2010高三數(shù)學(xué)高考導(dǎo)學(xué)練系列教案：不等式

1、不等式考綱導(dǎo)讀1理解不等式的性質(zhì)及其證明2掌握兩個(gè)（注意不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用3掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式4掌握簡(jiǎn)單不等式的解法5理解不等式| a | b| | ab | a | b |知識(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)數(shù)的性質(zhì)不等式的性質(zhì)均值不等式不等式的證明解不等式不等式的應(yīng)用比較法綜合法分析法反證法換元法放縮法判別式法一元一次不等式(組)一元二次不等式分式、高次不等式含絕對(duì)值不等式函數(shù)性質(zhì)的討論方程根的分布最值問題實(shí)際應(yīng)用問題取值范圍問題高考導(dǎo)航不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個(gè)熱點(diǎn)，考查的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、證明、解法及最值方面的應(yīng)用高考試題中

2、有以下幾個(gè)明顯的特點(diǎn)：1不等式與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何、導(dǎo)數(shù)、實(shí)際應(yīng)用等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多，單獨(dú)考查不等式的問題很少，尤其是不等式的證明題2選擇題，填空題和解答題三種題型中均有各種類型不等式題，特別是應(yīng)用題和綜合題幾乎都與不等式有關(guān)3不等式的證明考得比較頻繁，所涉及的方法主要是比較法、綜合法和分析法，而放縮法作為一種輔助方法不容忽視基礎(chǔ)過關(guān)第1課時(shí) 不等式的概念和性質(zhì)1、實(shí)數(shù)的大小比較法則：設(shè)a，bR，則a>b ；ab ；a<b .實(shí)數(shù)的大小比較法則，它是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的 就可以了.實(shí)數(shù)的大小比較法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則

3、一起構(gòu)成了證明其它不等式性質(zhì)的基礎(chǔ).2、不等式的5個(gè)性質(zhì)定理及其3條推論定理1（對(duì)稱性） a>b 定理2（同向傳遞性） a>b，b>c 定理3 a>bac > bc推論 a>b，c>d 定理4 a>b，c>0 a>b，c<0 推論1 (非負(fù)數(shù)同向相乘法) a>b0，c>d0 推論2 a>b0 (nN且n>1)定理5 a>b0 (nN且n>1)典型例題例1. 設(shè)f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0，x1比較f(x)與g(x)的大小.解：(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy

4、)(2)aabbabba變式訓(xùn)練1：不等式log2x+3x21的解集是_.答案：x|x3且x1,x0。解析：或。 例2. 設(shè)f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0，x1比較f(x)與g(x)的大小.解：當(dāng)0x1或x時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)1x時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x).變式訓(xùn)練2：若不等式(1)na2對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .例3. 函數(shù)ax2bx滿足：12，24，求的取值范圍解：由f (x)ax2bx得 f (1)ab，f (1)ab，f (2)4a2b af (1)f(1)，bf (1)f(1) 則f(2)2f (1)f (1)f (

5、1)f (1)3f (1)f (1)由條件1f(1)2，2f (1)4可得3×123f(1)f(1)3×24得f (2)的取值范圍是5f (2)10.變式訓(xùn)練3：若13，42，則|的取值范圍是 .解： (3，3)例4. 已知函數(shù)f (x)x2axb，當(dāng)p、q滿足pq1時(shí)，試證明：pf (x)qf (y)f (pxqy)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都成立的充要條件是op1.證明：pf (x)qf (y)f (pxqy)pq(xy)2p(1p)(xy)2充分性：當(dāng)0p1時(shí)，0從而必要性：當(dāng)時(shí)，則有0，又0，從而0，即0p1綜上所述，原命題成立變式訓(xùn)練4：已知abc，abc0，方程ax2b

6、xc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2(1)證明：1；(2)若xx1x2x1，求xx1x2x；(3)求| xx|解：(1)abc，abc0，3aabc，abab，a0，1 (2)（方法1）abc0 ax2bxc0有一根為1，不妨設(shè)x11，則由可得而，x21， (方法2)由，(3)由(2)知， ， 歸納小結(jié)1不等式的性質(zhì)是證明不等式與解不等式的重要而又基本的依據(jù)，必須要正確、熟練地掌握，要弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論注意條件的放寬和加強(qiáng)，條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系2使用“作差”比較，其變形之一是將差式因式分解，然后根據(jù)各個(gè)因式的符號(hào)判斷差式的符號(hào)；變形之二是將差式變成非負(fù)數(shù)（或非正數(shù)）之和，然后判斷差式的符號(hào)

