點、分區(qū)間、定符號、去絕對值符號.即先令各絕對值式子為零，求得若干個絕對值為零的點，在數(shù)軸 上把這些點標出來，這些點把數(shù)軸分成若干部分，再在各部分內(nèi)化簡求值.的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個月點離開原點的距離.卜,-目的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)b對應數(shù)軸上兩點間的距離.【例題1】忸-|的幾何意義是數(shù)軸上表示7的點與表示的點之間的距離.（1）兇的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與 之間的距離：兇|x-0|

2、 （,=, ）；（2） |2-1|的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點與表示1的點之間的距離：則|2-1| = _:（3）卜-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與表示 的點之間的距離，若k-3| = 1,則 （4）k+ 2的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與表示 的點之間的距離，若k+ 2| = 2,則x =.（5）當x =-l時，貝 1小一2| + 卜 + 2|=.【解析】（1） x,原點;=；（2）1；X, 3, 2 或 4；X, -2, 0 或-4； （5）4.【例題2已知m是實數(shù),求帆+加-1| +帆-2|的最小值【解析】根據(jù)絕對值的幾何意義，這個問題可以轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一點小使點m到點。，點1 和點

3、2的距離之和最小，顯然當時，原式的最小值為2【例題3】己知?是實數(shù)，求刑-2| +加一4| +忸一6|+帆一8|的最小值【解析】根據(jù)絕對值的幾何意義，這個問題可以轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一點m,使m到點2,點4, 點6和點8的距離和最小，顯然當點m在點4和點6之間（包括點4和點6）時，原式的值最 小為8【例題4】設年七，心,4是常數(shù)（是大于1的整數(shù)），且4 （，小是任意實數(shù)，試探索求 加一41 + m-a2 +%I +加一的最小值的一般方法【解析】根據(jù)題意，結合數(shù)軸，不難得到：當n為奇數(shù)時，即當n=2k+l （k為正整數(shù)）時，點m應取在點為+1處，原式的值最小，最小 值為J + （a»-a2

4、） + （）當n為偶數(shù)2k （k是正整數(shù)）時，m應取點取和點之間的任意位置，原式的值最小，最小 值為（a»-ai） +（gg）【例題5】上一1| +卜一2| +k一2009|的最小值為.【解析】當x=1005時，| x-1 | + | x-2 | + Ix-2009 |取到最小值：I x-1 | + | x-2 | + |x-2009 | = | 1005-1 | + | 1005-2 | + |1005-2009 |=1004+1003+1+0+1+1003+1004=1009020鞏固1試求卜-1| +4-2|+1-3|+卜-2005|的值【解析】聯(lián)想到絕對值的幾何意義：I X-

5、Xn |即表示數(shù)軸上數(shù)X的對應點與數(shù)X0的對應點的距 離，把這些絕對值轉(zhuǎn)化為同一數(shù)軸上若干條線段之和來研究，發(fā)現(xiàn)I X-1 | + I X-2 | ,當1&W 2時，它有最小值1,對于I x-l | + I x-2 | + I x-3 ,當x=2時，最小值為2,猜想當x=1003 時，原式有最小值最小值為 I X-1 | + I X-2 | + |X-2005 |=| 1003-1 | + | 1003-2 | + |1003-2005 |=1002+1001+1+0+1+1001+1002=1005006【鞏固2設"<c,求當工取何值時卜-| +卜-耳+卜-4的最小值

6、.【解析】I x-a | + | x-b | + | x-c |實際表示x到a, b, c三點的距離和，畫圖可知當x=b時，原 式有最小值為c-a.【鞏固3若X、&、.q、x5 x人是6個不同的正整數(shù)，取值于1, 2, 3, 4 5 , 6,記S =1 -x2 l + lx2 - l + lx3l + lx4 -x5 l+|x5 -%6| + lx6 -X)I,則S 的最小值是.【解析】利用此題我們充分展示一下數(shù)形結合的優(yōu)越性：利用絕對值的幾何意義 I X-X2 | + | X2-Xs | + | X3-X4 I + I X4-X5 I + I X5-X6 I + I XX1 I在數(shù)軸

