特征方程特征根法求解數(shù)列通項公式

1、特征方程特征根法求解數(shù)列通項公式一： A(n+1)=pAn+q, p,q 為常數(shù) .(1 )通常設(shè)：A(n+1)-入=p(An-入),則 入=q/ (1-p).( 2 )此處如果用特征根法： 特征方程為： x=px+q ，其根為 x=q/(1-p) 注意：若用特征根法， 入的系數(shù)要是-1例一：A (n+1)=2An+1 ,其中 q=2,p=1,貝U入=1/ (1-2) = -1 那么A(n+1) +1=2(An+1 )二：再來個有點意思的 ,三項之間的關(guān)系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn ， p,q 為常數(shù)(1)通常設(shè)： A(n+2)-mA(n+1)=kpA(n+1)-mAn,貝 m+k

2、=p, mk=q( 2)此處如果用特征根法：特征方程是y x y=py+q (探) m n為(探)兩根。 m n 可以交換位置，但其結(jié)果或出現(xiàn)兩種截然不同的數(shù)列形式，但同樣都可以計算An，而且還會有意想不到的驚喜， m n 交換位置后可以分別構(gòu)造出兩組 An 和 A(n+1) 的遞推公式，這個時侯你會發(fā)現(xiàn)，這是一個關(guān)于An和A(n+1)的二元一次方程組，那么不就可以消去A (n +1),留下An,得了,An 求出來了。例二： A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A (n+1 ) +6An ,特征方程為： yx y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者 m=2 , n=3于是， A(n

3、+2) -3A( n+1) =2A(n+1) -3A (1)A( n+2) -2A(n+1 ) =3A (n+1) -2A (2)所以，A (n+1) -3A (n) = - 2 A n(3)A (n+1) -2A (n) = - 3 a (n-1)(4)you see 消元消去 A( n+1 ),就是 An 勒例三：【斐波那挈數(shù)列通項公式的推導(dǎo)】斐波那契數(shù)列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(n N+)。那么這句話可以寫成如下形式：F(0) = 0 , F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n 3) 顯然這是一個線

4、性遞推數(shù)列。通項公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程 線性遞推數(shù)列的特征方程為：XA2=X+1解得X1=(1+ V5)/2, X2=(1- V5)/2. 貝 F(n)=C1*X1An + C2*X2An/ F(1)=F(2)=1 C1*X1 + C2*X2C1*X1A2 + C2*X2A2解得 6= 1/V5, C2=-1/V5 F(n)=(1/V5)*(1+ V5)/2An - (1- V5)/2人n【V 5 表示根號 5】通項公式的推導(dǎo)方法二：普通方法設(shè)常數(shù) r,s使得 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)則 r+s=1, -rs=1n 3時，有F(n)-r*F(n-1

5、)=s*F(n-1)-r*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1) 將以上 n-2 個式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=sA(n-2)*F(2)-r*F(1)/ s=1-r, F(1)=F(2)=1上式可化簡得：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)= sA(n-1) + r*sA(n-2) + rA2*F(n-2)= sA(n-1) + r*sA(n-2) + rA2*sA(n-

6、3) + rA3*F(n-3)=sA(n _1) + r*s A(n _2) +A2*s a( n_3) + +人(n_2)*s +人(n_1)*F(1)=sA( n-1) + r*sA( n-2) +人2*$人(n-3) + +人(n-2)*s +人(n-1)(這是一個以 sA(n-1) 為首項、以 rA(n-1) 為末項、 r/s 為公差的等比數(shù)列的各項的和) =sA(n-1)-rA(n-1)*r/s/(1-r/s)=(sAn - rAn)/(s-r) r+s=1, -rs=1 的一解為 s=(1+V5)/2, r=(1- V5)/2 則 F(n)=(1/V5)*(1+ V5)/2An -

7、 (1- V5)/2An三：最后準備好了嗎，咱們來看最刺激，最具挑戰(zhàn)性的一組：但是如果一A(n+1)= (MAn+N )/(CAn+D )M,C 不同時為零 此題一般可以避開求通項公式而另辟蹊徑的方法， 比如數(shù)學(xué)歸納法一類的等等， 定要挑戰(zhàn)一下自己，那我們現(xiàn)在就開始通項公式之路(1 )此處似乎只能用特征根法： 特征方程： x+(Mx+N )/(Cx+D) 特征方程有兩個不等的實根，設(shè)為a,3,則( An- a)/( An- 3 ) 為等比數(shù)列注意：a , 3可以互換位置 特征方程有一個實根，a則 1/( An-a ) 偉等差數(shù)列 特征方程沒有實數(shù)根，則 An 為循環(huán)數(shù)列，每年總要有幾個題要來個A2007 ，A2008 ， A2009 ， A20xx例四：這個例題的數(shù)字給的十分有意思偉強 A(n+1)=(3An+4)/(2An+3 )特征方程：x= (3x+4) / (2x+3 ), x= V 2則 (An+ V2) / (An-V 2) 為等比數(shù)列(A (n +1) + V2) / (A (n+1 )V 2)=(3An+4 ) / (2An+3 ) + V2/ (3An+4 ) / ( 2