7、3關(guān)于數(shù)(式)比較大小，應(yīng)該將“相等”與“不等”分開加以說明，不要籠統(tǒng)地寫成“AB(或BA)”基礎(chǔ)過關(guān)第2課時(shí) 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1a>0，b>0時(shí)，稱 為a，b的算術(shù)平均數(shù)；稱 為a，b的幾何平均數(shù)2定理1 如果a、bR，那么a2b2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 取“”號(hào)）3定理2 如果a、b，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)）即兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4已知x、y，xyP，xyS. 有下列命題：(1) 如果S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值 (2) 如果P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值 典型例題例1設(shè)a、bR，試比較， ，的大小 解：a、bR+，2

8、即，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立又 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立 而于是(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào))說明：題中的、分別叫做正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)也可取特殊值，得出它們的大小關(guān)系，然后再證明變式訓(xùn)練1：（1）設(shè)，已知命題；命題，則是成立的 （ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解：B.解析： 是等號(hào)成立的條件.（2）若為ABC的三條邊，且，則（ ）A B C D解：D解析：，又。（3）設(shè)x > 0, y > 0, ， a 與b的大小關(guān)系（ ） Aa >b Ba <b Ca b Da b解：B。解析：。（4）b克鹽水中

9、，有a克鹽（），若再添加m克鹽（m>0）則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式 .解： 解析:由鹽的濃度變大得例2. 已知a，b，x，yR+（a，b為常數(shù)），求xy的最小值.解： ab2變式訓(xùn)練2：已知a，b，x，yR+（a，b為常數(shù)），ab10， ，若 xy的最小值為18，求a，b的值解：或例3. 已知a, b都是正數(shù)，并且a ¹ b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2解：證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2)

10、= (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正數(shù)，a + b, a2 + ab + b2 > 0又a ¹ b，(a - b)2 > 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2變式訓(xùn)練3：比較下列兩個(gè)數(shù)的大?。海?） （2）；（3）從以上兩小項(xiàng)的結(jié)論中，你否得出更一般的結(jié)論？并加以證明解：（1）,（2）（3）一般結(jié)論：若成立證明 欲證成立只需證也就是 （） 從而（*）成立，故 例4. 甲、乙兩地相距S（千米），汽車從

11、甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過c（千米/小時(shí)）已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（元）由可變部分與固定部分組成可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)b；固定部分為a元(1) 試將全程運(yùn)輸成本Y(元)表示成速度V(千米/小時(shí))的函數(shù).(2) 為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解: (1) 依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為ya·bv2·s(bv)，故所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥s(bv)v(0,c)(2) s、a、b、vR+，故s(bv)2s 當(dāng)且僅當(dāng)bv時(shí)取等號(hào)，此時(shí)v若c即v時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小若>c，則當(dāng)v(0，c

12、)時(shí)，ys(bv)s(bc)(cv)(abcv)cv0，且a>bc，故有abcvabc2>0 s(bv)s(bc)，且僅當(dāng)vc時(shí)取等號(hào)，即vc時(shí)全程運(yùn)輸成本最小變式訓(xùn)練4：為了通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行較大規(guī)模的計(jì)算，人們目前普遍采用下列兩種方法：第一種傳統(tǒng)方法是建造一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)此種方法在過去曾被普遍采用但是人們逐漸發(fā)現(xiàn)建造單獨(dú)的超級(jí)計(jì)算機(jī)并不合算，因?yàn)樗倪\(yùn)算能力和成本的平方根成正比另一種比較新的技術(shù)是建造分布式計(jì)算機(jī)系統(tǒng)它是通過大量使用低性能計(jì)算機(jī)(也叫工作站)組成一個(gè)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)這樣的網(wǎng)絡(luò)具有驚人的計(jì)算能力，因?yàn)檎麄€(gè)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算能力是各個(gè)工作站的效能之和假設(shè)計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力的單位是MIPS(