7、上表示出來，從開始又回到X"我們可以看成是一個圈，故最小值為10,如下圖所示, 即使重疊路程最少.123456【例題6】正數(shù)。使得關于工的代數(shù)式|x + l| + |x-6| + 2|x-d的最小值是8,那么。的值為.【解析】如果a26,那么當x=a時，I x+1 | + | x-6 | +2 | x-a I = I a+1 | + | a-6 I =(a+l) + (6-a) =7>小于8與已知條件矛盾.所以a>6,那么算式I x+1 I + I x-6 | +2 I xr I的幾何意義是點x到 -1、6、”、a的4個距離之和，當6WxWa時取最小值，因此令x=6可得7

8、+2 I 6-a | =8,解得 a=13/2.【鞏固4】卜_1+8k_2| +*_3| + 2卜一4|的最小值為12,則a的取值范圍是.【解析】最小值一定能在零點處取到，而零點處代數(shù)式值為14+2a、5+a、12、19+a,故12是 這四個數(shù)中最小的，即14+2a叁12且5+rM12且19+“叁12,所以aM7.【例題7】已知代數(shù)式卜-3| +卜-7| = 4,則下列三條線段一定能構成三角形的是().A. 1, x, 5 B. 2,刀,5 C, 3,刀,5 D. 3, x, 4【解析】根據(jù)I x-3 | + | x-7 | =4可得3q57,所以選擇C.【鞏固5是否存在有理數(shù)x,使k + 1

9、 + 卜-3| = 2?是否存在整數(shù)X,使、-4| +卜-3|+卜+ 3| +卜+4| = 14?如果存在,求出所有整數(shù)X,如果不存在, 請說明理由【解析】不存在x=土3, x=±2, x=±l,x=O【鞏固6】第17屆希望杯培訓試題)不等式卜+ 1| +卜-2|<7的整數(shù)解有 個.【解析】可分類討論來做，也可以利用絕對值的幾何意義來解，I x+1 | + | X-2 |<7的整數(shù)解 表示數(shù)軸上到-1和2的距離之和小于7的點集合，利用數(shù)軸容易找到滿足條件的整數(shù)有-2、-1、 0、1、2、3共六個.【例題8】一共有多少個整數(shù)x適合不等式卜-2000| +k區(qū)999

10、9.【解析】零點為2000和0,可將數(shù)軸分成幾段去考慮：(1)當x叁2000時，原不等式變形為：x-2000+x9999,進而得:5999. 5,即2000 WxW5999. 5,共有4000個整數(shù)適合；(2)當0x<2000時，原不等式變形為：2000-x+x9999,而2000<9999恒成立, 所以又有2000個整數(shù)適合.(3)當 x<0 時,原不等式變形為 2000-x+(-x) W9999,-3999. 5,即-3999.5<x<0,共有3999個整數(shù)適合.綜上所得共有9999個整數(shù)適合不等式I x-2000 I + I x I W9999.【例題9已知

11、| x |二1, | y | 21,設M= | x+1 | + | y+1 | + | 2yr-4 | ,求M的最大值和最小值【解析】由已知首先討論絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式的符號因為Ixl W1,所以-IWxWl,所以0WX+1W2,同理可得0Wy+lW2因為I y I至1,所以-1至x21,所以-2二2入2因為 Ix| W1,所以一 lAxWL 所以-1W-XWL 所以-l-4W-x-4Wl-4即-5W-X-4W-3 與同向相加得-7與2y-x-4 W-1化簡M的表達式：M=2x-y+6求M的取值范圍：因為-1q至1,所以-2至2x2因為-lWx三1,所以-IW-yWl所以-3至2x-y W3所

