新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)題型全歸納用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式要點(diǎn)講解

1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列-等差數(shù)列等比數(shù)列可直接依照它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，以后再應(yīng)用各自的通項(xiàng)公式求解，表現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用。例1：（06年福建高考題）數(shù)列%沖，q=1，?！?1=2/+1則/=（）A.2B.2+1C.2-1D.2向.%+1=2%+2=2伍“+1)又4+1=2.%+i+l+1一”%+1是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列%+1=221=2“-2”1,因此選。解法2歸納總結(jié)：假設(shè)數(shù)列%知足。用=2+q（P為常數(shù)），那么令%+i+=（”+不來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等求X的值

2、，求通項(xiàng)公式。例2：數(shù)列中，=1，“2=3,%+2=3%+|_2。，那么。解：%+2一%+1=2（用一4）2-1=2.%為首項(xiàng)為2公比也為2的等比數(shù)列。4_%-i=2“，（n1）nl時(shí)=（4一I）+（“T-勺-2）+（生一%）+（4=2Z,_,+2n2+2+11-2,?=21顯然n=l時(shí)知足上式小結(jié)：先構(gòu)造“T-%等比數(shù)列，再用疊加法，等比數(shù)列求和求出通項(xiàng)公式，例3：已知數(shù)列%中4=5,應(yīng)=2,4“=2。,1+3勺_2,（之3）求那個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：%=2一+3%_24+an-l=3（J+限）又為+%=7,%+,i形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)列，則4+，*=7X3=又4-3，*=一（，*

3、-3%-2）,。2-3%=-13,“”一34-形成了一個(gè)首項(xiàng)為13,公比為一1的等比數(shù)列那么叫3冊(cè)_=（-13）（-1）“”x3+4%=7x3i+13（-1嚴(yán)71，=Lx3，1+上（-1嚴(yán)“44小結(jié)：此題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級(jí)，最終用加減消元的方式確信出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4：設(shè)數(shù)列%的前項(xiàng)和為S”，若2/-2=S”成立，求證：k-2i）是等比數(shù)列。（2）求那個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式證明：（1）當(dāng)=1，62=/=2又，ban-2=（。-1）Sb冊(cè)+i2,+|=（-1）S“+一ban-b-an-2=（/?-1）-q*明/=八%+2當(dāng)b=2時(shí)，有+i=2%+2.%+-（+l）x2“=2a+2

4、-（n+I）x2n=2-（an-n-2/,_,）又T=1卜一12為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，%-.勺=5+1)1小結(jié)：此題構(gòu)造超級(jí)特殊，要注意適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)和提取公因式，此題集中表現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價(jià)值與魅力，同時(shí)也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例5：數(shù)列%知足q=3,=24+32那么冊(cè)=a(3n-l)-2Mr(6-3)2”t3(2/?-1)-2,+1n(3/7-2)-2,_,adlu解:，川=2“+3乂2向，器=今+32“3組成了一個(gè)首項(xiàng)這5,公差為3的等差數(shù)列,=+(/z-1)x3=37z-2n223因此選Boan=2x(3一二)=(6-3)x2”2小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形2”,當(dāng)-

5、+1時(shí)，變成2周例6：已知函數(shù)/“)=(+&)*2),又?jǐn)?shù)列“中為=2,其前項(xiàng)和為S”，(eN),對(duì)所有大于1的自然數(shù)都有S”=/(S”t),求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。解：V/a)=(6+封凡=/(5_1)=(厄二+V2)2y=yji=也#7是首項(xiàng)為、5，公差為的等差數(shù)列。叵=41+5!)&=衣Sn=2/7222時(shí)，*=S“=2/J-25-1)2=4-2且當(dāng)=時(shí)，/=2=4x12符合條件通項(xiàng)公式為”=4-2例7：（2006山東高考題）已知4=2,點(diǎn)（4心處出）在函數(shù)/（X）=/+X的圖象上，其中八二123,求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。解：v/（x）=a-2+2a-又（，向）在函數(shù)圖象上%+=:+2%+1+1

6、=:+2%+1=（%+1-3（勺+1+D=21g（%+1）,（）“+：）=2；g（4+i）=g3lg（%+1）是首項(xiàng)為lg3公比為2的等比數(shù)列Igart+1=2n-1.lg3=lg32-111-1%+1=3%=3-1小結(jié)：前一個(gè)題構(gòu)造出J，為等差數(shù)列，而且利用通項(xiàng)與和的關(guān)系來確信數(shù)列的通項(xiàng)公式,后一個(gè)題構(gòu)造愴（%+D為等比數(shù)列,再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用是現(xiàn)今高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，因此咱們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí)，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭露它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。例8：（2007天津高考題）已知數(shù)列*知足%=2，&+1=“+才用

7、+（2力）.2”,（eN；其中4,求數(shù)列的通項(xiàng)公式方式指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形，應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式，從而為求的通項(xiàng)公式提供方便，一切問題可迎刃而解。解:=也+尸+(2-X)2,(eN*,X0)z+,zd&_(芍,嚴(yán)/因此導(dǎo)因此佚?？瓷砝?:數(shù)列勺2A.歷-%+1=解：_L=_L又“11/一=5+(-“2“一46x4-變式題型：數(shù)解：.令!+24+1.-.-3=；+1卜(;嚴(yán)|一()+1+=_(馬+1,-),+,J刨_二)”=1,.包_2=02JLZ2J22J為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為0,公差為1；二一1,.an=(-1)/+2”an,中，假設(shè)=2,1+3%,那么。4=1683B.15c.5D.4&.1_1+3冊(cè)_1.l+3%Z”x%4_Li14J是首項(xiàng)為5公差3的等差數(shù)列。.、cc56一52-1)3=3=an=226-5_=2_-519因此選a_0_2%/Cl2,%+|列%中，J3%,求明=2%.1J+3a_3J11+3%j2422%=(+%),貝4-=2=-32an223),又二3=一晟2ana25J_是首項(xiàng)為萬公比為5的等比數(shù)列沙，=3小結(jié)：“向=/（%）且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散以后，兩種構(gòu)造思想彼此聯(lián)系，彼此滲透，最后融合到一路。總