13、即每秒執(zhí)行百萬條指令的次數(shù))，一臺(tái)運(yùn)算能力為6000MIPS的傳統(tǒng)巨型機(jī)的成本為100萬元；而在分布式系統(tǒng)中，每個(gè)工作站的運(yùn)算能力為300MIPS，其價(jià)格僅為5萬元需要說明的是，建造分布式計(jì)算系統(tǒng)需要較高的技術(shù)水平，初期的科技研發(fā)及網(wǎng)絡(luò)建設(shè)費(fèi)用約為600萬元請(qǐng)問：在投入費(fèi)用為多少的時(shí)候，建造新型的分布式計(jì)算系統(tǒng)更合算？解：設(shè)投入的資金為萬元，兩種方法所能達(dá)到的計(jì)算能力為MIPS，則把，代入上式得，又，當(dāng)時(shí)，代入上式得，由得，即0，解得900(萬元)答：在投入費(fèi)用為900萬元以上時(shí)，建造新型的分布式計(jì)算系統(tǒng)更合算。歸納小結(jié)小結(jié)歸納1在應(yīng)用兩個(gè)定理時(shí)，必須熟悉它們的常用變形，同時(shí)注意它們成立的條件

14、2在使用“和為常數(shù)、積有最大值”和“積為常數(shù)、和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，必須注意三點(diǎn)：“一正”變量為正數(shù)，“二定”和或積為定值，“三相等”等號(hào)應(yīng)能取到，簡(jiǎn)記為“一正二定三相等”第3課時(shí) 不等式證明（一）基礎(chǔ)過關(guān)1比較法是證明不等式的一個(gè)最基本的方法，分比差、比商兩種形式(1)作差比較法，它的依據(jù)是： 它的基本步驟：作差變形判斷，差的變形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等(2) 作商比較法，它的依據(jù)是：若>0，>0，則它的基本步驟是：作商變形判斷商與1的大小它在證明冪、指數(shù)不等式中經(jīng)常用到2綜合法：綜合法證題的指導(dǎo)思想是“由因?qū)Ч?，即從已知條件或基本不等式出發(fā)，利用不等式

15、的性質(zhì)，推出要證明的結(jié)論3分析法：分析法證題的指導(dǎo)思想是“由果索因”，即從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠確定這些充分條件都已具備，那么就可以判定所要證的不等式成立典型例題例1. 已知，求證：證法1：>0，>0， 即 證法2：1 故原命題成立，證畢變式訓(xùn)練1：已知a、b、x、yR+且，xy.求證：解：證法一：(作差比較法) ，又且a、bR+，ba0.又xy0，bxay.0，即.證法二：(分析法)x、y、a、bR+，要證，只需證明x(y+b)y(x+a)，即證xbya.由0，ba0. 又xy0，知xbya顯然

16、成立.故原不等式成立.例2. 已知a、bR+，求證：證明：，因此要證明原不等式成立，則只要證由于所以從而原不等式成立變式訓(xùn)練2：已知a、b、cR，求證：證明：左邊右邊 例3. 已知ABC的外接圓半徑R1，、是三角形的三邊，令，求證：證明：又 R1， 但的條件是，此時(shí)與已知矛盾 變式訓(xùn)練3：若為ABC的三條邊，且，則（ ）A B C D答案:D解析：，又。例4. 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根、滿足(1) 當(dāng)x(0，x1)時(shí)，證明：x<f (x)<x1(2) 設(shè)函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線xx0對(duì)稱，證明：x0<證明：(1)由于、是方程的兩個(gè)根，則 當(dāng)時(shí)，有 又 即又由 得 又 ，

17、即綜上所述，(2) 變式訓(xùn)練4：設(shè)f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求證：(1)a0且-2-1；(2)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根. 證明：（1）因?yàn)?，所?由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得.又因?yàn)槎苑匠淘趨^(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根。故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.歸納小結(jié)1比較法是證明不等式的一個(gè)最基本的方法，而又以作差比較最為常見作差比較的關(guān)鍵在于作差后如何變形來達(dá)到判斷差值符號(hào)之目的，變形的方向主要是因式分解和配方2綜合法證明不等式要找出條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，合理進(jìn)行