12、以 352x-y+6n9當x=l,y=-l時，M最大值為9當x=-l,y=l時,M最小值為3【例題10彼此不等的有理數(shù)”,b,c在數(shù)軸上的對應點分別為A , B, C,如果+ 十心-小 那么A, B, C的位置關系是.【解析】由絕對值的幾何意義知，I a-b |表示點A與點B之間的距離；| b-c |表示點B與點 C之間的距離；表示點A與點C之間的距離；當點B位于點A與點C之間(包括A, C兩點)時,I a-b | + | b-c |取得最小值，為I a-c | .由題設知，a, b, c相等，以A, B, C不重合，故 點B位于點A與點C之間(包括A, C兩點).【鞏固7】有理數(shù)。、葭c、各

13、自對應著數(shù)軸上X、丫、Z、R四個點，且(1) I b-d | 比 | a-b | 9 | a-c |、| a-d |、| b-c I、| c-d | 都大;(2) | d-a | + | a-c | = | d-c | ；(3) c是a、b、c、d中第二大的數(shù).則點X、Y、Z、R從左到右依次是 【解析】R、X、Z、Y.【鞏固8】如果卜-"=1, | + d = l, , + d = 2,求|a + b +2d的值.【解析】可以去掉絕對值，分類討論，但非常麻煩，我們?nèi)钥刹捎脭?shù)形結合的方法，從絕對值 的幾何意義出發(fā).根據(jù)I a-b | =1, | b+c | = | b-(-c) | =

14、b I a+c I = I a-(-c) I =2,我們可以 得到a、b、-c三點在數(shù)軸上從左到右依次是“、b、a或a、b、-c,我們會發(fā)現(xiàn)在這兩種情況 下，a-(-c), b-(-c)同號，所以 | a+b+2c | = | a-(-c)+b-(-c) I = | a-(-c) I + | b-(-c) I = I a+c | + | b+c | =3【鞏固9已知a、b、c、4都是整數(shù)，且卜+耳+卜+4+卜+ 4+卜/ + 4 = 2 ,則 |tz + J| =【解析】法1：四個非負整數(shù)和為2, |a+d|只可能為0、1或2.討論： 當 a=0, b=0, c=l, d=0,滿足條件,I a

15、+d I =0； 當 a=l, b=0, c=0, d=0,滿足條件，I a+d I =1；若 I a+d | =2,即 a+dNO 且 I a+b | =0, | b+c | =0, | c+d | =0, .a+b=O, b+c=O, c+d=O,故 0=0-O+O=(a+b)-(b+c) + (c+d)=a+d,這與 a+dNO 矛盾.所以，I a+b I =0或L【例題n】在數(shù)軸上把坐標為1,2, 3,2006的點稱為標點，一只青蛙從點1出發(fā)，經(jīng)過2006次 跳動，且回到出發(fā)點，那么該青蛙所跳過的全部路徑的最大長度是多少？請說明理由【解析】設青蛙依次到達的點為為 X2 Xs%Xwoe

16、X"整個跳過的路徑長度為S= I x-X2 I + I X2-X$ I + I X3-X4 I +I X2006-X1 I<2 (1004+1005牝+2006) -2 (1+2+3+. +1003) =2 X1003 X1003故青蛙跳過的路徑的最大長度為2X1003X1003【例題12如圖所示，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A、B、C、D、E、廠到城市的 距離分別為4、10、15、17、19、20千米，而村莊G正好是心的中點.現(xiàn)要在某個村莊建一個 活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應建在什么位置？城市I，11111ABG C DE F【解析】因為村莊G

17、是AF的中點，所以村莊G到城市的距離為12千米，即村莊G在村莊BC之 間，7個村莊依次排列為A B G C D E F.設活動中心到城市的距離為x千米，各村到活動中 心的距離之和為 y 千米，貝ij： y= I x-4 | + | x-10 | + | x-12 | + | x-15 | + I x-17 | + | x-19 | +I x-20 | ,因為4<10<12<15<17<19<20,所以當x=15時y有最小值，所以活動中心應當建在c 處.【鞏固10如圖所示為一個工廠區(qū)的地圖，一條公路(粗線)通過這個地區(qū)，7個工廠人 , 4, 分布在公路的兩側，山一些小路(細線)與公路相連.現(xiàn)在要在公路上設一個長途汽車站， 車站到各工廠(沿公路、小路走)的距離總和越小越好，