高考數學難點突破_難點01__集合思想及應用

1、難點1 集合思想及應用集合是高中數學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用.本節(jié)主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用.難點磁場()已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求實數m的取值范圍.案例探究例1設A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結論.命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分

2、辨出所考查的知識點，進而解決問題.屬級題目.知識依托：解決此題的閃光點是將條件(AB)C=轉化為AC=且BC=，這樣難度就降低了.錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵，因而可能感覺無從下手.技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、kN,進而可得值.解：(AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)<04k24bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b216>0,即b2>14x2+(22k)x+(5+

3、2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)<0k22k+8b19<0,從而8b<20,即b<2.5 由及bN,得b=2代入由1<0和2<0組成的不等式組，得k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(AB)C=.例2向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題

4、主要強化學生的這種能力.屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.錯解分析：本題難點在于所給的數量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索.技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關系間的聯(lián)系.解：贊成A的人數為50×=30，贊成B的人數為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B.設對事件A、B都贊成的學生人數為x,則對A、B都不贊成的學生人數為+1,贊成A而不贊成B的人數為30x，贊成B而不贊成A的人數為33x.依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,

5、解得x=21.所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人.錦囊妙計1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題.2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時應分類討論.殲滅難點訓練一、選擇題1.()集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,則( )A.M=NB.MNC.MND.MN=2.()已知集合A=x|2x7,B=x|m+1<x<2m1且B,若

6、AB=A，則( )A.3m4B.3<m<4C.2<m<4D.2<m4二、填空題3.()已知集合A=xR|ax23x+2=0,aR,若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是_.4.()x、yR,A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)| =1,a>0,b>0,當AB只有一個元素時，a,b的關系式是_.三、解答題5.()集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求當a取什么實數時，AB 和AC=同時成立.6.()已知an是等差數列，d為公差且不為0，a1和d均為實數，它的前n項和記作Sn,設集合

7、A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR.試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明.(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；(2)AB至多有一個元素；(3)當a10時，一定有AB.7.()已知集合A=z|z2|2,zC,集合B=w|w=zi+b,bR,當AB=B時，求b的值.8.()設f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x.(1)求證：AB;(2)如果A=1，3，求B.參考答案難點磁場解：由得x2+(m1)x+1=0AB方程在區(qū)間0，2上至少有一個實數解.首先，由=(m1)240,得m3或

8、m1,當m3時，由x1+x2=(m1)0及x1x2=1>0知，方程只有負根，不符合要求.當m1時，由x1+x2=(m1)>0及x1x2=1>0知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內，從而方程至少有一個根在區(qū)間0，2內.故所求m的取值范圍是m1.殲滅難點訓練一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ.答案：C2.解析：AB=A，BA,又B,即2m4.答案：D

9、二、3.a=0或a4.解析：由AB只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=.答案：ab=三、5.解：log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3.由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是關于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是關于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2.當a=5時，得A=2，3，AC=2，這與AC=不符合，所以a=5(舍去)；當a=2時，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2.6.解：(1)正確.在等差數列an中，Sn=,則(a1+an),這表明點(an,）的坐標適合方程y(

10、x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上.(2)正確.設(x,y)AB,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當a1=0時，方程(*)無解，此時AB=；當a10時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解.AB至多有一個元素.(3）不正確.取a1=1,d=1,對一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=10.如果AB,那么據(2）的結論，AB中至多有一個元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,這樣的(x0,y0）A,產生矛盾，故a1=1,d=1時AB=，所以a10時，一定有AB是不正確的.7.解：由w=zi+b得z=,zA,|z2|2,代入得|2|2,化簡得|w(b+i)|1.集合A、B在復平面內對應的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.又AB=B，即BA，兩圓內含.因此21,即(b2)20，b=2.8.(1)證明：設x0是集合A中的任一元素，即有x0A.A=x|x=f(x),x0=f(x0).