綜合除法與余數定理

1、第七節(jié)綜合除法與余數定理綜合除法與余數定理是中學數學中十分重要的內容，它們是研究多項式除 法的有力工具。綜合除法和余數定理在整個中學數學中有著極為廣泛的應用。 本節(jié)我們將作一些初步介紹。一、綜合除法一個一元多項式除以另一個一元多項式，并不是總能整除。當被除式f(x)除以除式g(x),(g(x) 0)得商式q(x)及余式r(x)時，就有以下等式：f (x) g(x) q(x) r(x)。其中r(x)的次數小于g(x)的次數，或者r(x) 0。當r(x) 0時，就是f (x)能被g(x)整除。下面我們介紹一個一元多項式除以另一個一元多項式的簡便運算一一綜合 除法。例1、用綜合除法求2x4 14x

2、4 7x除以x 2所得的商和余式2701442解：46124236商的各項的系數28余式 I (2x4 14x 4 7x3) (x 2)的商是 2x3 3x2 6x 2，余式是 8。上述綜合除法的步驟是：(1) 把被除式按降幕排好，缺項補零。(2) 把除式的第二項-2變成2,寫在被除式的右邊，中間用一條豎線隔開。(3) 把被除式的第一項的系數2移到橫線的下面，得到商的第一項的系數。(4) 用2乘商的第一項的系數2,得4,寫在被除式的第二項的系數-7的 下面，同-7相加，得到商的第二項系數-3。(5) 用2乘商的第二項的系數-3，得-6，寫在被除式的第三項的系數 0 的下面，同0相加，得到商的第

3、三項的系數-6。(6) 用2乘商的第三項的系數-6，得-12，寫在被除式的第四項的系數14 的下面，同14相加，得到商的第三項系數 2。(7) 用2乘商的常數項2,得4,寫在被除式的常數項4的下面，同4相 加，得到余式&前面討論了除式都是一次項系數為1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次項系數不是1,能不能利用綜合除法計算呢？例2、求(3x3 10x2 23x 16) (3x 2)的商式Q和余式R。解：把除式縮小3倍，那么商就擴大3倍，但余式不變。因此先用x -去3 除被除式，再把所得的商縮小3倍即可。二 Q=x2 4x 5，R=6b下面我們將綜合除法做進一步的推廣，使除式為二次或

4、者二次以上的多項 式時也能夠利用綜合除法來求商和余式。例3、用綜合除法求(3x4 7x3 11x2 10x 4) (x2 3x 2)的商Q和余式R。3711109664解:32123 I Q=3x2 2x 5， R=3x 2。二、余數定理余數定理又稱裴蜀定理。它是法國數學家裴蜀(17301783)發(fā)現的。余數定理在研究多項式、討論方程方面有著重要的作用。余數定理：多項式f(x)除以x a所得的余數等于f(a)略證：設 f (x) Q(x) (x a) R將x=a代入得f (a) R。例4、確定m的值使多項式f(x) x5 3x4 8x3 1 1x m能夠被x-1整除解：依題意f(x)含有因式x

5、-1，故f(1) 0。1 3+8 + 11 + m= 0。可得m = 17o求一個關于x的二次多項式，它的二次項系數為1，它被x-3除余1,且它 被x-1除和被x-2除所得的余數相同。解：設 f ( x) x2 ax b f (x)被 x 3 除余 1,二 f (3)9 3a b 1V f(x)被x 1除和x 2除所得的余數相同, f (1)f (2)即1a b 4 2a b 由得a 3，代入得b 1 f ( x) x 23x 1 。注：本例也可用待定系數法來解。同學們不妨試一試。即： x2ax b (x 1)(x m) R(x2)(x n)R ( x 3)( x p) 1由 (x 1)(x

6、m) R (x 2)(x n)R，可得 m2, n1再由 (x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1，解得 p0。 f ( x) x 23x 1 。練習：1、綜合除法分別求下面各式的商式和余式。1)(3x44x35x26x 7)(x2)；2)5(x6x49 x314x 8)(x4)；3)3(x(ab c) x 2(abbcca)xabc)(x4)(9x45x222 y 2 8y48xy 318x3 y)(3x2y)；5)(2x47x316x215x15)(X22x3)；6)(x65x12 x37x)(x33x2 5x2)?a)2、一個關于x的二次多項式f (x)，它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以 被 x+1 整除，求 f(x)