平面向量基本定理（教案）(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.3.1 平面向量基本定理【教學(xué)目標(biāo)】1、知識與技能了解平面向量的基本定理；掌握平面內(nèi)任何一個向量都可以用不共線的兩個向量表示，能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其它向量都能用基底來表示。2、過程與方法使學(xué)生理解平面向量基本定理的證明，掌握利用平面向量基本定理將向量分解的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。3、情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識知識間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用聯(lián)系的觀點看待事物。【教學(xué)重點】平面向量基本定理?！窘虒W(xué)難點】平面向量基本定理的理解與應(yīng)用。【教學(xué)方法】講練結(jié)合法?！窘虒W(xué)過程】創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課【投影】問題1：如圖，給定平面內(nèi)任意兩個

2、不共線的向量，請你作出向量?！究偨Y(jié)】（1）已知向量，求作的一般步驟： 先根據(jù)已知條件及實數(shù)與向量的積的定義和向量共線的充要條件，作出向量； 再根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，作出。 （2）由兩個已知不共線的向量畫圖來表示平面內(nèi)任一向量的關(guān)鍵就是牢牢掌握向量加法的平行四邊形法則和向量共線的充要條件。問題2：如圖所示，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，是平面內(nèi)的任一向量，同學(xué)們能否找出與之間的關(guān)系？【導(dǎo)語】如何解決這個問題，問題的結(jié)論是什么？這就是我們這堂課要解決的問題。板書課題：平面向量基本定理。合作交流 解讀探究1、平面向量基本定理：（向量的分解） 如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的

3、任一向量，有且只有唯一一對實數(shù)，使得：。其中不共線的兩個向量 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的兩個基向量，向量組叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底?！咀C明】（存在性）如圖所示： 在平面內(nèi)任取一點，作。過點作平行于直線的直線，與直線交于；過點作平行于直線的直線，與直線交于；則由共線向量定理知：有且只有唯一一對實數(shù)，使得，又由向量加法的平行四邊形法則知：，所以。（唯一性）假設(shè)存在，且則：即：，因為，這與矛盾，所以存在唯一一對實數(shù)使得?！菊f明】（1）基底的特征：基底是兩個不共線的向量的一個向量組；基底是不唯一的。平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量均可作為基向量。零向量與任一向量共線，所以零向量不能作為基向量

4、。 （2）由定理可知：任一向量在給出基底的條件下都可以進(jìn)行分解。 （3）在基底給定時，每一個向量的分解形式是唯一的。即： 。 特別地，當(dāng)時，恒有。【例1】如果是平面兩個不共線的兩個向量，那么下列說法中不正確的是 。（填寫對應(yīng)說法的序號） 可以表示平面內(nèi)的所有向量； 對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個； 若向量與共線，有且只有一個實數(shù)，使得 若存在實數(shù)使得，則?！咀兪?】設(shè)是不共線的兩個向量，給出下列四組向量： 與；與；與；與。 其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是 （寫出滿足條件的序號）【例2】已知是不共線的兩個向量，試用表示?！咀兪?】已知向量是不共線的兩個向量，實數(shù)滿足，則的值為（

5、 ） 2、兩個非零向量的夾角： 如圖所示，已知兩個非零向量，在平面上任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作：?！菊f明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當(dāng)兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的范圍內(nèi)的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角； （3）兩個非零向量的夾角的范圍：； （4）如果，我們就說向量與垂直，記作：；（5）特別地：且同向； 且反向； ； （6）。應(yīng)用遷移 鞏固提高題型一：利用基底來表示向量【例1】如圖，四邊形是以為鄰邊的平行四邊形，又，試用表示。【變式1】在平行四邊形中，分別是的中點，設(shè)，試以為基底表示向

6、量。題型二：向量的夾角問題【例2】已知，且與的夾角為，則與的夾角是多少？與的夾角是多少？【變式2】已知，且與和與相等，求與的夾角。題型三：利用平面向量基本定理求參數(shù)【例3】已知，點在內(nèi)，且，設(shè) ，求的值?！咀兪?】在中，且與相交于點，是的中點，與相交于點，若，則（ ） 題型四：共線向量與平面向量基本定理的綜合應(yīng)用【例4】如圖所示，在中，分別是邊上的點，且 ，設(shè)與交于點，試以為基底表示?！咀兪?】如圖所示，已知在中，點是以為中點的點的對稱點，和交于點，設(shè)。（1）用表示向量；（2）若，求實數(shù)的值。【補(bǔ)例1】如圖，在中，與交于，設(shè)，以為基底表示向量?！窘狻吭O(shè)，則： ，； ，；，即： ，即： ， 綜上

7、：?！玖斫狻吭O(shè)， ， 三點共線，； ， 三點共線，； 綜上：【補(bǔ)例2】如圖所示，中，與交于點，求證：?！咀C明】方法一：設(shè)是線段上一點，且。 設(shè)，則： ， ， 三點共線，與重合，。 方法二：設(shè)，則：， 設(shè)， ， ，又三點共線，綜上：， 【另解】：設(shè)，則：， 設(shè)， ， ， ， 又三點共線， ，綜上：，【補(bǔ)變式2】如圖所示，在中，點是的中點，點是上一點，且與相交于點，求?！窘狻吭O(shè)，則：； 設(shè)，則： 又； ， ， 綜上：， 。 【另解】設(shè)，則：； 設(shè)，則： 又；三點共線， 綜上：， 。當(dāng)堂檢測 隨堂鞏固1、等邊中，與的夾角是（ ） 2、如圖，已知，用表示，則等于（ ） 3、已知為的重心，設(shè)，試用表示向量?？偨Y(jié)反思 拓展延伸1、對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件。(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底。2、準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是