18、變換，去異存同，恰當(dāng)選擇已知不等式，找到證題的突破口3分析法是“執(zhí)果索因”重在對(duì)命題成立條件的探索，尋求不等式成立的充分條件，因此有時(shí)須先對(duì)原不等式化簡(jiǎn)常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等但要注意所有這些變形必須能夠逆推，書寫格式要嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范4分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方法在不等式的證明中，我們常用分析法探索證明的途徑后，用綜合法的形式寫出證明過程這種先分析后綜合的思路具有一般性，是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要數(shù)學(xué)思想第4課時(shí) 不等式證明（二）基礎(chǔ)過關(guān)證明不等式的其它方法：反證法、換元法、放縮法、判別式法等反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原命題是正

19、確的證明方法換元法：對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，量與量之間關(guān)系不甚明了的命題，通過恰當(dāng)引入新變量，代換原命題中的部分式子，簡(jiǎn)化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式的證明方法放縮法：為證明不等式的需要，有時(shí)需舍去或添加一些代數(shù)項(xiàng)，使不等式的一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證題的目的，這種方法叫放縮法判別式法：根據(jù)已知的式子或構(gòu)造出來的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函數(shù)的性質(zhì)等特征，確定其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出所證的不等式成立典型例題例1. 已知f(x)x2pxq，(1) 求證：f(1)f(3)2f(2)2；(2) 求證：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個(gè)不小于 證明: (

20、1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2(2)用反證法。假設(shè)f(1)、f(2)、f(3)都小于，則f(1)+2f(2)+f(3)2，而f(1)+2f(2)+f(3)f(1)f(3)2f(2)2，出現(xiàn)矛盾.f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個(gè)不小于.變式訓(xùn)練1：設(shè)，那么三個(gè)數(shù)、 （ ）A都不大于2B都不小于2 C至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于2解:D例2. （1） 已知x2y21，求證:.（2） 已知a、bR，且a2b21，求證:.證明:(1)設(shè) (其中) (2)令(其中k21),則故原不等式成立.變式訓(xùn)練2： 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2(y1)21，當(dāng)xyc0

21、時(shí)，c的取值范圍是（ ）A.B. C.D.解:A例3. 若，求證：證明：當(dāng)時(shí) 即故原不等式成立變式訓(xùn)練3：若f(n)n，g(n)n，(n)，則f (n)，g (n)，(n)的大小順序?yàn)開解:g(n)>(n)>f(n)例4. 證明：證明：設(shè)，則(1y)x2x1y0(1)當(dāng)y1時(shí)，xR，14(1y)20得(2)當(dāng)y1時(shí)，由(1y)x2x1y0得x0而x0是函數(shù)的定義域中的一個(gè)值；y1是它值域中的一個(gè)值.綜合(1)和(2)可知，即變式訓(xùn)練4：設(shè)二次函數(shù)，若函數(shù)的圖象與直線和均無公共點(diǎn)(1) 求證：(2) 求證：對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒有證明：(1)由ax2(b1)xc0無實(shí)根，得1(b1)24ac

22、<0由ax2(b1)xc0無實(shí)根得2(b1)24ac<0兩式相加得：4acb2>1(2)4acb2>1>0，a(x)與同號(hào)，axbxc a(x)2a(x)>歸納小結(jié)1凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定詞的命題適宜用反證法2在已知式子中，如果出現(xiàn)兩變量之和為正常數(shù)或變量的絕對(duì)值不大于一個(gè)正常數(shù)，可進(jìn)行三角變換，換元法證明不等式時(shí)，要注意換元的等價(jià)性3放縮法證題中，放縮必須有目標(biāo)，放縮的途徑很多，如用均值不等式，增減項(xiàng)、放縮因式等4含有字母的不等式，如果可以化成一邊為零，另一邊是關(guān)于某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，可用判別式法證明不等式成立，但要注

