三角函數(shù)最值問題解法歸納

1、三角函數(shù)最值問題解題9法三角函數(shù)是重要的數(shù)學運算工具，三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學中經(jīng)常涉及的問題。這部分內(nèi)容是一個難點，它對三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應用要求較高。解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應充分利用三角函數(shù)自身的特殊性如有界性等，另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉化為求一些我們所熟知的函數(shù)二次函數(shù)等最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法： 一 配方法假設函數(shù)表達式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是2時，一般就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。例1 函數(shù)的最小值為 .A 2 B . 0

2、 C . D . 6分析此題可通過公式將函數(shù)表達式化為，因含有cosx的二次式，可換元，令cosx=t，則配方，得, 當t=1時,即cosx=1時，,選B.例2 求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值分 析 ：觀察三角函數(shù)名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數(shù)的名和角到達統(tǒng)一。 二 引入輔助角法例3已知函數(shù)當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合。分析 此類問題為的三角函數(shù)求最值問題，它可通過降次化簡整理為型求解。解： 三 利用三角函數(shù)的有界性在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)

3、最值的最基本方法。 例4求函數(shù)的值域分析 此為型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解?；蛘咭部上扔梅唇夥?，再用三角函數(shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或 例5 已知函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值。分析 在此題的函數(shù)表達式中，既含有正弦函數(shù)，又有余弦函數(shù)，并且含有它們的二次式，故需設法通過降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的表達式。解：f(x)的最小正周期為，最大值為。 四 引入?yún)?shù)法換元法對于表達式中同時含有sinx+cosx，與sinxcosx的函數(shù)，運

4、用關系式 一般都可采用換元法轉化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍。 例6 求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。分析解：令sinx+cosx=t，則，其中當 五 利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項，湊常數(shù)，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區(qū)。例7 求函數(shù)的最值。解：=當且僅當即時，等號成立，故。 六 利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例8 已知，求函數(shù)的最小值。分析 此題為型三角函數(shù)求最值問題，當sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解。設，在0，1上為減函數(shù)，當t=1時，。 七

5、數(shù)形結合由于，所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得。例9 求函數(shù)的最小值。分析 法一：將表達式改寫成y可看成連接兩點A(2,0)與點(cosx,sinx)的直線的斜率。由于點(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓如圖，所以求y的最小值就是在這個半圓上求一點，使得相應的直線斜率最小。設過點A的切線與半圓相切與點B,則可求得所以y的最小值為此時.法二：該題也可利用關系式asinx+bcosx=即引入輔助角法和有界性來求解。 八 判別式法例10 求函數(shù)的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)別離法。解：時此時一元二次方程總有實數(shù)解由y=3，tanx=-1，由 九 分類討論法含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對參數(shù)進行討論。例 11 設，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,則當，即在0，1上遞增， 當即時，在0，1上先增后減，當即在0