23、意根的范圍和題設(shè)條件的限制第5課時(shí) 絕對(duì)值不等式的應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)1、有關(guān)絕對(duì)值不等式的主要性質(zhì)： | x | | x |0 | |a|b|a±b| a | b | ab | ， (b0)特別：ab0，|ab| ，|ab| ab0，|ab| ，|ab| 2、最簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式的解法 | f(x) |a ； | f(x) |a ； a| f(x) |b 對(duì)于類似a | f(x) |b| g(x) | > c的不等式，則應(yīng)找出絕對(duì)值的零點(diǎn)，以此劃分區(qū)間進(jìn)行討論求解典型例題例1. 解不等式：| x23x4|> x1解 :xx<1或1x3或x5變式訓(xùn)練1：若不等式|x4|x3|a

24、對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí) 數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da1解 :D例2. 設(shè)f(x)x2xb，| xa |<1，求證：| f(x) f(a) |<2(| a |1). 解：xa1f(x)f(a)(x2xb)(a2ab)xaxa1xa1(xa)2a1xa2a12( a 1)變式訓(xùn)練2：若a、bR，, 是方程x2a xb0的兩根，且|a| b |1，求證：| |1且| |1解 :由韋達(dá)定理和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可證得例3. 已知f(x)，g(x)xa(a>0)， 當(dāng)a4時(shí)，求的最小值； 若不等式>1對(duì)x1, 4恒成立，求a的取值范圍解 : (1)a4時(shí)，最

25、小值15；(2)，x1，4恒成立等價(jià)變形后，只要a(t)2，t1，2恒成立(t)設(shè)h(t)a(t)，h'(t) a(1)當(dāng)0t時(shí)，h'(t)0，h(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t時(shí)，h'(t)0，h(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t時(shí)，h'(t)0，h()為極小值；這樣對(duì)于t1，2有 2時(shí)，h(t)minh(2)a(2)2 a4 12時(shí)，h(t)minh2a2 1a4 01時(shí)，h(t)minh(1)a(a1) 無解綜上知：a1變式訓(xùn)練3：已知適合不等式| x24xp| x3 |5的x的最大值是3，求p的值解 :P8例4. 設(shè)a、bR，已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc，g(x)cx2bxa

26、，當(dāng)x1時(shí)，f(x) 求證：g(1)； 求證：當(dāng)x1時(shí)，| g(x)|4.證明(1) x1時(shí)，f(x)2g(1)cbaf (x)2(2) 當(dāng)x1時(shí)，g(x)cx2bxac(x21)bxac c(x21)bxacca±bc224變式訓(xùn)練4：(1) 已知：| a |1，| b |1，求證：|1；(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式|1對(duì)滿足| a |1，| b |1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立；(3) 已知| a |1，若|1，求b的取值范圍.(1)證明：|1ab|2|ab|21+a2b2a2b2(a21)(b21).| a |1，| b |1，a210，b210.|1ab|2|ab|20. |1

27、ab|ab|，1.(2)解：|1|1ab|2|ab|2(a221)(b21)0.b21，a2210對(duì)于任意滿足| a |1的a恒成立.當(dāng)a0時(shí)，a2210成立；當(dāng)a0時(shí)，要使2對(duì)于任意滿足| a |1的a恒成立，而1， |1. 故11.(3)|1()21(a+b)2(1+ab)2a2+b21a2b20(a21)(b21)0.|a|1，a21.1b20，即1b1.歸納小結(jié)1利用性質(zhì)|a|b|ab|a|b|時(shí)，應(yīng)注意等號(hào)成立的條件2解含絕對(duì)值的不等式的總體思想是：將含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解3絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn)，而絕對(duì)值不等式更是?？汲Ｐ拢虒W(xué)中，應(yīng)注意絕對(duì)值與函數(shù)問題的結(jié)合

28、第6課時(shí) 含參數(shù)的不等式基礎(chǔ)過關(guān)含有參數(shù)的不等式可滲透到各類不等式中去，在解不等式時(shí)隨時(shí)可見含參數(shù)的不等式而這類含參數(shù)的不等式是我們教學(xué)和高考中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)解含參數(shù)的不等式往往需要分類討論求解，尋找討論點(diǎn)（常見的如零點(diǎn)，等值點(diǎn)等），正確劃分區(qū)間，是分類討論解決這類問題的關(guān)鍵在分類討論過程中要做到不重，不漏典型例題例1. 已知Ax| 2ax2(2ab)xb>，Bx| x<2或x>，其中b>0，若AB，求a、b的取值范圍解:a且0b6變式訓(xùn)練1：不等式的解集是x| x<1或x>2，則a 解:a例2. 已知關(guān)于x的不等式<0的解集為M，(1) 當(dāng)a4時(shí)，

29、求集合M；(2) 若3M且5M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解: (1)Mx|x2或x2 (2)a1，)(9，25變式訓(xùn)練2：已知函數(shù)f (x)(a、b為常數(shù))，且方程f (x)x120有兩個(gè)實(shí)根為x13，x24(1)求函數(shù)f (x)的解析式；(2)設(shè)k1，解關(guān)于x的不等式f (x)解：(1)將x13，x24分別代入方程x120 得：解得所以f(x)(x2)(2)不等式即為可代為即當(dāng)1k2時(shí)，解集為x(1，k)(2，)當(dāng)k2時(shí)，不等式為(x2)2(x1)0，解集為x(1，2)(2，)當(dāng)k2時(shí)，解集為x(1，2)(k，)例3. 若不等式2x1>m(x21)對(duì)滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍解

30、: x變式訓(xùn)練3：若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解:a例4. 解關(guān)于x的不等式ax222xax(aR)解:a0時(shí)，x1；a0時(shí)，x1或x，2a0時(shí)，x1；a2時(shí)，x1；a2時(shí)，1x變式訓(xùn)練4：解關(guān)于x的不等式解：(1)當(dāng)2a10，即a時(shí)，原不等式為(x4a)(x6a)0當(dāng)a0時(shí)，x(，4a)(6a，)當(dāng)a0時(shí)，x當(dāng)a0時(shí)，x(，0)(0，)(2)當(dāng)2a10，即a時(shí)，原不等式為(x4a)(x6a) x(6a，4a)綜合以上，原不等式的解集為：當(dāng)a0時(shí)，解集為(，4a)(6a，)當(dāng)a0時(shí)，解集為(，6a)(4a，)當(dāng)a時(shí)，解集為(6a，4a)歸納小結(jié)解含參數(shù)的不等式的基本途徑是

31、分類討論，應(yīng)注意尋找討論點(diǎn)，以討論點(diǎn)劃分區(qū)間進(jìn)行討論求解能避免討論的應(yīng)設(shè)法避免討論第7課時(shí) 不等式的應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)1不等式始終貫穿在整個(gè)中學(xué)教學(xué)之中，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)的定義域，值域的確定，三角、數(shù)列、立體幾何，解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切關(guān)系2能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)、定理和方法分析解決有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，方程實(shí)根的分布，解決涉及不等式的應(yīng)用問題和轉(zhuǎn)化為不等式的其它數(shù)學(xué)問題典型例題例1.若關(guān)于x的方程4xa·2xa10有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:令t2x(t0)，則原方程化為t2ata10，變形得變式訓(xùn)練1：已知方程si

32、n2x4sinx1a0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （ ）A3，6B2，6C3，2D2，2解:B例2. 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比現(xiàn)有制箱材料60平方米問當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y，其中k0為比例系數(shù).依題意，即所求的a，b值使y值最小.根據(jù)題設(shè)，有4b2ab2a60(a0，b0)，得b(0a30) 于是 y當(dāng)a2時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小

33、值.這時(shí)a6，a10(舍去).將a6代入式得b3.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大.由題設(shè)知 4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2bab30(a0，b0).因?yàn)?a2b2，所以 +ab30，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)，上式取等號(hào).由a0，b0，解得0ab18.即當(dāng)a2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18.所以2b218.解得b3，a6.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小變式訓(xùn)練2：一批物資要用11輛汽車從甲地運(yùn)到360千米外的乙地，若車速為v千米/小時(shí)，兩車的距離不能小于()2千米，運(yùn)完這批

34、物資至少需要（ ）A10小時(shí) B11小時(shí)C12小時(shí) D13小時(shí)解:C例3. 已知二次函數(shù)yax22bxc，其中abc且abc0.（1） 求證：此函數(shù)的圖象與x軸交于相異的兩個(gè)點(diǎn).（2） 設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得線段的長(zhǎng)為l，求證：l2.證明:(1)由abc0得b(ac).(2b)24ac4(ac)24ac4(a2acc2)4(a)2c20.故此函數(shù)圖象與x軸交于相異的兩點(diǎn).(2)abc0且abc，a0，c0.由ab得a(ac)，2.由bc得(a+c)c，.2. l|x1x2|.由二次函數(shù)的性質(zhì)知l(，2)變式訓(xùn)練3：設(shè)函數(shù)f(x)x22bxc (cb1)，f(1)0，且方程f(x)10有實(shí)根(1)

35、證明：3c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一個(gè)實(shí)根，判斷f(m4)的正負(fù)，并加以證明證明:(1)又cb1，故又方程f(x)10有實(shí)根，即x22bxc10有實(shí)根故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1由由(2)f(m)10cm1c4m43cf(m4)(m4c)(m41)0f(m4)的符號(hào)為正例4. 一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，甲乙兩地相距S(千米)，水速為常量p(千米/小時(shí))，船在靜水中的最大速度為q(千米/小時(shí))(qp)，已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中速度v(千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k 把全程燃料費(fèi)用y(元)表示為靜水中速度v的函數(shù)，并求

36、出這個(gè)函數(shù)的定義域 為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？解:(1) ykv2，v(p，q(2) i) 2pq時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為p； ii) 2pq時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為qp變式訓(xùn)練4：某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次某班有48名同學(xué)，老師們打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需要購買若干張游泳卡外，每次游泳還要包一輛汽車，無論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費(fèi)均為40元，若使每個(gè)同學(xué)游泳8次，每人最少交多少錢？解:設(shè)購卡x張，總費(fèi)用y元y240(x)3840x8時(shí)，ymin3840 3840÷4880(元)答：每人最少交80元

37、錢歸納小結(jié)小結(jié)歸納不等式的應(yīng)用主要有兩類： 一類是不等式在其它數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，主要是求字母的取值范圍，這類問題所進(jìn)行的必須是等價(jià)轉(zhuǎn)化注意溝通各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，活用不等式的概念、方法，融會(huì)貫通 一類是解決與不等式有關(guān)的實(shí)際問題，這類問題首先應(yīng)認(rèn)真閱讀題目，理解題目的意義，注意題目中的關(guān)鍵詞和有關(guān)數(shù)據(jù)，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)建模，再運(yùn)用不等式的有關(guān)知識(shí)加以解決不等式章節(jié)測(cè)試題一、選擇題1. 關(guān)于x的不等式|x1|>m的解集為R的充要條件是（ ）Am0Bm1Cm0Dm12. 若、是任意實(shí)數(shù)，且，則（ ）ABCD3 若則下列不等式一定成立的是（ ）ABCD4 欲證，只需證（

38、 ）ABCD5. 設(shè)x1，x2是方程x2px40的兩個(gè)不相等的實(shí)根，則（ ）A| x1 |2且| x1 |2B| x1x2|4C| x1x2|4D| x1 |且| x2 |16. 對(duì)一切正整數(shù)n，不等式恒成立，則b的范圍是（ ）A(0, )BC() D(, 1) 7. 已知函數(shù)f (x) ，則不等式f(x)2>0的解區(qū)間是（ ）A(2，2)B(, 2)(2, )C(1，1)D(, 1)(1, )8. 在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（ ）A B C D9 某純凈水制造廠在凈化水過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需過濾的次數(shù)為（參

39、考數(shù)據(jù)lg20.3010，lg30.4771）（ ）A5B10 C14D1510.集合、，則是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件 D既非充分又非必要條件二、填空題11若的取值范圍是 .12若不等式的解集為，則 .13實(shí)數(shù)x滿足，則的值為 .14已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長(zhǎng)，c為斜邊，若點(diǎn)(m，n)在直線axby2c0上，則m2n2的最小值是 15對(duì)a，bR，記max| a，b | ，函數(shù)f(x)max| | x1 |，| x2 | | (xR)的最小值是 三、解答題16. 若a、b、c都是正數(shù)，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc17已知函數(shù)f(x)，x(1) 當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2) 若對(duì)任意x，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18（理）解關(guān)于x的不等式（文）解關(guān)于x的不等式：19設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?0，)，且對(duì)任意x、yR，f(xy)f(x)f(y)恒成立，已知f(8)3，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)0(1)證